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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第九章 平面解析几何 第1课


数学

R B(理)

§9.1 直线的方程
第九章 平面解析几何

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1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点间的距离公式: 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 d(A,B)=

/>?x2-x1?2+?y2-y1?2 .

(2)中点公式: 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),点
x1+x2 y1+y2 2 . M(x, y)是线段 AB 的中点, 则 x= 2 , y=
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2.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴 正向 与直线 向上 的方向所成的角叫 做这条直线的倾斜角,规定与 x 轴平行或重合的直 线的倾斜角为 零度角 . (2)倾斜角的范围: [0°,180°) .

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3.直线的斜率 (1)定义:直线 y=kx+b 中的 系数k 叫做这条直线的斜 率,垂直于 x 轴的直线斜率不存在; (2)计算公式:若由 A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂 y2-y1 (x1≠x2) 直于 x 轴,则 k= x2-x1 .若直线的倾斜角为 π θ (θ≠ ),则 k= tan θ . 2
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4.直线方程的形式及适用条件
名称 点斜式 几何条件 过点(x0, y0),斜率 为k 斜截式 斜率为 k, 纵截距为 b 方程 局限性

y-y0= 不含 垂直于x轴 k(x-x0) 的直线 y=kx +b 不含 垂直于x轴 的直线

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过两点(x1,y1), y-y1 x-x1 = 两点 不包括 垂直于坐 y - y x - x 2 1 2 1 (x2,y2), 标轴 的直线 式 ( x ≠ x , y ≠ y ) 1 2 1 (x1≠x2, y1≠y2) 2 截距 式 一般 式 在 x 轴、y 轴上 的截距分别为 a,b (a,b≠0) Ax+By+C=0 x y a+b=1 不包括 垂直于坐
标轴 和 过原点

的直线 平面直角坐标系 内的直线都适用

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题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √(2) ×(3) × (4) × (5) ×(6) ×(7) ×(8)√

解析

C
45° 或 135°
? ? π? ?π ?0, ? ∪? ,π? 4? ?2 ? ?

x+y+1=0 或 4x+3y=0

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题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
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【例 1】 经过 P(0,-1)作直 线 l,若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共 点,则直线 l 的斜率 k 和倾 斜角 α 的取值范围分别为 ________, ______________.
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题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 经过 P(0,-1)作直 线 l,若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共 点,则直线 l 的斜率 k 和倾 斜角 α 的取值范围分别为 ________, ______________.
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本题考查斜率求解公式以 及 k 与 α 的函数关系,解 题关键是在求倾斜角时要 对其分锐角、钝角的讨论.

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题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 经过 P(0,-1)作直 线 l,若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共 点,则直线 l 的斜率 k 和倾 斜角 α 的取值范围分别为 ________, ______________.
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如 图 所 示 , 结 合图 形: 为使 l 与线段 AB 总有公共点,则 kPA≤k≤kPB , 而 kPB>0,kPA<0,故 k<0 时,倾斜 角 α 为钝角, k=0 时, α=0, k>0 时,α 为锐角.
-2-?-1? 又 kPA= =-1, 1-0 -1-1 kPB= =1,∴-1≤k≤1. 0-2
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题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
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【例 1】 经过 P(0,-1)作直 线 l,若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共 点,则直线 l 的斜率 k 和倾 斜角 α 的取值范围分别为 ________, ______________.
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π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4

3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4

故倾斜角 α 的取值范围为 π 3π α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4

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题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 经过 P(0,-1)作直 线 l,若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共 点,则直线 l 的斜率 k 和倾 斜角 α 的取值范围分别为
π 3π [ -1,1] [0, ]∪[ ,π) 4 4 ________, ______________.
基础知识 题型分类

