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安徽省宿州市2015届高三第一次教学质量检测数学理试卷[1]


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(在此卷上答题无效) 宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)复数 z 满足 ( z ? i) ? i ?

1 ? i ( i 是虚数单位),则复数 z 的模为 (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 3

(2)某种商品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:万元)之间有 如下对应数据,根据表中提供的全部数

? ? 6.5x ? 17.5 ,则表中的 m 的值为 据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 y

x y
(A) 45

2 30 (B) 50

4 40 (C) 55

5

6 50 (D) 60

8 70

m

(3)设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 a1 ? 2, a5 ? 3a3 ,则 S9 ? (A) ? 72 (4)设点 P 是双曲线 (B) ? 54 (C) 54 (D) 90

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点, F1 , F2 分别是双曲线的左、右焦点,已知 a2 b2

PF1 ? PF2 ,且 PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线的离心率为
(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 5

? (5)在 ?ABC 中, A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则

(A)

3 5

(B)

5 3

(C)

5 8

sin B 的值为 sin C 8 (D) 5

(6)某几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的表面积为 (A) 2 (C) 6 ? 4 2
2

(B) 14 (D) 4 ? 6 2

3 (7)二项式 ( x ? ) 的展开式中不含 x 项的系数之和为
6

2 x

(A) 161

(B) 159

(C)

? 161

(D) ? 159

(8) “ a ? ?1 ”是“函数 f ( x) ? x ? a x ? 1 在 R 上是增加的”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第1 页 (共4 页 )

1

(9)在正八边形的 8 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四边形是梯形的概率为

8 12 2 16 (B) ( C) (D) 7 35 35 35 x (10)已知 f ( x) ? e (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2015? ) ,求则函数 f ( x) 的各极大值之和为
(A) (A)

e ? (1 ? e 2014? ) e ? (1 ? e 2016? ) ( B ) 1 ? e 2? 1 ? e 2?

(C)

e 2? (1 ? e 2014 ? ) e 2? (1 ? e 2016 ? ) ( D ) 1 ? e 2? 1 ? e 2?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

共 100 分)

? y ? 5, (11)若实数 x , y 满足不等式组 ? ?2 x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是 ? x ? y ? 1 ? 0, ?
(12)某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依次记为: ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) …



( xn , yn ) 若程序运行中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ?
(13)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 ?



? x ? a ? t, ? x ? 1 ? cos ? , (? (t 为参数 ) 与圆 ? ? y ? sin ? ?y ? t


为参数 ) 相切,切点在第一象限,则实数 a 的值为 (14)已知向量 a1 , a2 , a3 ,

an

满足如下条件: an ? an?1 ? d

? n ? 2,3,4, ? ,
an
中最

d 与 a 的夹角为
小的项是

2? ,且 a1 ? 4 d ? 2 ,则数列 a1 , a2 , a3 , 3


(15)对于定义在 D 上的函数 f ( x) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 ,使得对任 意 x ? D 都有 kx ? m1 ? f ( x ) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x)( x ? D ) 有一个宽度为 d 的通道. 给出下列函数:

3 2 ; ② f ( x) ? x ? 1 ; 2x ?1 1 x 1 ? ln x ④ f ( x) ? ; ⑤ f ( x) ? ( ) ? 4 . e x 其中在区间 [1, ??) 上通道宽度可以为 1 的函数有
① f ( x) ?

③ f ( x) ? ? sin(? x ? ) ? 1 ;

1 2

1 3

(写出所有正确的序号)

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第2 页 (共4 页 )

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分 12 分) 若 m ? (sin ?x, cos?x) ,n ? ( 3 cos?x,? cos?x)(? ? 0), 记 f ( x) ? m ? n ,已知 y ? f ( x) 图像的两 条相邻对称轴之间的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值;

? . 4
2

(Ⅱ)若 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 b ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围.

(17)(本小题满分 12 分)
? 一个口袋中装有大小相同的 n 个红球( n ? N 且 n ? 2 )和 5 个白球,一次摸奖从中摸出两个球,两

个球颜色不同则为中奖.记一次摸奖中奖的概率为 p . (Ⅰ)求 p (用 n 表示) ; (Ⅱ)若 p ?

1 ,将 5 个白球全部取出后,对剩下的 n 个红球全部作如下标记:记上 i 号的有 i 个( i ? 1, 3 2,3,4) ,其余的红球记上 0 号,现从袋中任取两球,用 X 表示所取两球的最大标号,求 X 的分
布列和期望.

