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山西省大同市2015届高三上学期调研数学试卷(文科)

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山西省大同市 2015 届高三上学期调研数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集为 R,函数 f(x)=ln A.(﹣1,1) 的定义域为 M,则?RM 为() C. (﹣∞,﹣1]∪ =() D.1

B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

2. (5 分)设复数 z=﹣1﹣i(i 为虚数单位) ,z 的共轭复数为 A. B. 2 C. 3. (5 分)抛物线 y= x 的准线方程是() A.y=﹣1 B.y=﹣2 C.x=﹣1
2

D.x=﹣2

4. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 A.2 B. C.

=3,则

=()

D.3

5. (5 分)执行程序框图,如果输入的 t∈,则输出的 s 属于()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白 球的概率是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)4cos50°﹣tan40°=() A. B. C. D.2 ﹣1

8. (5 分)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为() A.πa
2

B.

C.

D.5πa

2

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< 了得到 y=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象()

)的图象如图所示,为

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

10. (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()

A.180

B.240
2

C.276

D.300

11. (5 分)已知双曲线

﹣y =1 的左右焦点为 F1、F2,点 P 为左支上一点,且满足

∠F1PF2=60°,则△ F1PF2 的面积为() A. B. C. D. D、2

12. (5 分)如图,偶函数 f(x)的图象如字母 M,奇函数 g(x)的图象如字母 N,若方程 f(f(x) )=0,f(g(x)=0 的实根个数分别为 m、n,则 m+n=()

A.18

B.16

C.14

D.12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在横线上) 13. (5 分)设非零向量 、 、 满足| |=| |=| |, + = ,则 =.

14. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为.

15. (5 分)设函数 f(x)=ax +bx +cx,若 1 和﹣1 是函数 f(x)的两个零点,x1 和 x2 是 f (x)的两个极值点,则 x1?x2=.

3

2

16. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若

=





+

=.

三、解答题:本大题共 5 个小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过 程或步骤. 2 17. (12 分)在△ ABC 中,∠A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且满足 a ﹣2bccosA=(b+c)
2

(1)求∠A 的大小; (2)若 a=3,求△ ABC 周长的取值范围. 18. (12 分)某网络营销部门随机抽查了某市 200 名网友在 2013 年 11 月 11 日的网购金额, 所得数据如下表: 网购金额(单位:千元) 人数 频率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q

(4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3:2 (1)试确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图(如图) . (2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这 200 网友中,用分层抽样的方法从网 购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定 5 人中进行问卷调查,若需从这 5 人中随机选 取 2 人继续访谈,则此 2 人来自不同群体的概率是多少?

19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形, ∠CBB1=60°,AB⊥B1C. (I)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (II)若 AB=2,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 体积.

20. (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 B(1,0)圆 A: (x+1) +y =16,动点 P 在圆 A 上,线段 BP 的垂直平分线 AP 相交点 Q,设动点 Q 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(1,0)点且斜率为 1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长 AB. 21. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; 在 x=1 处取到极值 2.

2

2

(Ⅱ)设函数

.若对任意的 x1∈R,总存在 x2∈,使得 ,求实数 a 的取值范围.

四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选 修 4-1:几何证明选讲. 22. (10 分) 如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是弦, ∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于 D, DE⊥AC 交 AC 延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (Ⅰ)求证:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 ,求 的值.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程.

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 I 的参数方程为

(t 为参数) ,若以 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (1)求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长; (2)若 M(x,y)是曲线 C 上的动点,求 x+y 的最大值.

cos(θ+

) .

六、选修 4-5:不等式选讲. 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣2a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集; (Ⅱ)当 x∈时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

山西省大同市 2015 届高三上学期调研数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集为 R,函数 f(x)=ln A.(﹣1,1) 的定义域为 M,则?RM 为() C. (﹣∞,﹣1]∪

B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 f(x)的定义域确定出 M,根据全集 R,求出 M 的补集即可. 解答: 解:由 f(x)=ln ,得到 >0,即(x+1) (x﹣1)<0,

解得:﹣1<x<1,即 M=(﹣1,1) , ∵全集为 R, ∴?RM=(﹣∞,﹣1]∪

解答: 解:设公比为 q,则

=

=

=1+q =3,

3

所以 q =2, 所以 = = = .

