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河南省师范大学附属中学2015-2016年学年高一上学期数学竞赛班培训真题汇编74题(无答案)


河南师大附中 2015 级数学竞赛班平面几何培训讲义

平面几何讲义——真题选讲 主讲人:孙福祥 1、设 PQRS 是圆 O 的内接四边形,PS 为直径,QR//PS.PR 与 QS 交于 点 A.B 为平面上一点,使得四边形 POAB 为平行四边形.证明:BQ=BP.

2、在四边形 ABCD 中,DP⊥AB 于 P,BS⊥CD 于 S,

BR⊥AD 于 R,DQ ⊥BC 于 Q.若 ?PSR ? ?SPQ ,证明:PR=SQ.

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3、已知 PA,PC 与圆 ? 相切于 A,C 两点.过点 P 作圆的割线交圆于 Q,
?AQC 的平分线交弦 AB 于 R, 交弦 AC 于 B, 交圆于点 S.证明:

AB AR2 ? . BC RC 2

4、在等腰△ABC 中,CA=CB,I 为其内心.设 P 是△AIB 的外接圆在△ ABC 内部的圆弧上一点,过 P 分别平行于 CA 和 CB 的直线分别交 AB 于点 D 和 E,过点 P 平行于 AB 的直线交 AC 于 F,交 BC 于 G.证明: 直线 DF 与直线 EG 的交点在△ABC 的外接圆上.

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5、在△ABC 中,一个经过 A,B 两点的圆交边 AC,BC 于点 D,E.BA 和 ED 的延长线交于点 F,BD 的延长线交 CF 于点 M.证明:MF=MC 的充要 条件是 MB ? MD ? MC 2 .

6、设 ABCD 是圆内接四边形,过点 D 向直线 BC,CA,AB 分别引垂线, 垂足依次为 P,Q,R.证明: PQ=QR 的充要条件是 ?ABC 的平分线,?ADC 的平分线和 AC 三线共点.

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7、圆 O1 和圆 O2 相交于 A,B 两点.过点 A 所作的两圆的切线分别与 BO1 和 BO2 相交于点 K,L 两点.证明: KL // O1O2 .

8、内接于圆的四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O.设△ABO 和△ CDO 的外接圆分别为 S1 和 S2 ,两圆交于点 O 和 K.过点 O 分别作 AB 和 CD 的平行线,它们分别与圆 S1 和圆 S2 交于点 L 和 M,在线段 OL 和 OM 上取点 P 和 Q,使得 OP : PL ? MQ : QO .证明:O,K,P,Q 四点共圆.

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9、已知△ABC 为锐角三角形,AB≠AC,以 BC 为直径的圆分别交边 AB 和 AC 于点 M 和 N,记 BC 得中点为 O, ?BAC 的平分线和 ?MON 的平分 线交于点 R.证明: △BMR 的外接圆和△CNR 的外接圆有一个交点在 BC 上.

10、在凸四边形 ABCD 中,对角线 BD 不平分对角中的任意一个.点 P 在 四边形 ABCD 内部 ,并且满 足 ?PBC ? ?DBA 和 ?PDC ? ?BDA . 若 A,B,C,D 四点共圆,证明:AP=CP.

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11、已知半圆 O 的直径为 AB,C 为 OB 上一点,过点 C 且垂直于 AB 的 直线交半圆 O 于点 D.圆 P 与半圆 O 内切于点 F,与 CD 切于点 E,与 BC 切于点 G.证明:△ADG 为等腰三角形.

12、给定直角△ABC, ?ACB 为直角,点 D 是边 AC 上任意一点,两个 圆与直线 AB 分别相切于 A,B 两点,两圆相交于 D,E 两点.证明:
?BAC ? ?DEC

.

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13、M,N,P 是△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,M1,N1,P 1 在△ABC 的三 边上, 并且 MM1,NN1,PP MM1,NN1,PP 1 分别平分△ABC 的周长.证明: 1 交于一点 K;K 是△MNP 的内心.