18、(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? 4 ,底面 ABCD 为梯形, AB // CD ,

?BAD ? 90? ,且 AB ? 2CD ? 2 , AD ? 2 , M 、 N 分别为 PD 、 PB 的中点,平面 MCN 与 PA 交 点为 Q . (Ⅰ)求证: CN // 平面 PAD ; (Ⅱ)求 PQ 的长度; (Ⅲ)求平面 MCN 与平面 ABCD 所成二面角的大小.

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第3 页 (共4 页 )

3

(19)(本小题满分 13 分)

a 2 x ? bx ? ln x, 其中 a, b ? R. 2 (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 3 ,求实数 a , b 的值;
设函数 f ? x ? ? (Ⅱ)当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性.

(20)(本小题满分 13 分)

1 x2 y2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? .设 P( x0 , y0 ) 为 2 a b
椭圆上第一象限内的点, ?PF 1 F2 的周长为 6 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l : 3x0 x ? 4 y0 y ? 12 ? 0 分别与直线 x ? ?2 交于 C 、 D 两点. (1)判断直线 l 与椭圆 E 交点的个数; (2)试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以 CD 为直径的圆恒过该定点?若存在,求出此定点 的坐标;若不存在,说明理由.

(21) (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 满足 a n ?1 ? (Ⅰ)若 a1 ?

an 1 ? (n? N ) . ? , 2 an

2 ,证明:数列 {an } 单调递减; 1 (Ⅱ)若 a1 ? 2 ,证明: 2 ? a n ? 2 ? . n

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第4 页 (共4 页 )

4

宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测数学(理科)参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分. (1)C (2)D (3)B (6)C (7)A (8)B 二、填空题:每小题 5 分,满分 25 分. (4)D (9)B (5)A (10)A

(11) 14 (12) 32 (13) ( 14) (15) ②③④⑤ 2 ?1 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x ????2 分

? 1 3 1 ????4 分 sin 2?x ? (cos2?x ? 1) ? sin( 2?x ? ) ? 6 2 2 2 ? 2? ? ? ,故 ? ? 2 . 可知 f ( x) 的最小正周期为 且 ? ? 0 ,从而有 ????6 分 2? 2 2 ? 1 ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin( 4 x ? ) ? ,所以 f ( B ) ? sin( 4 B ? ) ? . 6 2 6 2 2 2 2 2 2 a ?c ?b a ? c ? ac 2ac ? ac 1 2 ? ? ? 因为 b ? ac ,所以 cos B ? , ????8 分 2ac 2ac 2ac 2 ? ? ? 7? 又 0 ? B ? ? ,所以 0 ? B ? , 得 ? ? 4 B ? ? , ????10 分 3 6 6 6 1 ? ? 1 1 所以 ? ? sin( 4 B ? ) ? 1 ,从而有 ? 1 ? sin( 4 B ? ) ? ? , 2 6 6 2 2 1 即 f ( B ) 的值域为 [ ?1, ] . ????12 分 2
?
(17)(本小题满分 12 分) 2 解: (Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任取两个,有 Cn ?5 种方法.
1 1 其中两个球的颜色不同的取法有 Cn C5 种,

????2 分 ????4 分

所以一次摸奖中奖的概率为 p ? (Ⅱ)若 p ? ,即

CC 10n . ? C ? n ? 5?? n ? 4?

1 1 n 5 2 n ?5

1 3

10n 1 ? ,解得 n ? 20 或 n ? 1 (舍去) . ? n ? 5?? n ? 4 ? 3
????6 分

由题知:记上 0 号的红球有 10 个. X 可能取值为 0,1,2,3,4.

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ? P( X ? 4) ?
X

C C

2 C C ? C2 23 , ? 2 190 C20 1 1 2 C4 C16 ? C4 70 . ? 2 190 C20

2 10 2 20 1 1 2 11

?

45 , 190

P( X ? 1) ? P( X ? 3) ?

