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湖北省八市2015届高三3月联考数学(文word含答案)试题


试卷类型:A

2015 年 湖 北 省 八 市 高 三 年 级 三 月 联 考



学(文史类)
★祝考试顺利★
[来源:Zxxk.Com]

本试卷共4页,共22题。全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项: 1. 答卷前,先将自己的姓名、准考

证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷 类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题的作答, 每小题选出答案后, 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在 试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:每小题 5 分,10 小题共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.复数 (3 ? 2i )i 等于 A. ?2 ? 3i
1 ? 3

B. ?2 ? 3i

C. 2 ? 3i

D. 2 ? 3i

1 2.已知 a ? 2 , b ? log 2 , c ? log 2 3 ,则 3 A. a ? b ? c C. c ? b ? a

B. a ? c ? b D. c ? a ? b

3.有下列关于三角函数的命题
tan x ? 0 ,则 sin 2 x ? 0 ; P R , x ?? k ? ( kZ ? ,若 ) 1 :? x? 2

?

P2 : 函数 y? s i n x ? (

3? 与函数 y ? cos x 的图象相同; ) 2

P R , 2 c ox s 3 : ? x0 ? 0 ? ;3 P4 : 函数 y? | c o s x ( x |? R ) 的最小正周期为 2? .其中真命题是

A. P1 , P4

B. P2 , P4
1

C. P2 , P3

D. P1 , P2

4.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 xoz 、 xoy 、 yoz 三个平面上的正投影,则此四棱锥的体积为 A.94 C.64 B.32 D.16
o

8 6 4 2 4 2 0

z

5.某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x( C)之间的 关系,随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温, 并制作了对照表: 气温(oC) 用电量(度) 18 24 13 34
[来源:学。 科。 网]

2

4

6

8

8

6

y

x

10 38

-1 64

? ? ?2 x ? a ,当气温为-4 oC 时,预测用电量约为 由表中数据得到线性回归方程 y

A. 68 度 度

B.52 度

C.12 度

D . 28

6.从半径为 r 的圆内接正方形的 4 个顶点及圆心 5 个点中任取 2 个点,则这两个点间 的距离小于或等于半径的概率为 A.
1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

? ?0 ? x ? 2 ? ? 7.已知平面直角坐标系 xoy 上的区域 D 由不等式 ? y ? 2 给定,若 M ( x, y ) 为 D 上 ? ?y ? 2 x ? ? 2 任一点,

点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM OA 的最大值为 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

8.函数 f ( x) ? x cos x2 在区间[0,3]上 的零点的个数为 A.2
2 2

B.3

C.4

D.5

9.过双曲线

x y a2 2 2 F ( ? c ,0) ( c ? 0) 的左焦点 作圆 的切线, ? ? 1( a ? 0, b ? 0) x ? y ? a 2 b2 4 切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心 率等于
A. 10 B.
10 5
2

C.

10 2

D. 2

) 1 ? 的解集为 M,g ( x) ? 4 10. 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 ,g ( x) ? 16 x2 ? 8x ? 1 , 若 f (x

的解集为 N,当 x ? M A.0

N 时,则函数 F ( x) ? x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 的最大值是

B. ?

5 16

C.

4 9

D.

1 4

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡上对应题 号后的横线上。答错位置,书写不清,模棱两可不得分。 11.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了 其中 60 株树木的底部周长(单位:cm) ,所得 数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图 如图所示,则在抽测的 60 株树木中 ,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 12. 已知向量 e1 ? (?1, 2) , e2 ? (5, ? 2) ,向量 a ? (4, 0) ,用 e1 , e 2 表示向量 a ,则 a = ▲ .

13.设 {an } 为等比数列,其中 a4 ? 2 , a5 ? 5 ,阅读如图所示的程序框图,运行相应的 程序,则输出结果为
[来源:学科网 ZXXK]




n ? n ?1 n ? 9?
否 是 输出 s 结束

开始

s ? 0, n ? 1

s ? s ? lg an

14.在 ?ABC 中, A ? 15.已知函数 f ( x) ?

?
3

, AC ? 2 , BC ? 3 ,则 AB ?





x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 4 x 2

线垂直于直线 x ? 2 y ? 0 ,则切线方程为





16.在平面直角坐标系中,已知点 P(4,0) ,Q(0,4) ,M,N 分别是 x 轴和 y 轴上 的动点,若以 MN 为直径的圆 C 与直线 PQ 相切,当圆 C 的面积最小时,在四边 形 MPQN 内任取一点,则这点落在圆 C 内的概率为 ▲ . 17.设 ? 是一个平面, ? 是平面 ? 上的一个图形,若在平面 ? 上存在一个定点 A 和一 个定角 ? (? ? (0, 2? ) ,使得 ? 上的任意一点以 A 为中心顺时针(或逆时针)旋转角
3

? ,所得到的图形与原图形 ? 重合,则称定点 A 为对称中心, ? 为旋转角, ? 为

旋转对称图形.若以下 4 个图形,从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、 正六边形,它们都是旋转对称图形,则它们的最小旋转角依次为 ▲ ;若 ? 是一个正 n 边形,则其最小旋转角用 n 可以表示为 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 18. 本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3a cos 2

?x
2

?

