nbhkdz.com冰点文库

1-1第3章 §2导数的概念及其几何意义


第三章

§2

一、选择题 1.设函数 f(x)在 x=1 处存在导数,则 lim → A.f ′(1) 1 C. f ′(1) 3 [答案] C [解析]
Δx→0 Δx 0

f?1+Δx?-f?1? =( 3Δx

)

B.3f ′(1) D.f ′(3)

/>
lim

f?1+Δx?-f?1? 3Δx

f?1+Δx?-f?1? 1 1 = lim = f ′(1). 3Δx→0 Δx 3 2.如果函数 y=f(x)在点(3,4)处的切线与直线 2x+y+1=0 平行,则 f′(3)等于( A.2 C.-2 [答案] C [解析] ∵切线的斜率为-2,∴f′(3)=-2,故选 C. 3.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f ′(x0)>0 C.f ′(x0)=0 [答案] B 1 [解析] 由导数的几何意义可知 f ′(x0)=- <0,故选 B. 2 1 7 4.曲线 y= x3-2 在点(-1,- )处切线的倾斜角为( 3 3 A.30° C.135° [答案] B 1 1 1 Δy 1 [解析] Δy= (-1+Δx)3- ×(-1)3=Δx-Δx2+ Δx3, =1-Δx+ Δx2, 3 3 3 Δx 3
Δx→0

)

1 B.- 2 1 D. 2

)

B.f ′(x0)<0 D.f ′(x0)不存在

)

B.45° D.60°

lim

Δy 1 = lim (1-Δx+ Δx2)=1, Δx Δx→0 3

7? 1 ∴曲线 y= x3-2 在点? . ?-1,-3?处切线的斜率是 1,倾斜角为 45° 3

1 5.函数 y=x+ 在 x=1 处的导数是( x A.2 C.1 [答案] D

) 5 B. 2 D.0

-Δx 1 [解析] Δy=(Δx+1)+ -1-1=Δx+ , Δx+1 Δx+1 Δy 1 =1- , Δx Δx+1
Δx 0

lim →

Δy ?1- 1 ?=1-1=0, = lim Δx Δx→0 ? Δx+1?

1 ∴函数 y=x+ 在 x=1 处的导数为 0. x 6.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 [答案] A [解析] 由已知点(0,b)是切点. Δy=(0+Δx)2+a(0+Δx)+b-b =(Δx)2+aΔx, ∴ Δy Δy =Δx+a,y′|x=0= lim =a. Δx Δx→0 Δx B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 )

∵切线 x-y+1=0 的斜率为 1,∴a=1. 又切点(0,b)在切线上,∴b=1. 二、填空题 7.已知函数 f(x)=x3+2,则 f ′(2)=________. [答案] 12 [解析] f ′(2)= lim → = lim →
Δx 0

?2+Δx?3+2-23-2 Δx

Δx 0

?2+Δx-2?[?2+Δx?2+?2+Δx?· 2+22] Δx

= lim [4+4Δx+(Δx)2+4+2Δx+4] →
Δx 0

= lim [12+6Δx+(Δx)2]=12. →
Δx 0

8.若抛物线 y=x2 与直线 2x+y+m=0 相切,则 m=________. [答案] 1 [解析] 设切点为 P(x0,y0),易知,y′|x=x0=2x0.

? ? ?2x0=-2 ?x0=-1 ? 由? ,得 ,即 P(-1,1), 2 ?y0=x0 ?y0=1 ? ?

又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0 上, 故 2×(-1)+1+m=0,即 m=1. 9.若 f ′(x)=3,则 lim → [答案] 6 [解析]
Δx 0 Δx 0

f?x+2Δx?-f?x? =________. Δx

lim →

f?x+2Δx?-f?x? Δx

f?x+2Δx?-f?x? = lim 2· 2Δx Δx→0 =2 lim →
Δx 0

f?x+2Δx?-f?x? =2f ′(x)=6. 2Δx

三、解答题 10.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切. (1)求切点的坐标; (2)求 a 的值. 1 23? 32 [答案] (1)? ?-3,27?或(1,1) (2)27 [解析] (1)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0). f ′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? Δx

?x+Δx?3-?x+Δx?2+1-?x3-x2+1? = lim Δx Δx→0 =3x2-2x. 1 由题意知,k=1,即 3x2 0-2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1. 3 1 23? 于是切点的坐标为? ?-3,27?或(1,1). 1 23? 23 1 32 (2)当切点为? ?-3,27?时,27=-3+a,∴a=27; 当切点为(1,1)时,1=1+a,∴a=0(舍去). 32 1 23 ∴a 的值为 ,切点坐标为(- , ). 27 3 27

一、选择题 a 11. 已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直, 则 的值为( b )

2 A. 3 1 C. 3 [答案] D [解析] 由导数的定义可得 y′=3x2,

2 B.- 3 1 D.- 3

∴y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率 k=y′|x=1=3, a a 1 由条件知,3× =-1,∴ =- . b b 3 12.已知函数 y=f(x)的图像如图,f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是( )

A.0>f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)<0 C.f′(xA)=f′(xB) D.f′(xA)>f′(xB)>0 [答案] B [解析] f′(xA)和 f′(xB)分别表示函数图像在点 A, B 处的切线斜率, 故 f′(xA)<f′(xB)<0. 13.曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( A.y=x-1 C.y=2x-2 [答案] A [解析] ∵f′(x)= lim → = lim →
Δx 0

)

B.y=-x+1 D.y=-2x+2

?Δx+x?3-2?Δx+x?+1-x3+2x-1 Δx

Δx 0

Δx3+3x· Δx2+3x2· Δx-2Δx Δx

= lim (Δx2+3x· Δx+3x2-2) →
Δx 0

=3x2-2, ∴f′(1)=3-2=1, ∴切线的方程为 y=x-1. 二、填空题

14.函数 y=f(x)的图像在点 P(5,f(5))处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)+f ′(5)= ________. [答案] 2 [解析] 由条件知,f(5)=-5+8=3,f ′(5)=-1, ∴f(5)+f ′(5)=2. 15. 如图, 函数 f(x)的图像是折线段 ABC, 其中 A、 B、 C 的坐标分别为(0,4)、 (2,0)、 (6,4), 则 f[f(0)]=________; lim →
Δx 0

f?1+Δx?-f?1? =________.(用数字作答) Δx

[答案] 2 -2 [解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义. 易知 f(x)=?
?-2x+4 ? ?x-2 ?