π 又当 0≤k≤1 时,0≤α≤ ; 4

3π 当-1≤k<0 时, ≤α<π. 4

故倾斜角 α 的取值范围为 π 3π α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 经过 P(0,-1)作直 线 l,若直线 l 与连接 A(1, -2), B(2,1)的线段总有公共 点,则直线 l 的斜率 k 和倾 斜角 α 的取值范围分别为
π 3π [-1,1] [0, ]∪[ ,π) 4 4 ________, ______________.
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直线倾斜角的范围是[0,π),而这 个区间不是正切函数的单调区间, 因此根据斜率求倾斜角的范围时, ? π? ?π ? 要 分 ?0,2? 与 ?2,π? 两种 情况讨 ? ? ? ? 论.由正切函数图象可以看出当 ? π? α∈?0,2?时,斜率 k∈[0,+∞); ? ? π 当 α= 时,斜率不存在;当 2 ?π ? α∈?2,π?时,斜率 k∈(-∞,0). ? ?
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q, ( B ) 且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为 1 1 3 2 A. B.- C.- D. 3 3 2 3 (2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是 ?π π? ?π 5π? ? ? π? ?5π A.?6 ,2 ?∪?2, 6 ? B.?0,6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?π 5π? 5π? C.?0, 6 ? D.?6, 6 ? ? ? ? ?
解析 (1)依题意,设点 P(a,1),Q(7,b), ? ?a+7=2 则有? ,解得 a=-5,b=-3, ? ?b+1=-2 -3-1 1 从而可知直线 l 的斜率为 =-3. 7+5 3 (2)由 xcos α+ 3y+2=0 得直线斜率 k=- 3 cos α.
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(

)

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若直线 l 与直线 y=1,x=7 分别交于点 P,Q, ( B ) 且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线 l 的斜率为 1 1 3 2 A. B.- C.- D. 3 3 2 3 (2)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是 ?π π? ?π 5π? ? ? π? ?5π A.?6 ,2 ?∪?2, 6 ? B.?0,6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?π 5π? 5π? C.?0, 6 ? D.?6, 6 ? ? ? ? ?
3 3 ∵-1≤cos α≤1,∴- 3 ≤k≤ 3 . 3 3 设直线的倾斜角为 θ,则- ≤tan θ≤ . 3 3 ? ? π? ?π 结合正切函数在?0,2?∪?2,π?上的图象可知, ? ? ? ? π 5π 0≤θ≤6或 6 ≤θ<π.
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( B )

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 根据所给条件求直线 的方程: (1) 直线过点 ( - 4,0) ,倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两 坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点 的距离为 5.
基础知识 题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 根据所给条件求直线 的方程: (1) 直线过点 ( - 4,0) ,倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两 坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点 的距离为 5.
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本题考查直线方程的三种形 式,解题关键在于设出正确 的方程形式.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 根据所给条件求直线 的方程:



(1)由题设知,该直线的斜率存

在,故可采用点斜式.

(1) 直线过点 ( - 4,0) ,倾斜角 设 倾 斜 角 为 α , 则 sin α = 10 10 10 的正弦值为 ; (0<α<π), 10
3 10 1 从而 cos α=± 10 , 则 k=tan α=± 3. (2) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两 1 故所求直线方程为 y=± (x+4). 3 坐标轴上的截距之和为 12; 即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. (3)直线过点(5,10),且到原点 (2)由题设知截距不为 0,设直线方 x y 的距离为 5. 程为a+ =1, 12-a
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题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 根据所给条件求直线

又直线过点(-3,4), 的方程: -3 4 从而 a + =1,解得 a=-4 12 - a (1) 直线过点 ( - 4,0) ,倾斜角

10 的正弦值为 ; 10

或 a=9.
故所求直线方程为 4x-y+16=0 或 (3)当斜率不存在时,所求直线方程 为 x-5=0;

(2) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两 x+3y-9=0. 坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点 的距离为 5.
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当斜率存在时,设其为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5),
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题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 根据所给条件求直线 的方程:

即 kx-y+(10-5k)=0.
|10-5k| 由点线距离公式,得 2 =5, k +1

(1) 直线过点 ( - 4,0) ,倾斜角 10 的正弦值为 ; 3 10 解得 k= . 4 (2) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两 坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点 的距离为 5.
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故所求直线方程为 3x-4y+25=0.