3

故选 B. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和公式. 5. (5 分)执行程序框图,如果输入的 t∈,则输出的 s 属于()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 本题考查的知识点是程序框图,分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图 所示的顺序,可知:该程序的作用是计算一个分段函数的函数值,由条件为 t<1 我们可得, 分段函数的分类标准, 由分支结构中是否两条分支上对应的语句行, 我们易得函数的解析式. 解答: 解:由判断框中的条件为 t<1,可得: 函数分为两段,即 t<1 与 t≥1, 又由满足条件时函数的解析式为:s=3t; 2 不满足条件时,即 t≥1 时,函数的解析式为:s=4t﹣t 故分段函数的解析式为:s= ,

如果输入的 t∈,画出此分段函数在 t∈时的图象, 则输出的 s 属于. 故选 A.

点评: 要求条件结构对应的函数解析式,要分如下几个步骤:①分析流程图的结构,分 析条件结构是如何嵌套的,以确定函数所分的段数;②根据判断框中的条件,设置分类标 准;③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作,分析函数各段的解析式;④对前面的分 类进行总结,写出分段函数的解析式. 6. (5 分)从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白 球的概率是() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计.

分析: 用间接法, 首先分析从 5 个球中任取 3 个球的情况数目, 再求出所取的 3 个球中没 有白球即全部红球的情况数目, 计算可得没有白球的概率, 而“没有白球”与“3 个球中至少有 1 个白球”为对立事件,由对立事件的概率公式,计算可得答案. 3 解答: 解:根据题意,首先分析从 5 个球中任取 3 个球,共 C5 =10 种取法, 3 所取的 3 个球中没有白球即全部红球的情况有 C3 =1 种, 则没有白球的概率为 ; .

则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是

故选 D. 点评: 本题考查古典概型的计算,注意至多、至少一类的问题,可以选用间接法,即借助 对立事件的概率的性质,先求其对立事件的概率,进而求出其本身的概率. 7. (5 分)4cos50°﹣tan40°=() A. B. C. D.2 ﹣1

考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用;二倍角的 正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式第一 项利用诱导公式化简,第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦, 通分后利用同分母分式的减法法则计算,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化 简,整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,约分即可得到结果. 解答: 解:4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=

=

=

=

=

=



故选 C 点评: 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及 诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键. 8. (5 分)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为() A.πa
2

B.

C.

D.5πa

2

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心, 求出球的半径, 即可求出球的表面 积.

解答: 解: 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱,上下底面中心连线的中点 就是球心,则其外接球的半径为 ,

球的表面积为



故选 B. 点评: 本题主要考查空间几何体中位置关系、 球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空 间形象能力.

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< 了得到 y=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象()

)的 图象如图所示,为

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的图象的顶点坐标求出 A,由特殊点的坐标求出 ω,由五点法作图求出 ω 的值,可得 f(x)的解析式,再利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得 A=﹣2,2sinφ= 结合|φ|< ,可得 φ= . + =π,求得 ω=2,故 f(x)=2sin(2x+ ) . ) =2cos2x ,∴sinφ= ,

再根据五点法作图可得 ω× 故把 ( f x) =2sin (2x+

) 的图象向左平移

个单位长度, 可得 y=2sin=2sin (2x+

的图象, 故选:C. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象变换规律,属 于基础题. 10. (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()

A.180

B.240

C.276

D.300

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知几何体复原后,上部是四棱锥,下部是正方体,利用三视图的数据, 求出几何体的表面积即可. 解答: 解:由题意可知几何体复原后,上部是四棱锥,下部是正方体, 四棱锥的底面是边长为 6 的正方形,侧面斜高为 5; 下部是棱长为 6 的正方体, 所以几何体的表面积为:5 个正方形的面积加上棱锥的侧面积, 即:5×6×6+4× 故选 B. ×4=240.

