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1.1.1变化率问题

时间:2015-01-02


新课导入
观察
动动脑 为什么在 相同的时间内 木块的位移不 一样呢?

观察

为什么 跳水运动员 的速度越来 越快呢?

解决以上2个问题,就需要 我们来学习一种新的函数来解 释这种现象!

1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变

化率问题 随处可见. 让我们从其中的 两个问题,开始变化率与导 数的学习吧!

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的

过程,可以发现,随着气球内空气容量的
增加,气球的半径增加越来越慢.从数学

角度,如何描述这种现象呢?

?

气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 4 3 之间的函数关系是 V(r) = πr 3

?如果将半径r表示为体积V的函数,那么

3V r(V) = 4π
3

?当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1) - r(0) ? 0.62(dm)

r(1) - r(0) ? 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1- 0

r(2) - r(1) ? 0.16(dm) r(2) - r(1) ? 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 -1
?当V从1增加到2时,气球半径增加

显然 0.62>0.16

?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平

均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水

想想运 动员跳水的 过程?

在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位: 秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态?

请计算

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度 :

在0 ? t ? 0.5这段时间里的平均速度 :
h(0.5) - h(0) v= = 4.05 (m / s) 0.5 - 0

在1 ? t ? 2这段时间里的平均速度 :
h(2) - h(1) v= = -8.2 (m / s) 2 -1

h(t)=-4.9t2+6.5t+10
?当时间从t1增加到t2时,运动员的平均

平均速度是多少?

h(t2 ) ? h(t1 ) v? t2 ? t1

总结
以上两个问题都是求变化率, 我们可以用函数关系式y=f(x)来表 示. 那么变化率为 f(x 2 ) - f(x1 )

x 2 - x1

f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

1.平均变化率的定义

? 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” :x2=x1+Δx ; Δy是f(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy . 则平均变化率为

f( x 1 + x) - f( x 1 ) y f(x 2 ) - f(x1 ) = = x x x 2 - x1

注意!
1.Δx是自变量x的改变量,它可以为正, 也可以为负,但不能等于零,而Δy是相 应函数值的改变量,它可以为正,可以为 负,也可以等于零,特别是当函数为常数 函数时,Δy=0. 2. ?x 是一个整体符号,而不是 ? 与 x 相乘.

例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一 点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则 Δy/Δx=( c) A. 3 C. 1 B. 4 D. -1

解:

y =0-(-1)=1;

x =0-(-1)=1;
?y ? ?1 ?x

2.平均变化率的几何意义
? 观察函数f(x)的图象

思考
y Y=f(x)
X2-x1

平均变化率
表示什么?

f(x 2 ) - f(x1 ) x 2 - x1

f(x2) f(x1)

B f(x2)-f(x1) A x1

割线AB的 斜率

O

x2

x

例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ;

(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。

(1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2

(2)解: △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2

?y 4 ? ? ?2 ?x 2

?y 2?x ? x ? (?x) ? ? ?x ?x ? 2 x ? ?x

2

求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 △y f(x 2 ) - f(x1 ) . = x 2 - x1 △x

随堂练习
1.已知函数 f(x),当自变量由 x0变化到 x1时 函数值的增量与相应的自变量的增量比是 函数( A ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对

2 、函数 f ? x ? = x2 在区间 平均变化率是( B )

?-1, 3? 上的

A.4
1 C. 4
2

B.2
3 D. 4

Δy 3 -1 解: = =2 Δx 3 - (-1)

3.质点运动规律为s(t)=t2+3,则从3到3+ Δt的平均速度为 ( )
A.6+Δt C.3+Δt 9 B.6+Δt+ Δt D.9+Δt

? [答案] A

4.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

解:

f(x 0 ? x ) ? f(x 0 ) y ? x x
2 2

(x 0 + △ x) ? x 0 ? = 2x 0 ?△ x △x

5、过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1) 和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线, 求出当Δx=0.1时割线的斜率.
? [解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1 ? =(Δx)3+3(Δx)2+3Δx, Δy ∴割线 PQ 的斜率 k= Δx
(Δx)3+ 3(Δx)2+ 3Δx = =(Δx)2+ 3Δx+ 3. Δx 设 Δx= 0.1 时割线的斜率为 k1,则 k1= 0.12+ 3× 0.1 + 3= 3.31.

作 业 求y=1/x在x=x0附近的平均

变化率.


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