1 3 a sin ? x ? a (? ? 0, a ? 0) 在一 2 2

个周期内的图象如图所示,其中点 A 为图象上的最高点,点 B,C 为 图象与 x 轴的两个相邻交点,且△ABC 是边长为 4 的正三角形. (Ⅰ)求 ? 与 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?
8 3 10 2 ,且 x0 ? (? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 5 3 3

19 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 正 项 数 列 ?an ? 的 前
1 2 Sn ? (an ? 3an ? 2), n ? N? . 6

n 项 和 为 Sn , 且 a1 ? 1 ,

(Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)若 akn ??a1 , a2 , 求 kn . 20. (本题满分 13 分)如图, ABC ? A1 B1C1 是底面边长为 2,高为 过 AB 的截面与上底面相交于 PQ,设 C1 P ? ?C1 A1 (0 ? ? ? 1) . (Ⅰ)证明:PQ∥A1B1; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得平面 CPQ ? 截面 APQB ? C1
3 的正三棱柱,经 2 B1

, an ,

? ,且 ak , ak ,
1 2

, akn ,

成等比数列,当 k1 ? 1, k2 ? 4 时,

Q B P A1

如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由. C
4

A

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值;
5 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实 2 数 b 的取值范围.

22. (本题满分 14 分)椭圆 C : 点,以

x2 y 2 4 b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A, P( , ) 是 C 上的一 2 3 3 a b

AP 为直径的圆经过椭圆 C 的右焦点 F .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,问:在 x 轴上是否存在两个定点, 它们到直线 l 的距离之积等于 1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果 不存在,请说明理由.

5

2015 年湖北省八市高三年级三月联考

数学(文史类)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10.D

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。 11.24 15. 2 x ? y ? 2 ? 0 12. e1 ? e2 13.4 14 . 1

? 2? ? 2? ? 2? 17. (说明前一 个空 2 分,后一个空 3 分) ,, , ; 6 3 2 5 3 n 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。
16. 18. (Ⅰ)解:由已知可得 f ( x) ? a( BC=
3 1 ? cos ? x ? sin ? x) ? a sin(? x ? ) …………3 分 2 2 3

T 2? ? =4,?T ? 8,?? ? ? …………………………… 4 分 8 4 2

由图象可知,正三角形 ? ABC 的高即为函数 f ( x) 的最大值 a , 得a ?
3 BC ? 2 3 …………………………………………6 分 2

? ? 8 3 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 f ( x0 ) ? 2 3 sin( x0 ? ) ? 4 3 5

? ? 4 10 2 即 sin( x0 ? ) ? ∵ x0 ? (? , ) , 4 3 5 3 3


?
4

x0 ?

?

? ? 4 3 ? ? ? (? , ) ∴ cos( x0 ? ) ? 1 ? ( ) 2 ? ……………8 分 4 3 5 5 3 2 2

∴ f ( x0 ? 1) ? 2 3 sin( x0 ? ? ) ? 2 3 sin[( x0 ? ) ? ] 4 4 3 4 3 4
? 2 3[sin( x0 ? )cos ? cos( x0 ? )sin ] 4 3 4 4 3 4
4 2 3 2 7 6 ? 2 3( ? ? ? )? ………………………12 分 5 2 5 2 5

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

19.解: (Ⅰ)由 S n ?

1 2 (an ? 3an ? 2), n ? N ? ,得 6
6

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 整 理

1 2 2 (an ? an ?1 ? 3an ? 3an ?1 ) 6
, 得

(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0 ………………………………………2 分 an ? 0,?an ? an?1 ? 0,?an ? an?1 ? 3 …………………………4 分
所以,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 3 的等差数列。 故

an ? 3n ? 2, n ? N ? ………………………………………………………6 分
(Ⅱ) ak1 ? a1 ? 1, ak2 ? a4 ? 10,? akn 是首项为 1,公比为 10 的等比数列.

? ?

?akn ? 10n?1, n ? N ? ,………………………………………………8 分
又 akn ??a1, a2 ,

, an ,

?,

?akn ? 3kn ? 2 ? 10n?1,
? kn ? 10n ?1 ? 2 , n ? N ? …………………………………………12 分 3

20. (Ⅰ)证明:由正三棱柱的性质可知,上下两个底面平行, 且截面 APQB 上底面 A1 B1C1 =PQ,截面 APQB 下底面 ABC=AB,

由两个平面平行的性质定 理可得 PQ / / AB,
? PQ / / A1 B1 ……………………………………………………6 分

(Ⅱ)假设存在这样的 ? 满足题设,分别取 AB 的中点 D,PQ 的中点 E,连接 DE, 由(Ⅰ)及正三棱柱的性质可知 ?CPQ 为等腰三角形,APQB 为等腰梯形,
? CE ? PQ, DE ? PQ
??CED 为二面角 A-PQ-C 的平面角,…………………………8 分

7

连接 C1 E 并延长交 A1 B1 于 F,由(Ⅰ)得,
C1 P C1 E ? ? ? , C1 A1 ? 2, C1 F ? 3, C1 A1 C1 F

?C1E ? 3?, EF ? 3(1 ? ? ) ………………………………………………9 分
在 Rt?CC1 E 中求得 CE 2 ?