点评: 本题考查几何体与三视图的关系,几何体的表面积的求法,考查计算能力.
2

11. (5 分)已知双曲线

﹣y =1 的左右焦点为 F1、F2,点 P 为左支上一点,且满足

∠F1PF2=60°,则△ F1PF2 的面积为() A. B. C. D.D、2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得 F2(0, ) ,F1 (0,﹣ S= PF1?PF2sin60°,即可求得△ F1PF2 的面积.

) ,由余弦定理可得 PF1?PF2=4,由

解答: 解:由题意可得 F2( ,0) ,F1 (﹣ ,0) ,由余弦定理可得 2 2 2 20=PF1 +PF2 ﹣2PF1?PF2cos60°=(PF1﹣PF2) +PF1?PF2=16+PF1?PF2, ∴PF1?PF2=4.

S△ F1PF2= PF1?PF2sin60°= ×4×

=



故答案为:A. 点评: 本题主要考察了双曲线的简单性质,属于基础题. 12. (5 分)如图,偶函数 f(x)的图象如字母 M,奇函数 g(x)的图象如字母 N,若方程 f(f(x) )=0,f(g(x)=0 的实根个数分别为 m、n,则 m+n=()

A.18

B.16

C.14

D.12

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数,可分别求得 m,n 进而 可得答案. 解答: 解:由图象知,f(x)=0 有 3 个根,0,± , g(x)=0 有 3 个根,0,± (假设与 x 轴交点横坐标为± ) , 由 f(g(x) )=0,得 g(x)=0 或± , 由图象可知 g(x)所对每一个值都能有 3 个根,因而 m=9; 由 g(f(x) )=0,知 f(x)=0 或± , 由图象可可以看出 0 时对应有 3 个根, 而 时有 4 个, 而﹣ 时只有 2 个,加在一起也是 9 个, 即 n=9, ∴m+n=9+9=18, 故选:A. 点评: 本题考查了函数的奇偶性、方程的根,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能 力与计算能力,属于难题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在横线 上) 13. (5 分)设非零向量 、 、 满足| |=| |=| |, + = ,则 = .

考点: 数量积表示两个向量的夹角.

专题: 计算题. 分析: 由非零向量 、 、 满足| |=| |=| |, + = ,知( + ) = ,由此能求出 解答: 解:∵非零向量 、 、 满足| |=| |=| |, + = , ∴( + ) = 即 ∴ ∴ ∴ 故答案为: . = , .
2 2 2 2

,所以

的大小.

, , ,

点评: 本题考查数量积表示两个向量的夹角的计算,是基础题.解题时要认真审题,仔细 解答,注意向量的性质的灵活运用.

14. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣y 的最大值为 3.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应 用. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x﹣y 表示直线在 y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 解答: 解:不等式组表示的平面区域如图所示, 由 得 A(3,3) ,

z=2x﹣y 可转换成 y=2x﹣z,z 最大时,y 值最小, 即:当直线 z=2x﹣y 过点 A(3,3)时, 在 y 轴上截距最小,此时 z 取得最大值 3. 故答案为:3.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 15. (5 分)设函数 f(x)=ax +bx +cx,若 1 和﹣1 是函数 f(x)的两个零点,x1 和 x2 是 f (x)的两个极值点,则 x1?x2= .
3 2

考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程 根的关系. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 由 1 和﹣1 是函数 f(x)的两个零点可得 f(x)=ax +bx +cx=a(x﹣1)x(x+1) , 求导利用根与系数的关系即可. 解答: 解:∵1 和﹣1 是函数 f(x)的两个零点, 3 2 ∴f(x)=ax +bx +cx=a(x﹣1)x(x+1) , 2 ∴x1 和 x2 是 f′(x)=a( 3x ﹣1)=0 的两个根, 则 x1?x2= 故答案为: . .
3 2

点评: 本题考查了导数在求极值时的应用,属于中档题.

16. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若

=





+

= .

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: + = = = = ,代入计算,即可得出结论.

