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2.5平面向量应用举例


向量在物理中的应用举例

例题
例1、证明平行四边形四边平 方和等于两对角线平方和
A 已知:平行四边形ABCD。 求证: AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? DA2 ? AC 2 ? BD 2

D
B

C

分析:因为平行四边形对边平行且相等, 故设 AB

? a, AD ? b ,其它线段对应向量用它们

表示。

例题
解:设 AB ? a, AD ? b ,则
BC ? b, DA ? a, AC ? a ? b; DB ? a ? b
AB ? BC ? CD ? DA ? 2( a ? b )
2 2 2 2 2 2

D
A B

C

AC ? BD ? a ? b ? a ? b
2 2

?

? ?
2

?

2

2 2 2 ? 2 ? ? ? ? a ? 2ab ? b ? a ? 2ab ? b ? 2? a ? b ? ? 2? a ? b ? ? ? ? ? 2 2 2 2



AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? DA2 ? AC 2 ? BD 2

想一想

用向量法解平面几何问题的基本思路

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:形到向量 向量的运算 向量和数到形

例1

在日常生活中,你是否有这样的经验:

两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;
在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小

越省力。
你能从数学的角度解释 这种现象吗?
F1

F

q

F2

G

F

F1 ?
F1

G 2 cos

?
2

q

F2

由上面的式子,我们发现:当q由0 ~ 180 逐
G

q q 渐变大时,由0 ~ 90 逐渐变大, cos 的值由 2 2 大逐渐变小,因此 F1 由小逐渐变大,即 F1 F2 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力

(1) θ为何值时, |F1|最小,最小值是多少?

(2) |F1|能等于|G|吗?为什么?
? ? 0 时, F 1 最小,最小值为 ? ? 120 时, F1 ? G .
G 2 ,

例2

如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m

一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时,所用时间是 多少(精确到0.1 min)?

分析:如果水是静止的,则船只要取垂直于河岸的

方向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短,考
虑到水的流速,要使船行驶最短航程,那么船的速度 与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸,如图
解:|v|= | v1 |2 ? | v 2 |2

v1

v

d = 96 (km/h),所以 t= |v |
0 .5 = ×60=3.1(min). 96

v2
答:行驶航程最短时,所用时间是3.1min.

1、一条河的两岸平行,一艘船从A处出发到河对岸,已 知船在静水中的速度 | v

/h,

1

1

|=10㎞/h,水流速度 v|
2

|=2㎞

如果船沿与上游河岸成 60°方向行驶,那么船的实际速 v 2
2 2 2 2

解: v ? (v1 ? v2 ) ? v1 ? 2v1 ? v2 ? v2

2

v

的大小是多少?? 10 ? 2 ?10 ? 2 ? cos120 ? 2 ? 84.

v
60°

?| v |? 84.

v2

2.一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地, 然后向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A、 C两地相距2000km,求飞机从B地到C地的位移.


B 西

60

A

解:如图,作BD垂直于东西基线, ?BAD ? 60 , ??ABD为等边三角形,


? BD ? CD ? 1000km, ?CBD ? ?BCD ? 30 . ??ABC ? 90 .BC ? AC sin 60 ? 1000 3(km).

C

D 60 南

所以位移的方向是南偏西30°,
大小是 1000 3 km.

1.利用向量解决物理问题的基本步骤: ①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;

②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;
③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; ④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.

2.用向量知识解决物理问题时,要注意数形结合. 一般先要作出向量示意图,必要时可建立直角坐标 系,再通过解三角形或坐标运算,求有关量的值.


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