14、已知锐角△ABC 中,CD⊥AB 于 D,M 是边 AB 的中点.过 M 的直线 分别交设弦 CA,CB 于点 K,L,并且 CK=CL.若△CKL 的外心为 S,证明: SD=SM.

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15、已知△ABC 中,由点 A 分别向 ?B, ?C 的平分线引垂线,垂足分别 为 A1,A2 .同理定义 B1,B2 和 C1,C2 . 证明: 2? A1 A2 ? B1B2 ? C1C2 ? ? AB ? BC ? CA .

16、已知等腰△ABC 中,AB=BC,平行于 BC 的中位线交△ABC 的内切 圆于点 F,其中 F 不在底边 AC 上.证明:过点 F 的切线与 ?C 的平分 线的交点在边 AB 上.

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17、设 I 是△ABC 的内心,I 关于三边的对称点分别是 A?, B?, C ? ,并且 △ A?B?C ? 的外接圆过点 B.证明: ?ABC ? 60? .

18、设 I 是△ABC 的内心,射线 AI,BI,CI 与△ABC 的外接圆分别交于 点 D,E,F.证明:AD⊥EF.

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19、已知△ABC 的外接圆为 S,且满足 AB<AC.过点 A 的高线交圆 S 于 点 P,X 为线段 AC 上的点,并且 BX 交圆 S 于点 Q.证明:BX=CX 的充 要条件是 PQ 为圆 S 的直径.

20、已知 D 为△ABC 的边 AB 上一点,使得 4AD=AB,过 D 的射线 l 满足 与 AD 的夹角 ? ? ?ACB , 且射线 l 与点 C 在直线 AB 的同侧.若 l 与△ABC 的外接圆交于点 P,证明:PB=2PD.

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21、两圆 O1,O2 外切于点 M,并且圆 O2 的半径大于圆 O1 的半径,点 A 是圆 O2 上一点,并且 A, O1,O2 三点不共线.AB,AC 是圆 O1 过点 A 的两 条切线,切点分别是 B,C.直线 MB,MC 于圆 O2 的另外一个交点分别是 E,F,点 D 是线段 EF 与圆 O2 以 A 为切点的切线的交点.证明:当点 A 在圆 O2 上移动且保证 A, O1,O2 三点不共线时, 点 D 沿一条固定的直线 移动.

22、P 是△ABC 内的一点,直线 AC 与 BP 相交于点 Q,直线 AB 与 CP 相交于点 R.已知 AR=RB=CP,CQ=PQ.求 ?BRC 的度数.

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23、已知圆内接正△ABC,在劣弧 BC 上有一点 P,若 AP 与 BC 交于点 D,且 PB=21,PC=28.求 PD 的长度.

24、设圆 O 和直线 l 不相交,AB 是圆 O 的一条直径,并且垂直于直线
l ,点

B 比点 A 更靠近直线 l .在圆 O 上任取一点 C(异于 A,B 两点),

直线 AC 交直线 l 与 D,直线 DE 与圆 O 切于点 E,并且 B,E 在 AC 的同 侧.设 BE 交直线 l 于点 F,AF 交圆 O 于点 G(异于点 A).证明:点 G 关于直线 AB 的对称点在直线 CF 上.

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25、已知非等边三角形 ABC 中,角 A 的平分线交对边 BC 于 A? , AA? 的 中垂线对边 BC 于 A?? .同样的定义 B?, C ? 和 B??, C?? .证明: A??, B??, C?? 三点共 线.

26、设 AD 是圆 O1,O2 的公共弦,过点 D 的直线交圆 O1 于 B,交圆 O2 于 C.E 是线段 AD 上异于 A,D 的点,连接 CE 交圆 O1 于 P,Q 两点.连接 BE 交圆 O2 于 M,N 两点.证明: (1)PMQN 四点共圆,圆心记作 O3 ; (2 )
DO3 ? BC .

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27、已知△ABC 中, ?B ? ?C , ?A 的平分线和过顶点 A 的高线,中线, 分 别 与 BC 边 交 于 点 L,H,D. 证 明 : ?HAL ? ?DAL 的 充 要 条 件 是
?BAC ? 90? .

