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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第11章 第7节 离散型随机变量及其分布列(理)


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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十一章
计数原理与概率(理) 概率(文)

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第十一章 第七节
离散型随机变量及其分布列(理)

第十一章

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

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第十一章

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考纲要求 1.理解取有 限个值的离散型 随机变量及其分 布列的概念,了 解分布列对于刻 画随机现象的重 要性. 2.理解超几 何分布及其导出 过程,并能进行 简单的应用.

命题分析

随机事件的概率计算与离散型随机变 量的分布列的求法一直是近年各地命题的 热点,一般都以解答题形式出现,属中档 题,由于运算量大,故本题型解答时要注 意审题,同时运算时要细心,对运算结果 要用性质检查. 预测2016年仍坚持以实际问题为背 景,结合常见事件的概率,考查离散型随 机变量的分布列的求法、均值与方差的求 法,选择实际问题更生活化,加强与概率 计算、统计等知识的联系应加以关注.

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1.离散型随机变量的分布列 (1)如果随机试验的每一个可能的结果都对应于一个数,那 随机变量 ,随机变量的取值能够一一列出, 么这种对应叫作__________ 这样的随机变量叫作_______________ 离散型随机变量 .

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(2)设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,?xn,X 取 每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,则称表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

≥0 ,i= 为随机变量 X 的概率分布,具有性质:①pi______ 1 1,2,?,n;②p1+p2+?+pi+?+pn=____.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范 概率之和. 围内各个值的________

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2.超几何分布列 在含有 M 件次品数的 N 件产品中,任取 n 件,其中含有 X k n-k C MCN-M k 件次品数,则事件(X=k)发生的概率为:P(X=k)=________( n CN =0,1,2,?,m),其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n、 M、N∈N+称分布列 X P 0
n -0 C0 · C M N-M Cn N

1
n-1 C1 C M N-M Cn N

? ?

m
n-m Cm C M N-M n CN

为超几何分布列.
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3.两点分布 如果随机变量 X 的分布列为 X 1 0 P p q 1-p ,则称离散型随机变量 X 服从参数 其中 0<p<1,q=______ 为 p 的两点分布.

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1. 抛掷两颗骰子,所得点数之和记为 X ,那么 X= 4表示的 随机试验结果是( )

A.两颗都是4点
B.两颗都是2点 C.一颗是1点,另一颗是3点 D.一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点 [答案] D

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[解析]

由于抛掷一颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6

这6种情况之一,而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和,所以X =4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是:一颗是1点,另一

颗是3点,或者两颗都是2点.

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2.袋中有 3个白球, 5个黑球,从中任取两个,可以作为
随机变量的是( ) B.至少取到1个白球 D.取到的球的个数 A.至少取到1个白球 C.取到白球的个数 [答案] C

[解析]

选项A,B表述的都是随机事件,选项D是确定的

值2,并不随机;选项C是随机变量,可能取值为0,1,2.

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3.下列4个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的一
个是(
A. X P B. X P 0 0.3 1 -0.1 2 0.8 0 0.3 1 0.4 2 0.5

)

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C. X P D. X P 0 1 7 1 2 7 2 3 7 1 0.2 2 0.5 3 0.3 4 0

[ 答案] [ 解析]

C 利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可.

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4.设 X 是一个随机变量,其分布列为 X P ,则 q 为( A.1 ) 2 B.1± 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2

2 2 C.1+ 2 D.1- 2 [ 答案] D 1 [ 解析] 2+(1-2q)+q2=1,

2 2 2 解得 q=1± 2 ,又 1-2q≥0,q ≥0,故 q=1- 2 .
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i 5.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)=2a(i=1,2,3),则 P(X=2)=________. 1 [ 答案] 3 1 2 3 [ 解析] 由分布列的性质知2a+2a+2a=1,∴a=3,
2 1 ∴P(X=2)=2a=3.

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6.从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设 其中有 X 个红球,随机变量 X 的概率分布为 X P 0 a 1 b 2 c

则 a=________,b=________,c=________. 1 3 3 [ 答案] 10 5 10 [ 解析] X 服从超几何分布,故
2 1 C0 1 C1 3 3C2 3C2 P(X=0)= C2 =10,P(X=1)= C2 =5, 5 5 0 C2 C 3 3 2 P(X=2)= C2 =10. 5

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课堂典例讲练

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离散型随机变量分布列的性质

设离散型随机变量 X 的分布列为: X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

求随机变量 Y=|X-1|的分布列. [ 规范解答] 由分布列的性质,知
0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 列表 X |X-1| 0 1 1 0 2 1 3 2
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∴P(Y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3, P(Y=0)=P(X=1)=0.1, P(Y=2)=0.3, P(Y=3)=0.3. 因此 Y=|X-1|的分布列为: Y P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3

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[ 方法总结 ]

(1) 利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的

值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数. (2)若X是随机变量,则Y=|X-1|仍然是随机变量,求它的 分布列可先求出相应随机变量的值,再根据互斥事件概率加法

求Y取各值的概率,进而写出分布列.