综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

思想方法

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题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【例 2】 根据所给条件求直线 的方程:

在求直线方程时,应先选择适当的 直线方程的形式,并注意各种形式

(1) 直线过点 ( - 4,0) ,倾斜角 的适用条件.用斜截式及点斜式时, 10 直线的斜率必须存在,而两点式不 的正弦值为 ; 10
能表示与坐标轴垂直的直线,截距

(2) 直线过点 ( - 3,4) ,且在两 式不能表示与坐标轴垂直或经过原 坐标轴上的截距之和为 12;
点的直线.故在解题时,若采用截 是否为零;若采用点斜式,应先考 虑斜率不存在的情况.
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(3)直线过点(5,10),且到原点 距式,应注意分类讨论,判断截距 的距离为 5.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1, -3), 倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.
解 (1)设直线 l 在 x、y 轴上的截距均为 a,
若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),
2 ∴l 的方程为 y=3x,即 2x-3y=0. x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a

∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0.
综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点 A(-1, -3), 倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.
(2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾斜角为 2α.
∵tan α=3,
2tan α 3 ∴tan 2α= =- . 4 1-tan2α

又直线经过点 A(-1,-3),
3 因此所求直线方程为 y+3=-4(x+1),

即 3x+4y+15=0.
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题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用

【例 3】

已知直线 l 过点

思维启迪

解析

思维升华

P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半 轴分别交于 A、B 两点,如图 所示,求△ABO 的面积的最 小值及此时直线 l 的方程.

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题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用

【例 3】

已知直线 l 过点

思维启迪

解析

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P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半 轴分别交于 A、B 两点,如图

先求出 AB 所在的直线方程,

所示,求△ABO 的面积的最 再求出 A,B 两点的坐标,表 小值及此时直线 l 的方程.

示出△ABO 的面积,然后利用 相关的数学知识求最值.

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题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用

【例 3】

已知直线 l 过点

思维启迪

解析

思维升华

P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半 解 方法一 轴分别交于 A、B 两点,如图

x y 设直线方程为a+b=
6 , ab

1 (a>0,b>0),

3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 a b 所示,求△ABO 的面积的最

小值及此时直线 l 的方程.

得 ab≥24,

1 3 2 从而 S△AOB=2ab≥12,当且仅当a=b b 2 时等号成立,这时 k=- =- ,从 a 3 而所求直线方程为 2x+3y-12=0.

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题型三 直线方程的综合应用

【例 3】

已知直线 l 过点

思维启迪

解析

思维升华

P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半 方法二 依题意知,直线 l 的斜率 k 轴分别交于 A、B 两点,如图 所示,求△ABO 的面积的最 小值及此时直线 l 的方程.
存在且 k<0.
则直线 l 的方程为 y - 2 = k(x - 3) (k<0),
且有
? ? 2 A?3-k,0?,B(0,2-3k), ? ?

? 2? 1 ∴S△ABO= (2-3k)?3-k? 2 ? ?

4 ? 1? ? =2?12+?-9k?+?-k?? ? ? ?
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题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用

【例 3】

已知直线 l 过点

思维启迪

解析

思维升华

1? P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半 ≥2? ?12+2 ?

4 ? ? ?-9k?· ?-k?? ?

轴分别交于 A、B 两点,如图 所示,求△ABO 的面积的最 小值及此时直线 l 的方程.

1 = ×(12+12)=12. 2
4 2 当且仅当-9k= ,即 k=- 时, 3 -k 等号成立.

即△ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.
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题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用

【例 3】

已知直线 l 过点

思维启迪

解析

思维升华

P(3,2), 且与 x 轴、 y 轴的正半

直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题:解决这类

轴分别交于 A、B 两点,如图 问题,一般是利用直线方程中的 x, 所示,求△ABO 的面积的最 y 的关系,将问题转化为关于 x(或 小值及此时直线 l 的方程.
y)的函数,借助函数的性质解决.

(2)与方程、不等式相结合的问题: 一般是利用方程、不等式的有关知识 (如方程解的个数、 根的存在问题,不 等式的性质、均值不等式等)来解决.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.
(1)证明 直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,
? ?x=-2 ,解得? ? ?y=1

? ?x+2=0 令? ? ?1-y=0



∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)解 1+2k 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴 k

上的截距为 1+2k,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程. ? 1+2k ?- ≤-2 k ? 要使直线不经过第四象限,则必须有 ,解之得 k>0; ? ?1+2k≥1 当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.
(3)解 由 l 的方程,得
? 1+2k ? ? ? A?- , 0 ?,B(0,1+2k). k ? ?