28、设 L 是正方形 ABCD 的外接圆的劣弧 CD 上的任意一点(异于点 C,D),AL 与 CD 交于点 K,CL 与 AD 交于点 M,MK 与 BC 交于点 N.证明: BMLN 四点共圆.

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8BD2 ? 9 AC 2 . 29、 设四边形 ABCD 内接于圆.若 AB ? BC ? 2 AD ? CD , 证明:

30、已知圆 O 的半径为 r,A 为圆外一点,过点 A 作直线 l (异于 AO) , 交圆 O 于点 B,C,且 B 在 A,C 之间,作直线 l 关于 AO 的对称直线, 交圆 O 于 D,E 两点,且 E 在 A,D 之间.证明:四边形 BCDE 两条对角线 的交点为定点,即该点不依赖于直线 l 的位置.

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31、 设点 O 是锐角△ABC 的外心.分别以△ABC 三边的中点为圆心作过 点 O 的圆,这三个圆两两的异于 O 的交点分别是 K,L,M.证明:点 O 是△KLM 的内心.

32 、 △ ABC

的 内 心 为

I , 三 角 形 内 一 点

P

满 足

?PBA ? ?PCA ? ?PBC ? ?P C . B 证明: AP ? AI

,并且等号当且仅当 P 与

I 重合时成立.

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33、设△ABC 的外接圆为 O,过 B,C 作 BC 的垂线 h 和 g,AB 的中垂线 与 h 交于点 F,AC 的中垂线与 g 交于点 G.证明: BF ? CG 为定值.

34、在凸四边形 ABCD 中,BE//AD,交 AC 的延长线于点 E,AF//BC 交 BD 的延长线于点 F,连接 EF,证明:EF//CD.

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35、已知两个圆相内切,切点为 A,一条直线依次与这两个圆交于点 M,N,P,Q.证明: ?MAP ? ?NAQ .

?BAC ? 120? .设三内角平分线分别交其对边于点 D,E,F. 36、 在△ABC 中,

证明:以 EF 为直径的圆过点 D.

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37、已知圆心分别为 A,B 的两圆交于 C,D 两点.过点 A,B,C 的圆与圆 A, 圆 B 分别交于点 E,F, 且不包含点 C 的弧 EF 在圆 A 和圆 B 的外部. 证明:CD 平分弧 EF.

38、设点 D 是△ABC 的边 AC 上一点,且 BD=CD.点 E 是 BC 边上任意一 点(异于 B,C 两点) ,过 E 作 BD 的平行线交 AB 于点 F.如果 AE 交 BD 于点 G,证明: ?BCG ? ?BCF .

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39、设 H 是锐角△ABC 的高线 CP 上任意一点,AH 和 BH 分别交 BC 和 AC 于点 M 和 N.证明: ?NPC ? ?MPC .

40、已知点 O 是锐角△ABC 的外心,直线 AO 与 BC 交于点 K,点 L,M 分别是边 AB 和 AC 上的点,并且 KL=KB,KM=KC.证明:LM//BC.

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41、设点 C 是以 O 为圆心的半圆的直径 AB 上一点(异于 A,B,O).过 点 C 作两条直线与直线 AB 成等角,它们与半圆分别交于点 D,E(异 于 A,B) ;过点 D 作直线 CD 的垂线交半圆于点 K.如果 K 异于点 E,证 明:KE//AB.

42、在锐角△ABC 中,CD⊥AB 于 D,DE⊥BC 于 E.F 为 DE 上一点(异 于 D,E) ,且满足
EF AD ? .证明:CF⊥AE. FD DB

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43、在三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点,点 M 在边 BC 上,并且满足
?BAM ? ?CAD .记△CAM

的外接圆与 AB 边的另一个交点为 K,△BAM

的外接圆与 AC 边的另一个交点为 L.证明:KL//BC.

44、在三角形 ABC 中,D 为 BC 边的中点,E 为 AC 上一点,连接 BE 交 AD 于 F,若
BF BC ? ? 1 ,证明:BE 平分 ?ABC . FE AB

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45、圆 O 的两条弦 AC 和 BD 相交于 K,设 M,N 分别是△AKB 和△CKD 的外心.证明:四边形 OMKN 是平行四边形.

