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一元二次不等式解法 (导学案)


五河县高级中学高一年级必修 5 导学案

主备:杨明

审核:高一数学组 日期:2014.3.24

§2.1

一元二次不等式的解法(第一课时)

学习目标 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.一元二次不等式的解法. 学习重点:一元二次不等式解法 学习难点:一

元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不 等式的分类讨论.. 学习方法:发现式教学法,通过“三个二次”关系的寻求,得到一元二次不等式的解. 学习过程 Ⅰ、复习引入: ⒈一次不等式 ax>b,若 a>0,解集为_____________;若 a<0,解集为 ;若 a=0, 则当 b≥0 时,解集为 ;当 b<0 时,解集为___________. ⒉一元一次不等式组 (a>b) 。 若?

?x ? a ?x ? a ?x ? a 则解集为______; 若? 则解集为____; 若? ?x ? b ?x ? b ?x ? b

则解集为______;若 ? Ⅱ、新课讲解:

?x ? a 则解集为________. ?x ? b

1、 对二次函数 y ? x ? x ? 6 ,观察图像探究下列问题:
2

探究:1、是否存在x的值,使得①y>0 ②y=0 ③y<0 探究:2、当x何值时,能使①y>0 ②y=0 ③y<0

2、一元二次不等式的相关概念. (1) 、一元二次不等式定义:? 含有 未知数,且未知数的 次数为 不等式,叫做一元二次 2 2 不等式.?即:形如 ax +bx+c>0 (≥0 ) 或 ax +bx+c<0 (≤ 0) 的不等式(其中 a ≠ 0 ) , 叫做 一元二次不等式 (2) 、一元二次不等式的解及其解集? 一般地,使某个一元二次不等式成立的 叫做这个不等式的解.一元二次不 等式的所有解组成的 ,叫做这个不等式的解集.? (3)、一元二次不等式解法及步骤: (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0.? (2)计算相应的判别式.? (3)当Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根.? (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集.(一定写成集合或区间形式,如果不等式 中有等号,则解集中要注意有相应的等号)

1

五河县高级中学高一年级必修 5 导学案

主备:杨明

审核:高一数学组 日期:2014.3.24

3.三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系( a ? 0 ) 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的解的情况 当 ? ? 0 时方程有 两个不等的根 x1 , x 2 ( x1 〈 x2 ) 当 ? ? 0 时方程有一 根 x0 当 ? ? 0 时方程无实 根 函 数 不等式的解集

y ? ax 2 ? bx ? c
图 象

ax2 ? bx ? c ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0

Ⅲ:典型例题: 题型一:解一元二次不等式 例1:求下列不等式的解集 (1) 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2

(2) ? 3x

2

? 6x ? 2

题型二:含参数的一元二次不等式的解法 2 例 2:解关于 x 的不等式 ax -(a+1)x+1<0( a∈R).

2

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题型三:“三个二次”关系的应用 例3:已知ax +2x+c>0的解集为{x|2

1 1 2 <x< },试求a、c的值,并解不等式-cx +2x-a>0.. 3 2

题型四:恒成立问题 例 4:若 x ? R , ax ? 4 x ? a ? ?2 x ? 1 恒成立,则 a 的取值范围。
2 2

Ⅳ、随堂检测: 1、 解下列不等式: (1) 3x ? 7 x ? 2 ? 0
2

(2) ? 6 x ? x ? 2 ? 0
2

(3) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

2、 x 是什么实数时, x 2 ? x ? 12 有意义?

3、若不等式 x ? ax ? (a ? 3) ? 0 的解集是 ? ,则实数 a 的取值范围是 ?
2

4、 m 是什么实数时,关于 x 的一元二次方程 mx ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根?
2

5、若函数 y= kx -6kx+? k+8? 的定义域为 R,则 k 的取值范围是__________

2

3

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主备:杨明

审核:高一数学组 日期:2014.3.24

Ⅴ、课后作业: 1.自变量 x 在什么范围内取值时,下列函数的值等于 0?大于 0?小于 0?

(1) y ? 3 x 2 ? 6 x ? 2 (3) y ? x 2 ? 6 x ? 10

(2) y ? 25 ? x 2 (4) y ? ?3 x 2 ? 12 x ? 12

2.解下列不等式: (1) 4 x ? 4 x ? 15
2

(2) 13 ? 4 x ? 0
2

(3) x(9 ? x) ? 0

(4) x(1 ? x) ? x(2 x ? 3) ? 1

3.若代数式 6 x ? x ? 2 的值恒取非负实数,则实数 x 的取值范围是:
2
2 2 1 1? 4.已知 x +px+q<0 的解集为 ? ? x | ? ? x ? ? ,求不等式 qx +px+1>0 的解集

.

?

2

3?

2 5.若不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 {x x ? 3或x ? ?1} ,求实数 b 和 c.

6.解关于 x 的不等式 ax ? 2 ? 2 x ? ax
2

Ⅵ、小结:

Ⅶ、反思:

4


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