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(人教A版)数学必修五 :2-1-2《数列的概念与简单表示法(二)》教案(含答案)


教学设计
2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)? 从容说课 这节课通过对数列通项公式的正确理解, 让学生进一步了解数列的递推公式, 明确递推 公式与通项公式的异同; 会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 通过经历数列知识的感 受及理解运用的过程,作好探究性教学.发挥学生的主体 作用,提高学生的分析问题以及解 决问题的能力.? 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的

前几项.? 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.? 教具准备 多媒体?? 三维目标 一、知识与技能? 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公 式的异同;? 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.?? 二、过程与方法? 1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验;? 3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣.?? 教学过程 导入新课 师 同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪位同学能谈一 谈什么叫数列的通项公式?? 生 如果数列{an}的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式.? 师 你能举例说明吗?? 生 如数列 0,1,2,3,…的通项公式为 an=n-1(n∈N*);? 1,1,1 的通项公式为 an=1(n∈N*,1≤n≤3);?

1,

1 1 1 1 , , ,…的通项公式为 an= (n∈N*).? 2 3 4 n

[合作探究]? 数列的表示方法? 师 通项公式是表示数列的很好的方法,同学们想一想还有哪些方法可以表示数列??? 生 图象法,我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 n 为横坐标,相应 的项 an 为纵坐标,即以 (n,an) 为坐标在平面直角坐标系中作出点 ( 以前面提到的数列 1,

1 1 1 , , ,…为例,作出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标 2 3 4
为正整数,所以这些点都在 y 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观 地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.? 师 说得很好,还有其他的方法吗?? 生 ……? 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法:递推公式法? 知识都来源于实践,同时还要应用于生活,用其来 解决一些实际问题.下面同学们来看右下 图:钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图,寻其规律,看看能否建立它的一些数学 模型. 生 模型一:自上而下?

第 1 层钢管数为 4,即 1?4=1+3;? 第 2 层钢管数为 5,即 2?5=2+3;? 第 3 层钢管数为 6,即 3?6=3+3;? 第 4 层钢管数为 7,即 4?7=4+3;? 第 5 层钢管数为 8,即 5?8=5+3;? 第 6 层钢管数为 9,即 6?9=6+3;? 第 7 层钢管数为 10,即 7?10=7+3.? 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an=n+3(1≤n≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,这完全正确,运 用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同 学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律)?

生 模型二:上下层之间的关系? 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1,? 即 a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1.? 依此类推:an=a n-1+1(2≤n≤7).? 师 对于上述所求关系,同学们有什么样的理解?? 生 若知其第 1 项,就可以求出第二项,以此类推,即可求出其他项.? 师 看来,这一关系也较为重要,我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.? 推进新课? 1.递推公式定义:? 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项), 且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的关系可 以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式.? 注意:递推公式也是给出数列的一种方法.? 如下列数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89.? 递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).? 2.数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,函数的表示法有:列表法、 图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法:即列表法、图象法、解析 式法.? [例题剖析]?

?a1 ? 1 ? 【例 1】 设数列{an}满足 ? 1 , n>1 .写出这个数列的前五项.? a ? 1 ? n ? an?1 ?
师 分析:题中已给出{an}的第 1 项即 a1=1,题目要求写出这个数列的前五项,因而只要再 求出二到五项即可.这个递推公式:an=1+

1 我们将如何应用呢?? an?1

生 这要将 n 的值 2 和 a1=1 代入这个递推公式计算就可求出第二项, 然后依次这样进行就可 以了.? 师 请大家计算一下!? 生 解:据题意可知:a1=1,a2=1+

2 5 8 1 1 1 =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5= ? 3 3 5 a1 a2 a3

师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系,同学们要注意探究和发现递推公式中 的前项与后项,或前后几项之间的关系.? 【例 2】 已知 a1=2,an+1=2an,写出前 5 项,并猜想 an.? 师 由例 1 的经验我们先求前 5 项.? 生 前 5 项分别为 2,4,8,16,32.? 师 对,下面来猜想第 n 项.? 生 由 a1=2,a2=2× 2=22,a3=2× 22=23 观察可得,我猜想 an=2n.? 师 很好!? 生 老师,本题若改为求 an 是否还可这样去解呢?? 师 不能.必须有求解的过程.? 生 老师,我由 a
n+1=2an 变形可得

an=2a

n-1,即

an ? 2 ,依次向下写,一直到第一项,然 an?1

后将它们乘起来,就有

an an?1 an?2 a2 2n-1=2n.? ? ? ? …× 1 ? 2 n?1 ,所以 an=a1· a an?1 an?2 an?3

师 太妙了,真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法,这种方法在已知递推公式 求数列通项的问题中是比较常用的方法,对应的还有迭加法.? [知识拓展]? 已知 a1=2,an+1=an-4,求 an.? 师 此题与前例 2 比较,递推式中的运算改为了减法,同学们想一想如何去求?解呢??? 生 1 写出:a1=2,a2=-2,a3=-6,a4=-10,…? 观察可得:an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).? 生 2 他这种解法不行,因为不是猜出 an,而是要求出 an.? 我这样解:由 an+1-an=-4 依次向下写,一直到第一项,然后将它们加起来,? an-a n-1=-4? an-1-an-2=-4? an-2-an-3=-4? ……?

