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1.1.1变化率问题


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观察
动动脑 为什么在 相同的时间内 木块的位移不 一样呢?

观察

为什么 跳水运动员 的速度越来 越快呢?

解决以上2个问题,就需要 我们来学习一种新的函数来解 释这种现象!

1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变

化率问题 随处可见. 让我们从其中的 两个问题,开始变化率与导 数的学习吧!

问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的

过程,可以发现,随着气球内空气容量的
增加,气球的半径增加越来越慢.从数学

角度,如何描述这种现象呢?

?

气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 4 3 之间的函数关系是 V(r) = πr 3

?如果将半径r表示为体积V的函数,那么

3V r(V) = 4π
3

?当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1) - r(0) ? 0.62(dm)

r(1) - r(0) ? 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1- 0

r(2) - r(1) ? 0.16(dm) r(2) - r(1) ? 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 -1
?当V从1增加到2时,气球半径增加

显然 0.62>0.16

?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平

均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

问题2 高台跳水

想想运 动员跳水的 过程?

在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位: 秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态?

请计算

0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度 :

在0 ? t ? 0.5这段时间里的平均速度 :
h(0.5) - h(0) v= = 4.05 (m / s) 0.5 - 0

在1 ? t ? 2这段时间里的平均速度 :
h(2) - h(1) v= = -8.2 (m / s) 2 -1

h(t)=-4.9t2+6.5t+10
?当时间从t1增加到t2时,运动员的平均

平均速度是多少?

h(t2 ) ? h(t1 ) v? t2 ? t1

总结
以上两个问题都是求变化率, 我们可以用函数关系式y=f(x)来表 示. 那么变化率为 f(x 2 ) - f(x1 )

x 2 - x1

f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 ? x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

1.平均变化率的定义

? 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” :x2=x1+Δx ; Δy是f(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy . 则平均变化率为

f( x 1 + x) - f( x 1 ) y f(x 2 ) - f(x1 ) = = x x x 2 - x1

注意!
1.Δx是自变量x的改变量,它可以为正, 也可以为负,但不能等于零,而Δy是相 应函数值的改变量,它可以为正,可以为 负,也可以等于零,特别是当函数为常数 函数时,Δy=0. 2. ?x 是一个整体符号,而不是 ? 与 x 相乘.

例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一 点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则 Δy/Δx=( c) A. 3 C. 1 B. 4 D. -1

解:

y =0-(-1)=1;

x =0-(-1)=1;
?y ? ?1 ?x

2.平均变化率的几何意义
? 观察函数f(x)的图象

思考
y Y=f(x)
X2-x1

平均变化率
表示什么?

f(x 2 ) - f(x1 ) x 2 - x1

f(x2) f(x1)

B f(x2)-f(x1) A x1

割线AB的 斜率

O

x2

x

例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ;

(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。

(1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2

(2)解: △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2

?y 4 ? ? ?2 ?x 2

?y 2?x ? x ? (?x) ? ? ?x ?x ? 2 x ? ?x

2

求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 △y f(x 2 ) - f(x1 ) . = x 2 - x1 △x

随堂练习
1.已知函数 f(x),当自变量由 x0变化到 x1时 函数值的增量与相应的自变量的增量比是 函数( A ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在x0处的变化率 C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对

2 、函数 f ? x ? = x2 在区间 平均变化率是( B )

?-1, 3? 上的

A.4
1 C. 4
2

B.2
3 D. 4

Δy 3 -1 解: = =2 Δx 3 - (-1)

3.质点运动规律为s(t)=t2+3,则从3到3+ Δt的平均速度为 ( )
A.6+Δt C.3+Δt 9 B.6+Δt+ Δt D.9+Δt

? [答案] A

4.求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

解:

f(x 0 ? x ) ? f(x 0 ) y ? x x
2 2

(x 0 + △ x) ? x 0 ? = 2x 0 ?△ x △x

5、过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1) 和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线, 求出当Δx=0.1时割线的斜率.
? [解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1 ? =(Δx)3+3(Δx)2+3Δx, Δy ∴割线 PQ 的斜率 k= Δx
(Δx)3+ 3(Δx)2+ 3Δx = =(Δx)2+ 3Δx+ 3. Δx 设 Δx= 0.1 时割线的斜率为 k1,则 k1= 0.12+ 3× 0.1 + 3= 3.31.

作 业 求y=1/x在x=x0附近的平均

变化率.


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