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随机变量 X 的分布列如下: X P -1 a 0 b 1 c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 2 [ 答案] 3 2 ? ? ?a+c=3 ?2b=a+c [ 解析] 由题意可得? ,解得? , ? 1 ?a+b+c=1 ?b= 3 ?
2 所以 P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=3.
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随机变量的分布列
某企业准备招聘一批大学生到本单位就业, 但在 签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个 小组中有男、女生共 10 人(其中女生人数多于男生人数),如果 8 从中随机选 2 人参加测试,其中恰为一男一女的概率为15. (1)求该小组中女生的人数;

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(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生 3 1 通过的概率均为4,每个男生通过的概率为2.现对该小组中男生 甲、男生乙和女生丙 3 个人进行测试,记这 3 人中通过测试的 人数为随机变量 X,求 X 的分布列.

[ 规范解答]

(1)设该小组中有 n 个女生.

1 C1 C 8 n 10-n 根据是题意,得 C2 =15. 10

解得 n=6,n=4(舍去). ∴该小组中有 6 个女生.

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(2)由题意,X 的取值范为 0,1,2,3. 1 1 1 1 ∵P(X=0)=2×2×4=16, 1 1 1 12 3 1 P(X=1)=C2× × × +? ? × = 2 2 4 4
?2? ? ?

5 4 16,

3 12 1 1 1 2 ? ? P(X=2)=C2 × +? ? × =
?2? ?2? ?1? 3 3 2 P(X=3)=?2? ×4=16. ? ?

? ?

? ?

7 4 16,

故 X 的分布列为: X P 0 1 16 1 5 16 2 7 16
第十一章

3 3 16
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[方法总结]

离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映

其所取的一切可能值,而且能清楚地看到每一个值的大小,从

而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.

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一个袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5 ,在袋中同时取 3
只,以X表示取出的三只球中的最小号码,写出随机变量X的分 布列.

[ 解析]

随机变量 X 的可能取值为 1,2,3.

当 X=1 时,即取出的三只球中最小号码为 1,则其他两只 球只能在编号为 2,3,4,5 的四只球中任取两只, C2 6 3 4 故有 P(X=1)=C3=10=5; 5

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当 X=2 时,即取出的三只球中最小号码为 2,则其他两只 球只能在编号为 3,4,5 的三只球中任取两只, C2 3 3 故有 P(X=2)=C3=10; 5 当 X=3 时,即取出的三只球最小号码为 3,则其他两个球 只能在编号为 4,5 的两只球中任取两只, C2 1 2 故有 P(X=3)=C3=10. 5 因此,X 的分布列如表所示: X P 1 3 5 2 3 10 3 1 10
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超几何分布与两点分布 (2015·哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气 动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗

粒物,根据现行国家标准 GB3095—2012 , PM2.5 日均值在 35微
克/立方米以下空气质量为一级;在 35微克/立方米~75微克/立 方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超 标. 从某自然保护区 2014年全年每天的 PM2.5监测数据中随机 地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:

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PM2.5 日均值 (微克/ [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 立方 米) 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中, 随机抽出 3 天, 求恰有一天空气质量达到一级的概率; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据. 记 X 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 X 的分布列.
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[思路分析]

(1)求解本题的关键在于:①从统计图表中准

确提取信息;②明确随机变量X服从超几何分布.

[ 规范解答]

(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,

随机抽出 3 天,恰有一天空气质量达到一级”为事件 A,则 C1 C2 21 3· 7 P(A)= C3 =40. 10

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(2)依据条件,X 服从超几何分布,其中 N=10,M=3,n =3,且随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.
3-k Ck · C 3 7 P(X=k)= C3 (k=0,1,2,3), 10 3 1 2 C0 C 7 C 21 3 7 3C7 ∴P(X=0)= C3 =24,P(X=1)= C3 =40, 10 10 1 0 C2 7 C3 1 3C7 3C7 P(X=2)= C3 =40,P(X=3)= C3 =120, 10 10

因此 X 的分布列为 X P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120
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[方法总结]

超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机

变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:(1)考察 对象分两类; (2) 已知各类对象的个数; (3) 从中抽取若干个个

体,考查某类个体个数 X的概率分布,超几何分布主要用于抽
检产品、摸不同类型的小球等概率模型,其实质是古典概型.

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一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球,从中 摸出两球.当两球全红时,记为 X=0;当两球非全红时,记为 X=1.试求 X 的分布列. [ 解析] 由题意可知 X 服从两点分布,
C2 3 3 8 6 则 P(X=0)=C2 =11,P(X=1)=1-11=11. 11 所以 X 的分布列为 X P 1 8 11 0 3 11
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分类讨论思想在概率中的应用 (2015· 大连模拟)在一个盒子中, 放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡 片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求椭机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的 概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

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[ 思路分析 ]

(1) 根据 x , y 的取值,随机变量 ξ 的最大值为

3,当ξ=3时,只能x=1,y=3或x=3,y=1;(2)根据x,y的取 值, ξ 的所有取值为 0,1,2,3 ,列举计数计算其相应的概率值即 可.