C C 10 , ? 2 190 C 20
1 1 C3 C13 ? C32 42 , ? 2 190 C20

1 10

1 1

从而 X 的分布列是:
3 2 4 45 23 42 70 P 190 190 190 190 45 10 23 42 70 462 231 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? ? . ????12 分 190 190 190 190 190 190 95 0

1 10 190

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第5 页 (共4 页 )

5

(18)(本小题满分 12 分) 综合法: (Ⅰ)证明:取 AP 的中点 E ,连接 DE , EN , 因为 E、N 分别是 AP 、 BP 的中点,

1 1 AB ,又因为 CD // AB , CD ? AB . 2 2 所以 EN // CD, EN ? CD , 即四边形 CDEN 为平行四边形. 所以 CN // DE , CN 不在平面 PAD 内, 所以 CN // 平面 PAD . ????4分 (Ⅱ)解:取 EP 的中点,即为所求点 Q , 连接 MQ , NQ . 因为 MQ // ED ,故 MQ // CN ,所以四点 C, N , Q, M 共面. 平面 MCN 与 AP 交点 Q 即为 AP 的四等分点,又因为 AP ? 4 ,所以 PQ ? 1 . ????8分 (Ⅲ)解:连接 ME ,易证平面 EMN // 底面 ABCD . 平面 QMN 与平面 EMN 所成二面角即为平面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角. 因为 PA ? 平面 ABCD ,故 PA ? 平面 EMN ,过 E 作 EF ? MN ,垂足为 F ,连结 QF , 则 QF ? MN ,所以 ?QFE 为平面 QMN 与平面 EMN 所成二面角的平面角.
所以 EN // AB , EN ?

2 6 3 , EN ? 1 , MN ? ,从而 EF ? , 2 2 3 ? 所以 tan?QFE ? 3 ,故 ?QFE ? . 3 ? 所以平面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 . ????12 分 3 向量法:如图,以 A 为坐标原点, AD 、 AB 、 AP 方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正方向建立空间直
在直角三角形 MEN 中,则 ME ?

2 ,0,2) , N (0,1,2) . 2 (Ⅰ)证明:易知 AB 是平面 PAD 的法向量,又因为 CN ? AB ? (? 2,0,2) ? (0,2,0) ? 0 , 所以 CN ? AB ,又因为 CN 不在平面 PAD 内,所以 CN // 平面 PAD . ????4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 CN // 平面 PAD ,又 CN 在平面 CNQM 内, 平面 CNQM 与平面 PAD 的交线是 MQ ,所以 CN // MQ .
角坐标系.则 A(0,0,0) , D( 2 ,0,0) , B(0,2,0) , C( 2 ,1,0) P(0,0,4) , M ( 设 Q(0,0, t ) , MQ ? ?CN ,得 (? 解得 t ? 3 ,所以 PQ ? 1 .

2 ,0, t ? 2) ? ? (? 2 ,0,2) , 2
????8 分

(Ⅲ)解:设平面 MCN 的法向量 n ? ( x, y, z) .

? 2 MN ? n ? ? x? y ?0 ? ? 2 由? ?MC ? n ? 2 x ? y ? 2 z ? 0 ? 2 ?

取 n ? ( 2 ,1,1)

????10分

又知平面 ABCD 的法向量为 m ? (0,0,1) 所以 cos ? m, n ??

m?n mn

?

1 1 ? ( 2 ) 2 ? 12 ? 12

?

1 2
????12分

即平面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的大小为

? . 3

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第6 页 (共4 页 )

6

(19)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ?

a 2 ax2 ? bx ? 1 x ? bx ? ln x, x ? ?0,?? ? ,得 f ??x ? ? . 2 x a 由题意得 f ?1? ? ? b ? ?1 , f ??1? ? a ? b ? 1 ? 2 . 2 解得 a ? 8, b ? ?5 .
2

????4 分

(Ⅱ)由 f ??x ? ?

ax ? bx ? 1 , x ? ?0,??? . x bx ? 1 (1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? . x ①若 b ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ?0,??? 内单调递减. 1 1 ②若 b ? 0 ,当 0 ? x ? 时, f ?? x ? ? 0 ;当 x ? 时, f ?? x ? ? 0 . b b ? 1? ?1 ? 所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,?? ? 内单调递增 ? b? ?b ? 2 ( 2)当 a ? 0 时,令 f ?? x ? ? 0 ,得 ax ? bx ? 1 ? 0 ,
因为 ? ? b ? 4a ? 0 ,解得 x1 ?
2

????6 分

????8 分

? b ? b 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 4a , ( x1 ? 0, x2 ? 0 ) , x2 ? 2a 2a 当 0 ? x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 ;当 x ? x2 时, f ?? x ? ? 0 . 所以 f ? x ? 在 ?0, x2 ? 内单调递减,在 ?x2 ,??? 内单调递增.
综上所述: 当 a ? 0 , b ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,??? 单调递减; 当 a ? 0 , b ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 内单调递减,在 ? ,?? ? 内单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,

? ?