解答: 解:

+

=

=

=

=

=

= ,

故答案为: . 点评: 本题考查等差数列的前 n 项和,考查等差数列的性质,比较基础. 三、解答题:本大题共 5 个小题,每小题 12 分,共 60 分.解答应写出文字说明,证明过 程或步骤. 2 17. (12 分)在△ ABC 中,∠A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且满足 a ﹣2bccosA=(b+c)
2

(1)求∠A 的大小; (2)若 a=3,求△ ABC 周长的取值范围. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1) 利用余弦定理表示出 cosA, 代入已知等式化简得到关系式, 代入表示出的 cosA 中求出值,即可确定出 A 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 a,cosA 的值代入,利用完全平方公式变形,再利用基 本不等式求出 b+c 的最大值,即可确定出周长的范围. 解答: 解: (1)由余弦定理得:cosA=
2 2 2 2 2 2 2 2

,即 b +c ﹣a =2bccosA,
2

2

2

2

代入已知等式得:a ﹣b ﹣c +a =b +2bc+c ,即 b +c ﹣a =﹣bc, ∴cosA= 则∠A=120°; (2)∵a=3,cosA=﹣ , ∴由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 9=b +c +bc=(b+c) ﹣bc≥(b+c) ﹣ = ,
2 2 2 2 2 2 2

=﹣ ,

再由 b+c>a=3 得到:3<b+c≤2 , 则△ ABC 周长 a+b+c 的范围为 6<a+b+c≤2 +3. 点评: 此题考查了余弦定理,基本不等式的运用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18. (12 分)某网络营销部门随机抽查了某市 200 名网友在 2013 年 11 月 11 日的网购金额, 所得数据如下表: 网购金额(单位:千元) 人数 频率 (0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p

(3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计 200 1.00 已知网购金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3:2 (1)试确定 x,y,p,q 的值,并补全频率分布直方图(如图) . (2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验,从这 200 网友中,用分层抽样的方法从网 购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中确定 5 人中进行问卷调查,若需从这 5 人中随机选 取 2 人继续访谈,则此 2 人来自不同群体的概率是多少?

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由网友和为 200,网购金额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 3:2 列 方程组求解 x,y 的值,则 p,q 可求,进一步补全频率分布直方图; (2)分别求出从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中的人数并标记,然后用枚举法 列出从 5 人中随机选取 2 人的所有不同方法数, 查出 2 人来自不同群体的方法数, 最后由古 典概型概率计算公式求解. 解答: 解: (1)根据题意有: ,解得 ∴P=0.4,q=0.25. 补全频率分布直方图如图, .

(2)根据题意,网购金额在(1,2]内的人数为 网购金额在(4,5]内的人数为

(人) ,记为:a,b,c.

(人) ,记为:A,B.

则从这 5 人中随机选取 2 人的选法为: (a,b) , (a,c) , (a,A) , (a,B) , (b,c) , (b,A) , (b,B) , (c,A) , (c,B) , (A,B)共 10 种. 记 2 人来自不同群体的事件为 M,则 M 中含有(a,A) , (a,B) , (b,A) , (b,B) , (c, A) , (c,B)共 6 种. ∴P(M)= .

点评: 本题主要考查频率分布直方图,分层抽样,古典概型等基础知识,考查学生数据处 理和数据分析、运算求解能力和应用知识、或然与必然思想方法的理解程度.是中档题. 19. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形, ∠CBB1=60°,AB⊥B1C. (I)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (II)若 AB=2,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)证 AB 垂直于平面内的两条相交直线,再由线面垂直?面面垂直; (II)先求得三棱锥 B1﹣ABC 的体积,再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来 求解. 解答: 解: (Ⅰ)证明:由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1.

又∵AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,∴AB⊥平面 BB1C1C, 又∵AB?平面 AA1B1B,∴平面 AA1B1B⊥BB1C1C. (Ⅱ)由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连接 CO,则 CO⊥BB1. 由(Ⅰ)知,CO⊥平面 AB1B1A,且 CO= 连接 AB1,则 ∵ ∴V 三棱柱=2 = . = = BC=
2

