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§2.5等比数列前n项和公式教学设计

时间:2012-06-05


§2.5 等比数列前 n 项和公式教学设计
一、教材分析
1、教学内容:《等比数列的前 n 项和》是高中数学人教版《必修 5》第二章《数列》第 5 节的内容, 教学大纲安排本节内容授课时间为两课时, 本节课作为第一课时, 重在研究等比数列的前 n 项和公式的推 导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它 是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期 付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都 是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前 n 项和公式的探究与推 导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和 数学能力的良好载体.

二、学情分析
1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到 本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高一学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问 题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n 项和公式的形成、特点等方面进行类比, 这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有所不同,这 对学生的思维是一个突破,另外,对于 q=1 这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过 程中容易出错.

3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地 解决一些问题.

三、目标分析 教学目标
依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用 公式. 2.过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比,方程,特殊到一般的数学思想、方法,优化学生思维品质.

3.情感态度与价值观 通过故事引入,学生自主探索公式,激发他们的求知欲,体验错位相减法所折射出的数学方法美及学 好数学的必要性. 教学重、难点 1.重点:等比数列的前 n 项和公式的推导和公式的简单应用. 2.难点:由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式

四、教学模式与教法、学法 教学模式 :本课采用“探究—发现—应用”教学模式. 教师的教法:利用多媒体辅助教学,突出活动的组织设计与方法引导. 学生的学法:突出探究、发现与应用. 五、教学过程: 教学 过程 教学内容
1、等比数列定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一 项与它的前一项的比都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列。

师生互动

设计意图

复习 回顾

2、等比数列通项公式: a n ? a 1 q 3、等差数列前 n 项和公式:
Sn ? ( a1 ? a n ) n 2 或 S n ? n a1 ?

n ?1

n ( n ? 1) 2

d

引导学生复习等比 数列各项之间的特 师提出问题, 点:从第二项起每一 学生思考、回答问 项 比 前 一 项 多 乘 以 题 q,从而为用“错位 相减法”求等比数列 前 n 项和埋下伏笔.

一颗麦粒引发的最悲剧奖励
故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励” 相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明 者,问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘的 第 1 个格子里放上 1 颗麦粒,在第 2 个格子里 放上 2 颗麦粒, 在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒, 依次类推,每个格子放的麦粒数都是前一个格 子里放的麦粒数的 2 倍, 直到放完 64 个格子为 止。请给我足够的粮食来实现上述要求。 ” 你认为国王有能力满足发明者上述要求 吗? 思考:如何求出这个和? 师:勾起悬念,介 绍故事内容,引导 学生积极思考,感 受数学的重要 生:积极思考,感 受数学的重要,下 定决心要学好数 学。

用广为流传的故事, 以趣引思,激发学生 学习热情.

探索新知

领悟数学应用价值

S 64 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 2 3

63

解: S 6 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ①
63

2 S 64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3

63

?2

64



师:引导学生分析 这个数列的特点, 用错位相减法求 和。 生:在老师的指导 下求出这个数列 的和。

②-①得: S 6 4 ? 2

64

?1

新知:等比数列的前 n 项和公式 设 等 比 数 列 ?an? , 它 的 前 n 项 和 是
S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? a n ,公比

q≠0 师:怎么推导等比 数列前 n 项和公 式? 引导学生思考 生:思考,以小组 合作的形式进行 推导

思考:能否用 a1 , a n , n 或 q 来 表 示 S n ? 因 为 a n ? a1q
n ?1

,则上式就转化为
n?2

S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q
2

? a1 q

n ?1

问: 等式右边各项 “长相” 上有什么特点? 即:从第二项起每一项比前一项多乘以 q. 师:因此,如果两边同时乘以公比 q 从而有: S n ? a 1 ? a 1 q ? a 1 q ? ? ? a 1 q
2 n ?1

设计意图:以疑导 思,激发学生的探索 欲望,营造一个让学 生主动观察、思考、 讨论的氛围.在教师 的指导下,让学生经 历从特殊到一般,从 已知到未知,步步深 入的过程,让学生自 己探究公式,从而体 验到学习的愉快和 成就感.

qS

n

? a1 q ? a1 q

2

? a1 q 3 ? ? ? a1 q

n

方法:错位相减法
? (1 ? q ) S n ? a 1 ? a 1 q
n

然后 S n ?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

???①

再完善公式,对 q=1 这一特殊情况,让学生先 犯错,再纠错 结论:当 q 或 Sn ?
? 1 时, S n ?

a 1 (1 ? q )
n

1? q



a1 ? a n q 1? q
?


n a1

当 q=1 时, S n

思考: 什么时候用公式①, 什么时候用公式②? 当已知 a1 , q , n 时用公式① 当已知 a1 , q , a n 时用公式② 下列数列为等比数列,判断正误

师:让学生思考

剖析公式中的基本 生:思考,并发 量及结构特征,识记 现 公 式 的 特 点 及 公式.
应用规律

熟悉等比数列求和

公式的应用,并体会 师:提问学生 等比数列前 n 项和中 ① ? 2 ? 4 ? 8 ? 1 6 ? ? ? ( ? 2 ) ? ? 2 ? (1 ? 2 ) ( ) 1 ? (?2) 公比 q,项数 n 应用 时应该注意的问题, n 1 ? (1 ? 2 ) 2 3 n ②1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ( ) 生:思考,并回答 及 渗 透 含 有 参 数 的 1? 2 问题 求和问题如何解决
n n

动手试试

思考: 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 能用等比数列
2 3 n

前 n 项和公式②求解吗? ③c ? c ? c ? ? ? c ?
2 3 n

c ? (1 ? c )
n

1? c



) 师:展示例题 习题 生:思考这题 目,并完成 教师巡视,并 请一些学生上黑 板写出解答过程 (获投影学生的 答案)

例 1、求下列等比 数列前 5 项的和. (1)
1 2



1 4



1 8

,?
1 243

熟练公式运用,着重 强调公式的选择.

(2)a1=27,a9=

,q<0,

例 2、已知 ? a n ? 是等比数列,请完成下表 题号

a1
27

q
2 3

n

an
8

Sn

典型例题

(1) (2)

运用新知,加深对知 识的理解,巩固新学 知识。

-2

-96

-63

点评:将等比数列问题化归为基本量的关系来 解 决 是 通 性 通 法 , 五 个 基 本 量 是
a1 , q , n , a n , S n , 知道任意三个, 可建立方程组,

学生独立完成

呼应书中思考 进一步应用公式解 题,巩固所学知识

求出另外两个,即“知三求二” 。 一、从知识方面小结 1.等比数列前 n 项和公式是什么? 2.我们采用何种方法推导出该公式? 3.使用的时候对公比 q 有何不同要求? 4.等比数列 5 个相关量是哪些?相互有何关 系? 二、从数学思想方面小结 由等差数列联想到等比数列,打通解题思路, 了解分类讨论和方程思想,提高分析,解决问 题的能力

学习小结

学生归纳总结

从知识的归纳进一 步延伸到思想方法 提炼,把数学的学习 作为提高学生数学 素养和文化水平的 有效途径.


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