1? b?

?1 ?b

? ?

? ? ?

2 ? ? ? b ? b 2 ? 4a ? ? 内单调递减,在 ? ? b ? b ? 4a ,?? ? 内单调递增. ? ? ? 2a 2a ? ? ?

????13 分 (20)(本小题满分 13 分) (Ⅰ) 解:由题知: e ?

c 1 ? ,又因为 ?PF1 F2 的周长为 6 ,所以 2a ? 2c ? 6 , a 2 解得 a ? 2, c ? 1 .

所以椭圆 E 的方程为 (II) (1)证法一:

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????4 分

? 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 2 2 3x ? 4 y 0 2 ? 2 xx0 3 x ? 6 x0 x ? 12 ? 4 y0 ? 0 , 由? 消去 y 并整理得 0 y? (1 ? ) 4 ? y0 4 ? 2 2 x0 y0 2 2 又因为 ? ? 1 ,即 4 y0 ? 12 ? 3x0 , 4 3 2 2 得 x ? 2x0 x ? x0 ? 0 ,解得 x ? x0 ,因此直线 l 与椭圆 E 只有一个交点. ????8 分
b2 x x y b 2 2 a2 证法二:因为点 P 在第一象限内,由 2 ? 2 ? 1 ? y ? b ? 2 x ? y ? ? . 2 a b a b b2 ? 2 x2 a
2 2 2

?

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第7 页 (共4 页 )

7

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y ?

x ? x0

??

因此直线 l 与椭圆 E 相切,故直线 l 与椭圆 E 只有一个交点.

3 x0 ? kl . 4 y0

????8 分

x 6 ? 3x0 3 (2)解:令 x ? 2 得 y C ? (1 ? 0 ) ,即 C (2, ), y0 2 2 y0 x 6 ? 3x0 3 令 x ? ?2 得 y D ? (1 ? 0 ) ,即 D(?2, ). y0 2 2 y0
2 9 x0 3 所以 CD 的中点为 (0, ) , CD ? 16 ? 2 . y0 y0

故以 CD 为直径的圆方程为 x 2 ? ( y ?
2 2

3 2 9 x0 ? 16y 0 ) ? 2 y0 4 y0

2

2



????10 分

又因为 3x0 ? 4 y0 ? 12 ,上式化简得 y0 ( x 2 ? y 2 ? 1) ? 6 y ? 0 .

?x 2 ? y 2 ? 1 ? 0 ? x ? 1 ? x ? ?1 令? ,得 ? 或? . ?y ? 0 ? y ? 0 ? ? 6y ? 0 故 CD 为直径的圆恒过点 (1,0) 和 (?1,0) .
(21)(本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)因为 a1 ? 当 n ? 1 时, a n ?1 ?

????13 分

2 ,所以 an ? 0 ,

an 1 a 1 ? ?2 n ? ? 2. 2 an 2 an
?

所以,对一切 n ? N ,都有 an ? 因为 an?1 ? an ?

2.

????3 分

2 1 an 2 ? an ? ? ? 0, an 2 2an

所以数列 {an } 单调递减. (Ⅱ)因为 a1 ? 2 ?

????6 分 ????8 分

2 ,由(Ⅰ)中可知 an ? 2 . 1 下面用数学归纳法证明 a n ? 2 ? n 1 ①当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 2 ? 显然成立. n
②假设 n ? k ( k ? 1 )时,命题成立,即 a k ? 那么当 n ? k ? 1 时,

2?

1 成立 k

ak 1 ? ? 2 ak 所以当 n ? k ? 1 时,上述命题也成立
有 a k ?1 ?

2?

1 k ? 1 ? 2? 1 ? 2? 1 2 2k k ?1 2
2? 1 . n
????13 分

? 综合①②可得对于任意 n ? N ,有 a n ?

因此, 2 ? a n ?

2?

1 . n

L数 学 ( 理 科 ) 试 题第8 页 (共4 页 )

8


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