? 1+2k ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0,
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解得 k>0.
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.
2 ? ? ? 1 + 2 k ? 1 1 + 2 k 1 1? 1 1? ? ? ∵S=2· |OA|· |OB|=2· |1+2k|=2· k =2?4k+k+4? ? k ?· ? ? ? ? 1 ≥2×(2×2+4)=4,

1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k=k ,即 k=2,

∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列15 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直 线方程为__________________________________________________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列15 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直 线方程为__________________________________________________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等, 分 类设出直线的方程求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列15 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直 线方程为__________________________________________________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

x y 解析 当截距不为 0 时,设所求直线方程为a+a=1, 即 x+y-a=0, |4+3-a| ∵点 M(4,3)与所求直线的距离为 5, ∴ =5, ∴a=7± 5 2. 2 ∴所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0. 当截距为 0 时,设所求直线方程为 y=kx,
即 kx-y=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列15 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直

x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0. 线方程为__________________________________________________
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

|4k-3| 4 同理可得 2=5,∴k=-3. 1+k

4 ∴所求直线方程为 y=- x,即 4x+3y=0. 3
综上所述,所求直线方程为

x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列15 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直

x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0 线方程为__________________________________________________ .
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

在选用直线方程时常易忽视的情况有
(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况;
(2)选用截距式时,忽视截距为零的情况;
(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.

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思想方法

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思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取 y2-y1 值范围,熟记斜率公式:k= ,该公式 x2-x1 与两点顺序无关,已知两点坐标(x1≠x2)时, 根据该公式可求出经过两点的直线的斜 率. 当 x1=x2, y1≠y2 时, 直线的斜率不存在, 此时直线的倾斜角为 90° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

2.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜

方 法 与 技 巧

角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界, 遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”.

3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定 系数法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在; 每条直

失 误 与 防 范

线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.

2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围; 二是要考虑正切函数的单调性.
3.利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为 (-B, A)不可记错, 但同时注意方向向量是不唯一的.

基础知识

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思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

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专项基础训练
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1.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则 A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 ( D )

解析 直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角, 且 α2>α3, 所以 0<k3<k2, 因此 k1<k3<k2,故选 D.
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2.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截 距相等,则 a 的值是 A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1 ( D )

a+2 解析 由题意得 a+2= a ,

∴a=-2 或 a=1.
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3.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋 转 60° 所得的直线的斜率为 A. 3
解析

( A ) C. 0 D.1+ 3

B.- 3

直线 PQ 的斜率为- 3,则直线 PQ 的倾斜角为

120° ,所求直线的倾斜角为 60° ,tan 60° = 3.

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x y x y 4.两条直线 l1:a-b=1 和 l2:b-a=1 在同一直角坐标系中的 图象可以是 ( A )

x y x y 解析 化为截距式a+ =1,b+ =1. -b -a
假定 l1,判断 a,b,确定 l2 的位置,知 A 项符合.
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5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜 角 α 的范围是 ?π π? A.[0,π) B.?4,2 ? ? ? (
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4 ,2 ?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

)

π 解析 当 cos θ=0 时, 方程变为 x+3=0, 其倾斜角为2;

1 当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=-cos θ.

∵cos θ∈[ -1,1] 且 cos θ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
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5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜 角 α 的范围是 ?π π? A.[0,π) B.?4,2 ? ? ? ( C )
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4 ,2 ?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又 α∈[0,π),
?π π? ?π 3π? ∴α∈?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ?
?π 3π? 综上知,倾斜角的范围是?4, 4 ?,故选 ? ?

C.
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6. 直线 l 与两直线 y=1, x-y-7=0 分别交于 P、 Q 两点,

2 - 3 线段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________ .

解析 设 P(m,1),则 Q(2-m,-3),

∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1),

1+1 2 ∴k= =- . 3 -2-1

基础知识

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7.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ,则 a 的

1 (-∞,-2)∪(0,+∞) 取值范围是________________________.
解析 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90° ,符合要求; a 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率为- , a+1 a a 只要- >1 或者- <0 即可, a+1 a+1 1 解得-1<a<-2或者 a<-1 或者 a>0. 1 综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(0,+∞). 2
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8.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab

16 的最小值为________ .
x y 解析 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为a+b=1,又 -2 -2 C(-2,-2)在该直线上,故 a + b =1,所以-2(a+b) =ab.又 ab>0,故 a<0,b<0.

