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2014全国高中数学联赛二试B卷加试题


2014全国高中数学联赛二试B卷试题和解答
一、如下图,H 是三个半径同为R的圆的共同交点,A,B,C三点则是另外三个交点. (1) 试证明:H 是⊿ ABC 的垂心; (2) 证明:⊿ ABC 的外接圆半径等于R .

证明(1)设三个圆心分别为D,E,F。 因等圆, ∴ DE与CH互相垂直平分于P,DF与BH互相垂直平分于N, FE与AH互相垂直

平分M。PN//BC//EF,且2PN=BC=EF。MP//AC//DF,且2MP=AC=DF。 NM//AB//ED,且2NM=AB=ED. ∴ CH垂直AB, BH垂直AC, AH垂直BC。 ∴ H是?ABC的垂心。 (2)由(1)?ABC ? ?DEF, H是?DEF外心,DH = EH = FH = R. ∴ ?ABC外接圆半径为R.

二、在同一直角坐标系中,函数f x = ax + 4 (a≠ 0)与其反函数 y = f ?1 (x)的图像恰有 3 三个不同的交点. 求实数 a 的取值范围,并证明你的结论 .

解:y = f ?1 (x)的表达式:x =

ay + 4 ,与函数f x = ax + 4

(a≠ 0)的图像的交点坐标是方程组

x=

ay + 4 的解。函数和反函数的图像有三 y = ax + 4

个不同交点,必有一个在y=x线上的。∴ x = ax + 4, x 2 ? ax ? 4 = 0, x1,2 = ∴ x=y=
2 2 a± a 2 +16 2 2

(x>0)

a+ a 2 +16

另两个交点:y ? x = a x ? y ,(x≠ y) ∴y+x+a=0 注意到x > 0, > 0. ∴ < 0 y = ?x ? a = ax + 4 x 2 + 2ax + a2 = ax + 4 x 2 + ax + a2 ? 4 = 0 X1,2 =
?a± a 2 ?4 a 2 ?4 2

=

?a± 16 ?3a 2 2

>0

16 ? 3a2 > 0

(1)

?a ? 16 ? 3a2 > 0 (2) ?a ± 16 ? 3a2 4 < ? (3) 2 a 由(1)?
4 3 3

< < 0

由(2)a2 > 16 ? 3a2 a2 > 4 a< ?2 由(3)(a2 ? 4)2 > 0 ∴?
4 3 3

< < ?2时, 函数与反函数的图像恰有三个交点。 将求出的

三点坐标代入函数式,得证。
三、给定正整数k ≥ 2,a,b 是非零整数,且 a+b 为奇数,假定方程ak x ? bk y = a ? b 有整 数解 x,y, 其中. 0 < | ? | ≤ 2,证明:|a-b|是某个整数的 k 次幂 解: 因0 < | ? | ≤ 2, ∴ ?2 ≤ x ? y ≤ 2 且 x ≠ y,x, y 是整数。 ∴ x ? y = ±1 或 x ? y = ±2 当x = y + 1 时:ak y + ak ? bk y = a ? b.
a k ?b k y a ?b

+ a ?b = 1

ak

a ? b (ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 )y ak + =1 a?b a?b a + b 为奇数, ∴ ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 为奇数

y 为整数 ∴

ak 也为整数 a?b ak = 1 才能成立 a?b

ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 y + 当|a ? b| = c r ,且c 为整数时,才有整数解的可能。 当x = y ? 1 时,同理可证。 当x = y ± 2 时:
a ?b (a k ?1 +a k ?2 b+?+a k ?r b r ?1 +?+b k ?1 )y a ?b a

± a ?b = 1 2ak =1 a?b

2a k

ak ?1 + ak ?2 b + ? + ak ?r br ?1 + ? + bk ?1 y ±

a 因为 a ? b 为奇数, ∴ 仅当 a ? b = c r 且 为整数时,才有可能有整数解。 c 四、设⊿ ABC 是一个边长为 2 3的等边三角形,在⊿ ABC 的内部和边界上任 取 11 个点. (1) 证明:一定存在两个点,它们之间的距离小于或等于1; (2) 证明:一定存在两个点,它们之间的距离严格小于 1;

证 明 :( 1 ) 作 10 个 边 长 为

1 2

的 正 六 边 形 , 如 图 排 列 。 连 AB,BC,CA 得

?ABC 为边长为 2 3的正三角形。?ABC 被各正六边形分成 10 个区域。11 个点放入这 10 个区域。 至少有一个区域有 2 个点。存在 2 个点的这个区域所在的这个正六边形的外接圆直径为 1, ∴ 这 2 个点之间的距离 ≤ 1. 1 得证。 (2)不妨设这 2 个点在有顶点 A 的区域,仅当 2 点分别为 A,D 时距离为 1,否则 2 就得证。而当 2 点分别为 A, D 时,与该区域相邻的两区域内,要么各存在 1 点,要么没有点。 如果存在 1 点,只有在 E,I 位置,2 点距离为 1,否则距离< 1。如果没有点,那么在其 他区域中会存在 2 个以上的点。因为 E,I 的设置,同理,在各区域中的点应置于 F,H,B,G,C 处。 现共用去 9 个点, 还有两个点, 如全在中间的正六边形中, 置于顶点, 则与 D,E,F,G,H,I 其中一点距离<1.如一点在别的任一区域,则距离均<1。 (2)得证。


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