?) a 2 ? a1 ? ?4 an ? a1 ? ?4(n ? 1)
∴an=2-4(n-1).?

师 好极了,真是触类旁通啊,这种方法也请同学们课后多体会. ? [教师精讲]? (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始 值,那么这个数列是不能确定的.? 例如,由数列{an}中的递推公式 an+1=2an+1 无法写 出数列{an}中的任何一项,若又知 a1=1, 则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4=15,….? (2)递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公 式,也可能求不出 通项公式.? [学生活动]? 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.(投影片)? (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N);? (2)a1=1,a n+1=

an (n∈N);? an ? 2

(3)a1=3,an+1=3an-2(n∈N).? (让学生思考一定时间后,请三位学生分别作答)? 解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,∴an=(n-1)2.? (2)a1=1,a2=

2 1 2 2 1 2 2 ,a3= = ,a4= ,a5= = ,∴an= .? 3 2 4 5 3 6 n ?1

(3)a1=3=1+2× 30,a2=7=1+2× 31,a3=19=1+2× 32,? a4=55=1+2× 33,a5=163=1+2× 34,∴an=1+2· 3 n-1.? 注:不要求学生进行证明归纳出通项公式.? [合作探究]? 一只 猴子爬一个 8 级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多能上跃起三级,从地面上到 最上一级,你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗?? 析:这题是一道应用题,这里难在爬梯子有多种形式,到底是爬一级还是上跃二级等情况要 分类考虑周到.? 爬一级梯子的方法只有一种.?
[来源:Z+xx+k.Com]

爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种,还有一次爬二级,所以共有两种.? 若设爬一个 n 级梯子的不同爬法有 an 种,? 则 an=an-1+an-2+an-3(n≥4),?

则得到 a1=1,a2=2,a3=4 及 an=a n-1+an-2+an-3(n≥4),就可以求得 a8=81.?? 课堂小结?
[来源:学§科§网 Z§ X§ X§ K]

师 这节课我们主要学习 了数列的另一种给出方法,即递推公式及其用法,要注意理解它与 通项公式的区别,谁能说说?? 生 通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的 关系.? 生 对于通项公式,只要将公式中的 n 依次取 1,2,3…,即可得到相应的项.而递推公式则要 已知首项(或前 n 项),才可求得其他的项.? (让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而 达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)?? 布置作业? 课本第 38 页习题 2.1A 组第 4、6 题.? 预习内容:课本 P41~P 44.??? 板书设计 数列的概念与简单表示法(二) 一、定义 ? 二、例题讲解 小结:

7.递推公式:? 例 1? 例2 习题详解 (课本第 36 页练习)? 1.? n an 1
[来源:学科网 ZXXK]

通项公式与 递推公式区别

2 33

… …

5 69

… …

12 153

… …

n 3(3+4n)

21

2.前 5 项分别是:1,0,-1,0,-1.?

? 1 ? (n ? 2m, m ? N ), ? ? n 3.例 1 (1)an= ? ? 1 (n ? 2m ? 1, m ? N ); ?n ?

(2)an= ?

?2(n ? 2m, m ? N ) ?0(n ? 2m ? 1, m ? N ).

此题是通项公式形式不唯一的题目, 鼓励学生说出各种可能的表达形式, 并举出其他可能的 通项公式表达形式不唯一的例子.? 4.(1)an=

1 (n∈Z+);? 2n ? 1

(?1) n (2)an= (n∈Z+);? 2? n
(3)an=

1 2
n ?1 2

.?

(课本第 38 页习题 2.1)? ?A 组? 1.(1)2,3,5,7,11,13,17,19;?
[来源:学#科#网]

(2)2, 6 , 2 2 ,3, 10 , 2 3 , 14 , 15 ,4, 3 2 ;? (3)3 精确到 1,10 -1,10 -2,10 -3,…,10 1.732 050;? 3 精确到 1,10-1,10-2,10 -3,…,10 -6 的过剩近似值构成的数列为 2,1.8,1.74,1.733,…, 1.732 051.?? 注意:应该与学生讲清什么叫质数、合数、不足近似值与过剩近似值.? 2.(1)1,
-6

的不足近似值构成的数列为 1,1.7,1.73,1.732,…,

1 1 1 1 , , , ;? 4 9 16 25

(2)2,-5,10,-17,26.? 3.(1)1,-4,9,-16,25,-36,49;? an=(-1) n+1n2;? (2)1, 2 , 3 ,2, 5 , 6 , 7 ;? an= n .? 4.(1)

1 1 4 1 ,3,13,53,213.(2) ? ,5, ,? ,5.? 2 4 5 4

5.对应的答案分别是:? (1)16,21;an=1+5n;(2)10,13;an=1+3n;(3)24,35;an=n2+2n.? 6.第 5 项为 15,第 6 项为 21,第 7 项为 28,递推公式为 an=a
n-1+n(这递推公式的答案可不尽