AB= . =



?CO= ×AB ?CO= =



点评: 本题考查面面垂直的判定及空间几何 体的体积. 20. (12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 B(1,0)圆 A: (x+1) +y =16,动点 P 在圆 A 上,线段 BP 的垂直平分线 AP 相交点 Q,设动点 Q 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(1,0)点且斜率为 1 的直线与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长 AB. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知|QP|=|QB|,Q 在线段 PA 上,利用椭圆的定义,可求曲线 C 的方程; (Ⅱ)求出 AB 的方程,联立直线与椭圆方程,设出 A,B 坐标,通过韦达定理以及弦长公 式即可求解|AB|的距离. 解答: 解: (Ⅰ)由已知|QP|=|QB|,Q 在线段 PA 上,所以|AQ|=|QP|=4,|AQ|+|QB|=4 2 所以点 C 的轨迹是椭圆,2a=4,a=2,2c=2,c=1,∴b =3, 所以 C 点的轨迹方程为 .
2 2

(Ⅱ) ,AB 的直线方程为:y=x﹣1.


2

整理得:7x ﹣8x﹣8=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

∴x1+x2= ,x1?x2=﹣ , |AB|= = .

点评: 本题考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的关系,弦长公式的应用,考查分析问题解 决问题的能力. 21. (12 分)已知函数 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)设函数 .若对任意的 x1∈R,总存在 x2∈,使得 ,求实数 a 的取值范围. 在 x=1 处取到极值 2.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)利用函数的求导公式计算函数的导数,根据函数在 x=1 处取到极值得出函 数在 x=1 处的导数为 0,再把 x=2 代入函数,联立两式求出 m,n 的值即可. 已知函数 在 x=1 处取到极值 2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)的定义域为 R,且 f(﹣x)=﹣f(x) .故 f(x)为奇函数.f(0) =0,x>0 时,f(x)>0,f(x)= ≤2.当且仅当 x=1 时取“=”.

故 f(x)的值域为.从而

.依题意有

(7 分)

解答: 解: (Ⅰ)

(2 分)

根据题意,f(x)=



f′(x)=﹣



由 f(x)在 x=1 处取到极值 2,故 f′(1)=0,f(1)=2 即



解得 m=4,n=1,经检验,此时 f(x)在 x=1 处取得极值.故

(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)的定义域为 R,且 f(﹣x)=﹣f(x) .故 f(x)为奇函数.f(0) =0,x>0 时,f(x)>0,f(x)= ≤2.当且仅当 x=1 时取“=”.

故 f(x)的值域为.从而

.依题意有

(7 分)

函数

的定义域为(0,+∞) ,

(8 分)

①当 a≤1 时,g′(x)>0 函数 g(x)在上单调递增,其最小值为

合题意;

②当 1<a<e 时,函数 g(x)在上有 g′(x)>0,单调递增,所以函数 g(x)最小值为 f (a)=lna+1,由 ,得 .从而知 符合题意. ,不合题

③当 a≥e 时,显然函数 g(x)在上单调递减,其最小值为

意(11 分)综上所述,a 的取值范围为 (12 分) 点评: 该题考查函数的求导,以及函数极值的应用,考查一个函数小于零一个函数时,小 于它的最小值.要会利用函数的导数判断函数的单调性. 四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选 修 4-1:几何证明选讲. 22. (10 分) 如图, AB 是⊙O 的直径, AC 是弦, ∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于 D, DE⊥AC 交 AC 延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (Ⅰ)求证:DE 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 ,求 的值.

考点: 圆的切线的判定定理的证明;相似三角形的判定;相似三角形的性质. 专题: 证明题. 分析: (Ⅰ)根据 OA=OD,得到∠ODA=∠OAD,结合 AD 是∠BAC 的平分线,得到 ∠OAD=∠DAC=∠ODA,可得 OD∥AE.再根据 DE⊥AE,得到 DE⊥OD,结合圆的切线 的判定定理,得到 DE 是⊙O 的切线. (II)连接 BC、DB,过 D 作 DH⊥AB 于 H,因为 AB 是⊙O 的直径,所以在 Rt△ ACB 中, 求出 ,再利用 OD∥AE,所以∠DOH=∠CAB,得到 Rt△ HOD 中,