根据均值不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去) 或 ab≥4,故 ab≥16,当且仅当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.
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9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满 足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6
解 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,

4 y 轴上的截距分别是-k -3,3k+4,
? 4 ? 由已知,得(3k+4)?-k-3?=± 6, ? ?

2 8 解得 k1=-3或 k2=-3.
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1 2 3

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5
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9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满 足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6
故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0.
(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,则直线 l 的方程是 1 y=6x+b,它在 x 轴上的截距是-6b, 由已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1.

∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

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4

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5
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10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角, 过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰 1 好落在直线 y= x 上时, 求直线 AB 的方程. 2 解 由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° ) 3 3 =- , 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x. 3 设 A(m,m),B(- 3n,n),
所以 AB 的中点
?m- C? ? 2 ?

3n m+n? ? , 2 ?,
?

1 由点 C 在 y=2x 上,且 A、P、B 三点共线得
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角, 过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰 1 好落在直线 y= x 上时, 求直线 AB 的方程. 2 ? m- 3n ?m+n=1· 2 2 , ? 2 ? 解得 m= 3,所以 A( 3, 3). m - 0 n - 0 ? = , ? m - 1 - 3 n - 1 ?
3+ 3 3 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= = 2 , 3-1

3+ 3 所以 lAB:y= 2 (x-1),
题型分类

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.
基础知识 思想方法 练出高分

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

基础知识

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思想方法

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平 移 1 个单位后, 又回到原来位置, 那么 l 的斜率为( A ) 1 A.- 3 B.-3 1 C. 3 D.3

基础知识

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2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2.直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过 定点
? 1 ? ? A.?-2,3? ? ? ? ?1 ? ? B.?2,3? ? ? ? ?1 ? ? C.?2,-3? ? ? ?

( D )
? 1 ? ? D.?-2,-3? ? ? ?

解析

∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立,

∴2x+1=0,y+3=0,

1 1 ∴x=- ,y=-3,定点为(- ,-3). 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2

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专项能力提升
3 4 5 6

3.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之 和最小,则直线的方程为 A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 ( )

解析 方法一 直线过点 P(1,4),代入选项,排除 A、D,
又在两坐标轴上的截距均为正,排除 C.
方法二 x y 设所求直线方程为a+b=1(a>0,b>0),

1 4 将(1,4)代入得a+b=1,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之 和最小,则直线的方程为 A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 ( B )

1 4 b 4a a+b=(a+b)(a+b)=5+(a+ b )≥9,
当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小,
x y ∴直线方程为3+6=1,即 2x+y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2

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专项能力提升
3 4 5 6

3 . 4. 已知 A(3,0), B(0,4), 直线 AB 上一动点 P(x, y), 则 xy 的最大值是_____
解析 x y 直线 AB 的方程为3+4=1,

3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4
3 3 3 ∴xy=3y- y2= (-y2+4y)= [-(y-2)2+4]≤3. 4 4 4

即当 P

?3 ? 点坐标为?2,2?时,xy ? ?

取最大值 3.

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练出高分

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专项能力提升
3 4 5 6

5.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,

[-2,2] . 则 b 的取值范围是________
解析 b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,
如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0) 时 b 分别取得最小值和最大值.
∴b 的取值范围是[ -2,2] .

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练出高分

练出高分
1
2

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专项能力提升
3 4 5 6

6.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向 于 A、B 两点. (1)当|PA|· |PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程.
解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负.
设 l:y-4=k(x-1)(k<0).

4 令 y=0,可得 A(1- k,0); 令 x=0,可得 B(0,4-k).
42 (1)|PA|· |PB|= ? ? +16· 1+k2 k 4 1 2 =-k(1+k )=-4(k+k)≥8.(注意 k<0)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向 于 A、B 两点. (1)当|PA|· |PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程.
1 ∴当且仅当k=k 且 k<0 即 k=-1 时,
|PA|· |PB|取最小值. 这时 l 的方程为 x+y-5=0. 4 4 (2)|OA|+|OB|=(1- k)+(4-k)=5-(k+ k)≥9. 4 ∴当且仅当 k=k 且 k<0,即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值.
这时 l 的方程为 2x+y-6=0.
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