相同).? ?B 组? 1.该数列的递 推公式是:an+1=1+8an,a1=1,通项公式是:an=

8n ? 1 .? 7

此题是观察图形特征,给出数列通项公式的题目.教学中要注意引导学生对图形表示数 字规律的认识和发现,要培养从整体上去认识图形规律的意识和能力.本题中第一个正方形块 中着色正方形个数是 1,第二个着色正方形个数是第一个着色正方形个数的 8 倍加 1,第三个着 色正方形个数是第二个着色正方形个数的 8 倍加 1,依次类推,可以得出第 n 个正方形块中着 色正方形的个数的递推公式,进而推导出数列的通项公式,也可鼓励学生用其他方法发现该数 列通项公式.? 2.a1=10× (1+0.72%)=10.007 2;? a2=10× (1+0.72%)2≈10.144 518;? a3=10× (1+0.72%)3≈10.217 559;? an=10× (1+0.72%)n.? 3.(1)1,2,3,5,8;(2)2,

3 5 8 13 , , , .?? 2 3 5 8
备课资料

一、数列通项公式的求法介绍? 求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此 求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例.? 1.观察法? 已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而? 根据规律写出此数列的一个通项.? 【例 1】 已知数列

1 1 5 13 29 61 , ,? , ,? , ,…,写出此数列的一个通项公式.? 2 4 8 16 32 64

2n ? 3 解:观察数列前若干项可得通项公式为 an=(-1)n 2 n .
2.公式法? 已知数列的前 n 项和求通项时,通常用公式 an= ?

? S1 , n ? 1, ,? ? S n ? S n ?1 , n ? 2

Sn-Sn-1,n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合

二为一”,即 a1 和 an 合为一个表达式.? 【例 2】 已知数列{an}的前 n 和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n+1,求此数列的通项公式.? 解:由条件可得 Sn=2n+1-1,? 当 n=1 时,a1=3,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.? 所以 an=3,n=1,?2n,n≥2. 3.累差迭加法? 若数列{a n}满足 a 加法求通项.? 【例 3】 已知数列 6,9,14,21,30,…,求此数列的通项.? 解:∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,an-an-1=2n-1,? 各式相加得 an-a1=3+5+7+…+(2n-1),? ∴an=n2+5(n∈N). 4.连乘法? 若数列 {a n} 能写 成 an=a
n-1+(n)(n≥2) 的形式,则可 由 n+1=an+f(n)的递推式,其中

f(n)又是等差数列或等比数列,则可用累差迭

an=a

n-1f(n),a n-1=a n-2f(n-1),an-2=a

n-3f(n-2),…,a2=a1f(2)连乘求得通项公式.?

【例 4】 已知数列{an}满足 a1=1,Sn= 解:∵2Sn=(n+1)an(n∈N),? 2S n-1=na n-1(n≥2,n∈N),? 两式相减得 2an=(n+1)an-na n-1,∴

( n ? 1) a n (n∈N),求{a n}的通项公式.? 2

an n (n≥2,n∈N).? ? an?1 n ? 1

于是有

a a 2 2 a3 3 a 4 4 n (n≥2,n∈N),? ? , ? , ? ,…, n ? an?1 n ? 1 a1 1 a 2 2 a3 3

以上各式相乘,得 an=na1=n(n≥2,n∈N).又 a 1?=1,∴an=n(n∈N). 5.求解方程法? 若数列{a n}满足方程 f(an)=0 时,可通过解方程的思想方法求得通项公式.? 【例 5】 已知函数 f(x)=2x-2 -x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n,求数列{an}的通项公式.?? 解:由条件 f(log2an)=2 log2an-2-log2?an=-2n,即 an ?

1 ? ?2n .? an

∴an2+2nan-1=0,又 an>0,∴an= n2 ?1 -n.

6.迭代法? 若数列{an}满足 an=f(an-1),则可通过迭代的方法求得通项公式.?? 二、阅读材料? 愚公的子子孙孙? 《愚公移山》中愚公 说过这样一段话:“即使我死了,还有儿子在;儿子又生孙子,孙 子再生儿子,儿子又有儿子,儿子又有孙子,子子孙孙无穷无尽……”愚公的话,不但表达 了他移山的决心,而且提出了一个有趣的无穷数列,即他的子孙后代繁殖的数列.? 设愚公的儿子,即第一代的人数为 a1;?
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愚公的孙子,即第二代子孙的人数为 a2;? 孙子的儿子,即第三代子孙的人数为 a3;? 一般地,第 n 代子孙的人数为 an.? 这样,我们就得到一个由正整数组成的无穷数列 a 1,a2,a3,an.(1)? 这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它 前面的项有关,但这种关系不是确定的关系,而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来 确 定(1) 的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育,例如,一对夫妇只生两个孩子(假 设愚公子孙们不能互相通婚),那么数列(1)就可成为递推数列:? an+1=2an.(2)? 如果愚公有 3 个儿女,即 a1=3,就得到下面这个数列:? 3,6,12,24,48,96, (3)? 这个数列(3),就是一个满足 an+1=2an 的数列.?


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