[ 规范解答]

(1)∵x,y 可能的取值为 1,2,3,

∴|x-2|≤1,|y-x|≤2, ∴ξ≤3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ=3. 因此,随机变量 ξ 的最大值为 3.

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∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9(种), 2 ∴P(ξ=3)=9. 故随机变量 ξ 的最大值为 3, 事件“ξ 取得最大值”的概率 2 为9.

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(2)ξ的所有取值为0,1,2,3. ∵ξ=0时,只有x=2,y=2这一种情况,

ξ = 1 时,有 x = 1 , y = 1 或 x = 2 , y = 1 或 x = 2 , y = 3 或 x =
3,y=3四种情况, ξ=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况, ξ=3时,有x=1,y=3或x=3,y=1两种情况.

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1 4 2 ∴P(ξ=0)=9,P(ξ=1)=9,P(ξ=2)=9, 2 P(ξ=3)=9. 则随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 0 1 9 1 4 9 2 2 9 3 2 9

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[方法总结]

(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所

有可能值及对应的概率. (2) 随机变量 ξ 的值是 x , y 的函数,所以要对 x , y 的取值进 行分类讨论.

(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.

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2014 年 10 月 1 日,为庆祝中华人民共和国成立 65 周年, 来自北京大学和清华大学的 6 名大学生志愿者被随机平均分配 到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服 3 务,且运送矿泉水岗位至少有 1 名北京大学志愿者的概率是5. (1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概率; (2)设随机变量 ξ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者 的人数,求 ξ 的分布列.
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[ 解析]

(1)记“至少有 1 名北京大学志愿者被分到运送矿

泉水岗位”为事件 A,则事件 A 的对立事件为“没有北京大学 志愿者被分到运送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者 x 名, C2 3 6-x 1≤x<6,x∈N+,那么 P(A)=1- C2 =5,解得 x=2,即来自 6 北京大学的志愿者有 2 名,来自清华大学的志愿者有 4 名. 记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1
1 C1 C 8 2 4 名”为事件 B,则 P(B)= C2 =15, 6

所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 8 名的概率是15.
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(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 ξ 服从超 几何分布,其中 N=6,M=2,n=2,于是
2-k Ck C 2 4 P(ξ=k)= C2 ,k=0,1,2, 6 2 C0 C 2 2 4 ∴P(ξ=0)= C2 =5, 6 1 C1 C 8 2 4 P(ξ=1)= C2 =15, 6

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0 C2 1 2C4 P(ξ=2)= C2 =15. 6

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 2 5 1 8 15 2 1 15

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对随机变量的意义理解不清致误 某射手有 5 发子弹,射击一次命中概率为 0.9. 如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数 X 的分布列.
[ 错解] P(X=1)=0.9;P(X=2)=0.1×0.9=0.09; P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009; P(X=4)=0.13×0.9=0.0009; P(X=5)=0.15=0.00001.

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[ 错因分析]

X=5 时,应包含两种情形:一是前 4 发都没

有命中,恰好第 5 发命中,概率为 0.14×0.9;二是这 5 发子弹 均未命中目标,概率为 0.15,因此 P(X=5)=0.14×0.9+0.15= 0.0001 或 P(X=5)=1-(0.9+0.09+0.009+0.0009)=0.0001, 之 所以发生 P(X=5)=0.15 或 P(X=5)=0.14×0.9 等错误,原因是 对分布列性质不理解,分布列中概率和应为 1.

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[ 正确解答]

P(X=1)=0.9,

P(X=2)=0.1×0.9=0.09, P(X=3)=0.1×0.1×0.9=0.009, P(X=4)=0.1×0.1×0.1×0.9=0.0009, 当 X=5 时,只要前四次射击不中的都要射第 5 发子弹, 第 5 发子弹可能射中也可能射不中. ∴P(X=5)=0.15+0.14×0.9=0.14.

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∴耗用子弹数 X 的分布列为 X P 1 2 3 4 5 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1

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[误区警示]

准确无误地找出随机变量的所有可能取值,

并计算出随机变量每一个取值的概率是写出分布列的关键.在 分布列中,各个概率的和为 1 ,对分布列的性质不理解是发生

错误的重要原因.

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一类表格 统计就是通过采集数据,用图表或其他方法去处理数据,

利用一些重要的特征数信息进行评估并做出决策,而离散型随
机变量的分布列就是进行数据处理的一种表格.第一行数据是 随机变量的取值,把试验的所有结果进行分类,分为若干个事 件,随机变量的取值,就是这些事件的代码;第二行数据是第 一行数据代表事件的概率,利用离散型随机变量的分布列,很 容易求出其均值和方差等特征值.

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两条性质
(1)第二行数据中的数都在(0,1)内; (2)第二行所有数的和等于1. 三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列;

(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列;
(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布 列.

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课时作业
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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固:第11章 第7节 离散型随机变量及其分布列(理)

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