?0≤x≤2?

?2<x≤6?



∴f(0)=4,f[f(0)]=f(4)=2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知 lim →
Δx 0

f?1+Δx?-f?1? =f′(1)=-2. Δx

1 16.P 是抛物线 y=x2 上一点,若过点 P 的切线与直线 y=- x+1 垂直,则过点 P 的 2 切线方程为________. [答案] y=2x-1 [解析] 设 P(x0,x2 0),则 k=y′=2x0=2,故 x0=1,∴P(1,1),k=2,∴切线方程为 y -1=2(x-1),即 y=2x-1. 三、解答题 1 17.已知曲线 C:y= 经过点 P(2,-1),求 t-x (1)曲线在点 P 处的切线的斜率. (2)曲线在点 P 处的切线的方程. (3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程. [答案] (1)1 (2)x-y-3=0 (3)y=4x

1 [解析] (1)将 P(2,-1)代入 y= 中得 t=1, t-x

1 ∴y= . 1-x 1 1 - 1 - ? x + Δ x ? 1 - x Δy f?x+Δx?-f?x? ∴ = = Δx Δx Δx = 1 , ?1-x-Δx??1-x?
Δx 0

∴ lim →

Δy 1 = , Δx ?1-x?2 1 =1. ?1-2?2

∴曲线在点 P 处切线的斜率为 k=y′|x=2=

(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=1×(x-2),即 x-y-3=0. (3)∵点 O(0,0)不在曲线 C 上,设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 M(x0,y0), y0 1 则切线斜率 k= = , x0 ?1-x0?2 1 1 1 1 由于 y0= ,∴x0= ,∴切点 M( ,2),切线斜率 k=4,切线方程为 y-2=4(x- ), 2 2 2 1-x0 即 y=4x. 18.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴围成的三角形的面积 1 22 [答案] (1)y=- x- 3 9 125 (2) 12

?x+Δx?2+?x+Δx?-2-x2-x+2 [解析] (1)y′= lim Δx Δx→0 = lim →
Δx 0

2xΔx+Δx2+Δx = lim (2x+Δx+1)=2x+1. Δx Δx→0

∴f′(1)=2×1+1=3, ∴直线 l1 的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2. 1 2 ∵l1⊥l2,则有 2b+1=- ,b=- . 3 3 1 22 ∴直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 y=3x-3 ? ?x=6 ? (2)解方程组? 1 22 ,得? 5 y=- x- ? 3 9 ? ?y=-2 1

.

1 5 故直线 l1 和 l2 的交点坐标为( ,- ). 6 2 22 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(- ,0). 3 1 25 5 125 所以所求三角形的面积 S= × ×|- |= . 2 3 2 12


1-1第3章 §2导数的概念及其几何意义

1-1第3章 §2导数的概念及其几何意义_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档1-1第3章 §2导数的概念及其几何意义_数学_高中教育_教育...

§2 导数的概念及其几何意义

§2 导数的概念及其几何意义 隐藏>> 第3章 一、选择题(每小题 5 分,共 ...? ∴过点(2,1)的切线方程为:y-1=1· (x-2),即 x-y-1=0.故选 A...

2014-2015高中数学 第3章 导数的概念及其几何意义 导数的概念同步练习 北师大版选修1-1

2014-2015高中数学 第3章 导数的概念及其几何意义 导数的概念同步练习 北师大版...(?x) 2 (D) 3 ? ?x -1- 11、若函数 f ( x) 对于任意 x ,有 f...

1导数的概念及几何意义

1导数的概念及几何意义_数学_高中教育_教育专区。导数的概念及几何意义一.变化率...t 2 ? 3 ,求在第 3 秒时瞬时速度 (3).如果质点 A 按规律 v(t ) ?...

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习:第3章 §2 导数的概念及其几何意义]

【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-1)练习:第3章 §2 导数的概念及其几何意义]_数学_高中教育_教育专区。【成才之路】2014-2015学年高中数学...

第3章 导数及其应用(1)导数及其几何意义

2012-2013 高三轮复习(理科)教学案与课时练(11) 第 3 章 导数及其应用(1...的几何意义; 2、能根据定义求几个简单函数的导数,能利用导数公式表及导数的四...

2014-2015高中数学 第3章 导数的概念及其几何意义 导数的几何意义同步练习 北师大版选修1-1

2014-2015高中数学 第3章 导数的概念及其几何意义 导数的几何意义同步练习 北...2 x 2 ? 1 在点 P(-1,3)处的切线方程是( A y ? ?4 x ? 1 B ...

北师大版数学选修1-1教案:第3章-导数的概念及其几何意义-参考学案

北师大版数学选修1-1教案:第3章-导数的概念及其几何意义-参考学案_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 导数的几何意义学习要求 1.理解导数的几何意义 2.会用导数...

导数概念及其几何意义练习

导数概念及其几何意义练习 1、在函数的平均变化率的定义中,自变量的的增量 A . >0 B . <0 C D. =0 满足( ) 2、设函数 A ,当自变量 B 由 改变到 C...