46、过圆 O 外一点 P 作圆 O 的一条切线 PC 和一条割线 PAB,已知这 两条线均在 PO 的同一侧,CQ⊥PO 于 Q.证明:QC 平分 ?AQB .

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47、 已知圆内接四边形 ABCD 满足 AB=2AD, BC=2CD.若 ?BAD ? ? , AC=d, 求△ABC 的面积.

48、设点 D 事△ABC 内一点,满足 ?DAC ? ?DCA ? 30? , ?DBA ? 60? ,E 是边 BC 的中点,F 是边 AC 的三等分点,满足 AF=2FC.证明:DE⊥EF.

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49、在△ABC 中,D,E 分别在边 AB,AC 上,并且满足 DB=BC=CE,设直 线 CD 与 BE 交于点 F.证明:△ABC 的内心 I,△DEF 的垂心 H,△ABC 的外接圆的弧 BAC 的中点 M 三点共线.

50、圆 P 内切圆 O 于点 T,M,N 分别是圆 P 上两点,AM 的延长线交圆 O 于 B,CN 的延长线交圆 O 于点 A,AD 与 BC 交于点 K,且 M,N,K 三点 共线.证明: ?MTK ? ?NTK .

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51、设点 P 为△ABC 所在平面内一点,γ 为一条过 P 的直线.设点
A?, B?, C ? 分别为直线 PA,PB,PC 关于γ 的对称直线与直线 BC,CA,AB 的

交点.证明: A?, B?, C ? 三点共线.

52、已知 A,B,C 三点在以 O 为圆心的圆Ω 上,并且 ?ABC ? 90? .令 D 是 直线 AB 与过点 C 且垂直于 AC 的直线的交点,l 是过点 D 且垂直于 AO 的直线,E 是 l 与 AC 的交点,F 是圆Ω 与 l 的交点(F 在 D,E 之间). 证明:△BEF 和△CFD 的外接圆相切于点 F.

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53、锐角三角形 ABC 内接于圆 O,并且 AB<AC<BC,角平分线 AD 交圆 O 于 K,圆 O1 的圆心在线段 OA 上,并且圆 O1 经过 A,D 两点,圆 O1 与 AB,AC 的另一个交点分别是 E 和 Z,若 M,N 分别是线段 CZ 和 BE 的中 点.证明:EZ,DM,KC 三线共点于 T,EZ,DN,KB 三线共点于 S,且 OK 为 ST 的中垂线.

54、圆 ?1 和圆 ?2 外切于点 R,直线 l1 过圆 ?1 的圆心 O1 且切圆 ?2 于点 P, 直线 l 2 过圆 ?2 的圆心 O2 且切圆 ?1 于点 Q.设直线 l1 与 l 2 不平行,并记它 们的交点为 K.证明:若 KP=KQ,则△PQR 为等边三角形.

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55、两个圆 S 和 T 外切于点 X.两圆的一条公切线切圆 S 于 A,切圆 T 于 B,A 和 B 不同.已知 AP 是圆 S 的直径,证明:B,X,P 三点共线.

56、已知△ABC,圆 S 过点 B 且与 CA 相切于点 A,圆 T 过点 C 且与 AB 相切于点 A.圆 S 和圆 T 交于点 A,D.直线 AD 和△ABC 的外接圆 O 相交 于 E.证明:D 是线段 AE 的中点.

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57、 △ABC 内一点 P 满足 ?ABP ? ?PCA , 点 Q 使得 PBQC 为平行四边形. 证明: ?QAB ? ?CAP .

58、 已知 ABCD 是圆Ω 的内接四边形, P 是 AC 延长线上一点, 使得 PB,PD 是圆Ω 的切线.过点 C 作圆Ω 的切线与直线 PD,AD 分别交于点 Q,R.若 E 是 AQ 与圆Ω 的另一个交点.证明:B,E,R 三点共线.

