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3.4.1 第2课时 用二分法求方程的近似解1


第3章 指数函数、对数函数和幂函数

3.4.1

第2课时

用二分法求方程的近似解

中央电视台 “幸运52”录制现场

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四大数学思想:等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论

问题情境:

1.能否

求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x2-2x-1=0 (3) x3+3x-1=0 指出:用配方法求得方程 x2-2x-1=0的解,但此法不能 运用于解另外两个方程。 2.不解方程,能否解出它们的近似解?

学生活动 学生活动 与讨论 与讨论

四大数学思想:等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论

探究解法
1 .不解方程,如何求方程 x2-2x-1=0 的一 个正的近似解(精确到0.1)? y y=x2-2x-1 画出y=x2-2x-1的图象,如图 可得:方程x2-2x-1=0 x 一个根x1在区间(2,3)内, -1 0 1 2 3 另一个根x2在区间(-1,0)内 由此可知:借助函数f(x)= x2-2x-1的图象, 我们发现f(2)=-1<0,f(3)=2>0,这表明此函数图 象在区间(2,3)上穿过x轴一次,可得出方程在 区间(2,3)上有惟一解.

四大数学思想:等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论

学生活动 思考:如何进一步 讨论 有效缩小根所在的区间?
+ y y=x2-2x-1 + 3 2.5 + + 3 2.5 2.25 x + + -1 0 1 2 3 3 2.25 2.375 2.5 + + + 3 2.25 2.25 2.375 2.5 2 2.5 3 2.4375的近似值都为2.4, 由于2.375与2.4375 2 2.5

2 2 2 2 2

+

3

- - -

停止操作,所求近似解为2.4。

数离形时少直观,形离数时难入微!

四大数学思想:等价转化 ,函数与方程,数形结合,分类讨论 构建数学:

1.简述上述求方程近似解的过程 解:设 f (x)=x2-2x-1,设x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4

通过自己的语言表达,有助于对概念、方法的理解!

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二分法定义
自行探究定义
对于在区间[a,b]上连续不断,且f (a)f (b)<0 的函数y=f (x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近 零点,进而得到零点(或对应方程的根)近似解 的方法叫做二分法。 注意: 1、函数y=f (x)在[a,b]上连续不断。 2、 y=f (x)满足 f (a)f (b)<0

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归纳总结
二分法求解方程 f(x)=0( 或 g(x)=h(x)) 近似解的 利用“f (m)f (n)<0, 基本步骤:

1.寻找解所在的区间: (1)图象法; (2)函数状态法; 2.不断二分解所在的区间; 3.根据精确度得出近似解。 困难在哪里? 确定第一个区间!

则在(m,n)内必有零 点”。



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例题2:利用计算器,求方程2x=4-x的近似解 (精确到0.1) 怎样找到它的解所在的区间呢? y=2x y x 在同一坐标系内画函数y=2 4 与y=4-x的图象,如图: 得:方程有一个解x0 ∈(0,4)
1 0 1 2 y=4-x 4

x

如果画得很准确,可得x0 ∈(1,2)

提问:能否不画图确定根所在的区间?

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解:设函数f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数,∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0

∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点, ∴方程2x+x-4 =0在(0,2)内有惟一解x0。 由f (1)= -1<0, f (2)=2>0得:x0∈(1,2) 由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0得:x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0得:x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0得:x0∈(1.375,1.5)
由f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0得:x0∈(1.375,1.4375)

∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4

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练习:求方程x3+3x-1=0的一个近似解 (精确到0.01)。 画y=x3+3x-1的图象比较困难, 变形为x3=1-3x,画两个函数的图象如何?

有惟一解x0∈(0,1)
1

y
y=x3

0

x
1

y=1-3x

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思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个接点,现在某接点发生故障,需及时修 理,为了尽快断定故障发生点,一般至少 需要检查几个接点? 6 7 8 9 10 1 11 2 3 4 5 12
13 14 15

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课堂小结
1.明确二分法是一种求一元方程近似解的通法。 2.算法定义,了解算法特点。 3.尝试对二分法进行编程,通过计算机来求方 程的近似解。 4.数学来源于生活,又应用于生活。 5.本节课充分体现了数学中的四大数学思想, 即:……


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