3 3 ? 3? 2 ,在 Rt?DFE 中求得 DE 2 ? ? 3(1 ? ? )2 4 4

若平面 CPQ ? 截面 APQB ,则??CED ? 90 ,
? CE 2 ? DE 2 ? CD2 ,将以上数据代入整理,

得 3? 2 ? 3? ? 21. (Ⅰ) f ?( x) ?

3 1 ? 0 ,解得 ? ? …………………………………………13 分 4 2

1 ? 2x ? 1 ……………………………………………………2 分 x?a

∵ x ? 0 时, f ( x) 取得极值,∴ f ?(0) ? 0 ……………………………3 分 故
1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 , 0?a

经检验当 a ? 1 时, f ( x) 在 x ? 0 处取得极大值符合题意,∴ a ? 1 ……4 分 (Ⅱ)由 a ? 1 知 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x2 ? x ,由 f ( x) ? ? 得 ln( x ? 1) ? x2 ?
3 x ? b ? 0, 2 3 x ?b , 2 5 x?b 2

令 ?( x) ? ln( x ? 1) ? x2 ? 则 f ( x) ? ?

5 x ? b 在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于 ?( x) ? 0 在[0,2] 2

上恰有两个不同的实数根.
??( x) ? 1 3 ?(4 x ? 5)( x ? 1) ? 2x ? ? ………………………………6 分 x ?1 2 2( x ? 1)

当 x ? (0, 1) 时, ??( x) ? 0 ,于是 ?( x) 在 (0, 1) 上单调递增;………… 7 分 当 x ? (1, 2) 时, ??( x) ? 0 ,于是 ?( x) 在 (1, 2) 上单调递减;……… 8 分 依题意有
8

??(0) ? ?b ? 0, ? 3 ? ??(1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, 2 ? ? (2) ? ln(1 ? 2) ? 4 ? 3 ? b ? 0, ? ?

……………………………………11 分

解得 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

1 , 2 1 ………………………14 分 2

所以实数 b 的取值范围是 ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ?

22. (Ⅰ) F (c,0), A(0, b) ,由题设可知 FA ? FP ? 0 ,得

4 b2 c2 ? c ? ? 0 3 3 16 b2 又点 P 在椭圆 C 上,? 2 ? 2 ? 1, ? a2 ? 2 9a 9b
b2 ? c 2 ? a 2 ? 2

①……………1 分 ② ③……………3 分

①③联立解得, c ? 1, b2 ? 1 ………5 分 故所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………6 分 2

(Ⅱ)方法 1:设动直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程,消去 y,整理, 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 (﹡)

方程(﹡)有且只有一个实根,又 2k 2 ? 1 ? 0 , 所以 ? ? 0, 得 m2 ? 2k 2 ? 1 …………………………………………8 分 假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由
(?1k ? m)(?2 k ? m) k2 ?1

d1 ? d 2 ?

?

?1?2 k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 2k 2 ? 1
k2 ?1

?

(?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1 ? 1 对任意的实数 k 恒成立. k2 ?1

[来源:Zxxk.Com]

9

?? ? ? 2 ? 1 所以, ? 1 2 ??1 ? ?2 ? 0

?? ? 1 ?? ? ?1 解得, ? 1 或? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1

所以,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,它们恰好是 椭圆的两个焦点.…… 13 分 方法 2:根据题设可知动直线 l 为椭圆的切线,其方程为
x0 x 2 2 ? 2 y0 ?2 ? y0 y ? 1,即x0 x ? 2 y0 y ? 2 ? 0,( x0 , y0 )为切点 ,且 x0 2

假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0) 满足题设,则由

d1 ? d2 ?

(?1 x0 ? 2)(?2 x0 ? 2)
2 x02 ? 4 y0

?

?1?2 x02 ? 2(?1 ? ?2 ) x 0 ? 4
4 ? x02

?1

对任意的实数 x0 ?[? 2, 2] 恒成立,所以,
??1?2 ? ?1 ? ??1 ? ?2 ? 0 ?? ? 1 ?? ? ?1 或? 1 解得, ? 1 ??2 ? ?1 ??2 ? 1

所以,存在两个定点 M1 (1,0), M 2 (?1,0) ,它们恰好是椭圆的两个焦点.…14 分

命题人:天门市教科院 仙桃市教科院 随州市曾都一中

刘兵华 曹时武 刘德金

10


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