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59、如图,AD⊥BC 于 D,K 是 AD 上一点,以 K 为圆心,AK 为半径的 圆交 AB,AC 于点 P,Q,并且 AP ? AQ ? BP ? CQ ,O 是△ABC 的外心.证明: 圆 K 与△BCO 的外接圆外切.

60、AB 是圆 O 的一条弦,中点为 M,过点 M 做一条非直径的弦 CD, 过点 C 和 D 作圆 O 的两条切线, 分别与直线 AB 交于点 P,Q.证明: PA=PB.

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61、AB 是圆 O 的直径,非直径的弦 CD⊥AB,E 为 OC 的中点,连接 AE 并延长交圆 O 于点 P,连接 DP 交 BC 于点 F.证明:F 是 BC 的中点.

62、非锐角△ABC 中,BD,CE 分别是边 AC,AB 上的高.以 AB 为直径作 圆交 CE 于点 M,在 BD 上取点 N,使得 AN=AM.证明:AN⊥CN.

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63、圆 O 是梯形 ABCD 的内切圆,切点分别是 E,F,G,H,,AB//CD.作 BP//AD 交 DC 的延长线于点 P,AO 的延长线交 CP 于点 Q.若 AE=BE,证 明: ?CBQ ? ?PBQ .

64、已知平行四边形 ABCD,过点 A,B,C 三点的圆 O1 分别交 AD,BD 于 点 E,F,过 C,D,F 三点的圆 O2 交 AD 于点 G,设圆 O1 , O2 的半径分别
2 EG R2 为 R1 , R2 .证明: . ? AD R12

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65、在锐角△ABC 中,AB>AC,cosB+cosC=1,E,F 分别是 AB,AC 延长线 上的点, 且满足 ?ABF ? ?ACE ? 90? . (1) 证明: BE+CF=EF; (2) 设 ?EBC 的平分线与 EF 交于点 P,证明:CP 平分 ?BCF .

66、已知 PA,PB 是圆 O 的切线, 切点分别是 A,B.PCD 是圆 O 的一条割 线, 过点 C 作 PA 的平行线, 分别与弦 AB,AD 交于点 E,F.证明: CE=CF.

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67、△ABC 的内切圆分别切 BC,CA,AB 于点 D,E,F,P 是内切圆内任意 一点,线段 PA,PB,PC 分别与内切圆交于点 X,Y,Z.证明:XD,YE,ZF 三 线共点.

68、过点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,AD⊥PO 与 D.证明:AC 是△ ABD 的外接圆的切线.

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69、在△ABC 中, ?C ? 90? ,I 是内心,直线 BI 与 AC 交于点 D,过 D 作 DE//AI 与 BC 交于点 E,直线 EI 与 AB 交于点 F.证明:DF⊥AI.

70、 如图, 在五边形 ABCDE 中, BC=DE,CD//BE,AB>AE.若 ?BAC ? ?DAE , 且
AB AE ? ,证明:AC 平分线段 BE. BD ED

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71、已知 A,B 是圆 O 上的两个定点,C 是优弧 AB 的中点,D 是劣弧 AB 上任意一点,过点 D 作圆 O 的切线,与圆 O 在点 A,B 处的切线分 别交于点 E,F,CE、CF 与弦 AB 分别交于点 G,H.证明:线段 GH 的长 度为定值.

72、如图,已知 M 是△ABC 的边 BC 的中点,圆 O 过点 A,C 且与 AM 相 切,BA 的延长线与圆 O 交于点 D,直线 CD 与 MA 交于点 P.证明:PO⊥ BC.

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73、如图,在△ABC 中, ?B, ?C 为锐角,AD⊥BC,DE⊥AC,M 为 DE 的中点.若 AM⊥BE 于 F,证明:△ABC 为等腰三角形.

74、在平行四边形 ABCD 中,已知 I 是△BCD 的内心,H 是△IBD 的垂 心.证明: ?HAB ? ?HAD .

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河南省师范大学附属中学2015-2016年学年高一上学期数学竞赛班培训真题汇编74题(无答案)

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