=

. 设 OD=5x, 则 AB=10x, OH=3x, 用勾股定理, 在 Rt△ HO D
2 2

中算出 DH=4x,再在 Rt△ HAD 中,算出 AD =80x .最后利用△ ADE∽△ADB,得到 AD =AE?AB=AE?10x,从而 AE=8x,再结合△ AEF∽△ODF,得出 解答: 证明: (Ⅰ)连接 OD, ∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD ∵∠BAC 的平分线是 AD ∴∠OAD=∠DAC ∴∠DAC=∠ODA,可得 OD∥AE…(3 分) 又∵DE⊥AE,∴DE⊥OD ∵OD 是⊙O 的半径 ∴DE 是⊙O 的切线.…(5 分) (Ⅱ)连接 BC、DB,过 D 作 DH⊥AB 于 H, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°, Rt△ ABC 中, ∵OD∥AE,∴∠DOH=∠CAB, ∴ ∵Rt△ HOD 中, ∴ . ,
2



,设 OD=5x,则 AB=10x,OH=3x, =4x,AH=AO+OH=8x,
2 2 2

∴Rt△ HOD 中,DH=
2

Rt△ HAD 中,AD =AH +DH =80x …(8 分) ∵∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90° ∴△ADE∽△ADB,可得
2


2 2

∴AD =AE?AB=AE?10x,而 AD =80x ∴AE=8x 又∵OD∥AE, ∴△AEF∽△ODF,可得

…(10 分)

点评: 本题以角平分线和圆中的垂直线段为载体, 通过证明圆的切线和求线段的比, 考查 了相似三角形的性质、相似三角形的判定、圆的切线的判定定理等知识点,属于中档题. 五、选修 4-4:坐标系与参数方程.

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 I 的参数方程为

(t 为参数) ,若以 O 为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (1)求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长; (2)若 M(x,y)是曲线 C 上的动点,求 x+y 的最大值.

cos(θ+

) .

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: (1)将曲线 C 化为普通方程,将直线的参数方程化为标准形式,利用弦心距半径 半弦长满足的勾股定理,即可求弦长. (2)运用圆的参数方程,设出 M,再由两角和的正弦公式化简,运用正弦函数的值域即可 得到最大值.

解答: 解: (1)直线 I 的参数方程为

(t 为参数) ,消去 t,

可得,3x+4y+1=0; 由于 ρ=
2

cos(θ+

)=


2 2

) , ,

即有 ρ =ρcosθ﹣ρsinθ,则有 x +y ﹣x+y=0,其圆心为( ,﹣ ) ,半径为 r=

圆心到直线的距离 d= 故弦长为 2 =2

=

, = ;

(2)可设圆的参数方程为:

(θ 为参数) ,

则设 M( 则 x+y=

, =sin(

) , ) ,

由于 θ∈R,则 x+y 的最大值为 1. 点评: 本题考查参数方程化为标准方程, 极坐标方程化为直角坐标方程, 考查参数的几何 意义及运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

六、选修 4-5:不等式选讲. 24.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣2a|. (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集; (Ⅱ)当 x∈时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ) 当 a=1 时, 由( f x) ≤3, 可得① 或 ③ , 或② ,

.分别求得①、②、③的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ) 当 x∈时,f(x)≤3 恒成立,即|x﹣2a|≤3﹣|2x﹣1|=4﹣2x,化简得 3x﹣4≤2a≤4﹣x.再 根据 3x﹣4 的最大值为 2,4﹣x 的最小值 2,可得 2a=2,从而得到 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,由 f(x)≤3,可得|2x﹣1|+|x﹣2|≤3, ∴① ,或② ,或 ③ .

解①求得 0≤x< ;解②求得 ≤x<2;解③求得 x=2. 综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为. (Ⅱ)∵当 x∈时,f(x)≤3 恒成立, 即|x﹣2a|≤3﹣|2x﹣1|=4﹣2x, 故 2x﹣4≤2a﹣x≤4﹣2x,即 3x﹣4≤2a≤4﹣x. 再根据 3x﹣4 的最大值为 6﹣4=2,4﹣x 的最小值为 4﹣2=2, ∴2a=2,∴a=1, 即 a 的范围为{1}. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法, 函数的恒成立问题, 体现了转化以及分类讨论 的数学思想,属于中档题.


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