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广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(概率)详解


广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(概率)
时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.一枚伍分硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率为 ( 3 A. 8 1 C. 3 2 B. 5 1 D. 4 )

3 解析:一枚硬币连掷 3 次的结果共有 8 种,只有一次出现正面的结果有 3 种,故 P= . 8

答案:A 2.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6(俗称骰子),将这个玩具向 上抛掷一次,设事件 A 表示向上的一面出现奇数点(指向上一面的点数是奇数),事件 B 表示 向上的一面出现的点数不超过 3,事件 C 表示向上的一面出现的点数不少于 4,则 ( ) A.A 与 B 是互斥而非对立事件 B.A 与 B 是对立事件 C.B 与 C 是互斥而非对立事件 D.B 与 C 是对立事件 解析:因为事件 B 与事件 C 不同时发生且一定有一个发生,所以 B 与 C 是对立事件, 故选 D. 答案:D 1 1 1 3.甲、乙、丙三人射击命中目标的概率分别为 、 、 ,现在三人同时射击一个目标, 2 4 12 目标被击中的概率是 ( ) 1 47 A. B. 96 96 21 5 C. D. 32 6 1 1 1 21 解析:1-(1- )(1- )(1- )= . 2 4 12 32 答案:C 4.在 100 张奖券中,有 4 张有奖,从这 100 张奖券中任意抽取 2 张,2 张都中奖的概 率是 ( ) 1 1 A. B. 50 25 1 1 C. D. 825 4950 解析:从总体 100 张奖券中任取 2 张的方法有 4950 种,从 4 张有奖奖券中抽取 2 张的 6 1 方法有 6 种,故 P= = . 4950 825 答案:C 1 5.一个学生通过某英语听力测试的概率是 ,他连续测试三次,其中恰好有一次通过的 2 概率是 ( ) 1 1 A. B. 4 8

1 C. 2

3 D. 8

1 解析: 连续测试三次, 可看成 3 次独立重复试验, 其中恰有一次通过的概率为 P=C1 ( )· (1 3· 2 1 3 - )2= . 2 8 答案:D 6.甲、乙两乒乓球队各有运动员三男两女,其中甲队一男与乙队一女是种子选手,现 在两队进行混合双打比赛,则两个种子选手都上场的概率是 ( ) 1 5 A. B. 6 12 5 1 C. D. 36 3 1 1 解析:甲队种子选手上场的概率为 ,乙队种子选手上场的概率为 . 3 2 1 1 1 ∴两个种子选手都上场的概率为 × = . 3 2 6 答案:A 7.某庄园的灌溉系统如图 1 所示,水从 A 点入口,进入水流的通道网络,自上而下, 从最下面的五个出水口出水,某漂浮物从 A 点出发向下漂流,在通道交叉口向左下方和向 右下方漂流是等可能的,则该漂流物从出口 3 出来的概率是

图1 ( ) 1 3 A. B. 5 16 3 1 C. D. 8 2 解析:漂浮物从出口 3 出来共需漂流 4 段,其中斜向左下方 2 段,斜向右下方 2 段,故 C2 3 4 4 共有 C2 种不同漂流路径,而漂浮物从各个出口出来的总路径数为 2 ,故所求概率为 4= . 4 2 8 答案:C 8.将一枚硬币连掷 5 次,如果出现 k 次正面的概率等于出现 k+1 次正面的概率,那么 k 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 k 1 k 1 5-k k+1 1 k+1 1 5-k-1 解析:由 C5( ) ( ) =C5 ( ) ( ) 2 2 2 2 k+1 即 Ck = C , 5 5 ∴k+(k+1)=5,k=2. 答案:C 9.(2010· 皖南八校联考)某校 A 班有学生 40 名,其中男生 24 人,B 班有学生 50 名,其 中女生 30 人,现从 A、B 两班各找一名学生进行问卷调查,则找出的学生是一男一女的概 率为 ( )

9 D. 25 3 3 2 解析:所找学生为 A 班男生 B 班女生的概率为 × , 或为 B 班男生 A 班女生的概率为 5 5 5 2 13 × .故所求概率为 ,选 B. 5 25 答案:B 10. (2009· 杭州质检)甲、 乙两同学下棋, 赢一局得 2 分, 和一局得 1 分, 输一局得 1 分. 连 下 3 局,得分多者为胜.则甲取胜的概率是 ( ) 1 1 A. B. 3 2 10 13 C. D. 27 27 解析:下三局,每局都有赢、和、输三种可能,共有 33=27 种,甲取胜分三类:①胜 一局,和二局有 3 种,②胜二局,另一局输和均可,有 6 种,③胜三局,有 1 种.故甲取胜 10 概率为 ,选 C. 27 答案:C 11.(2010· 石家庄质检二)在平面区域 D 中任取一点,记事件“该点落在其内部一个区 d的面积 域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率 P(A)= .在区间[-1,1]上任取两值 a、b, D的面积 方程 x2+ax+b=0 有实数根的概率为 P,则 ( ) 1 1 9 A.0<P< B. <P< 2 2 16 9 16 16 C. <P< D. <P<1 16 25 25 解析:由题意,a、b 组成的平面区域是由 x=± 1,y=± 1 组成的正方形,其面积为 4, 2 2 要保证方程 x +ax+b=0 有实数根,则有 Δ=a -4b≥0,建立平面直角坐标系如图 2,则 9 a2-4b≥0 表示的区域即为图中阴影部分,其面积的取值范围是(2, ) 4

12 A. 25 16 C. 25

13 B. 25

图2 1 1 1 (其中小三角形 AOD 和 BOC 的面积和为 × ×2= ),∴由题目中的新定义知所求的 4 2 4 S阴 1 9 概率 P= ∈( , ),故选 B. S全 2 16 答案:B f(1) 12. (2009· 南昌调研)已知 f(x), g(x)都是定义在 R 上的函数, f(x)=ax· g(x)(a>0 且 a≠1),2 g(1) f(-1) f(n) - =-1,在有穷数列{ }(n=1,2,?,10)中,任意取正整数 k(1≤k≤10),则前 k g(n) g(-1) 15 项和大于 的概率是 16 ( )

1 2 A. B. 5 5 3 4 C. D. 5 5 解析:整体变量观念,利用等比数列构建不等式求解. f(x)=a · g(x) ? ? 1 1 f(n) 1 n 1 15 ?2a- =-1?a= ? =( ) ,则前 k 项和 Sk=1-( )k> ? ? f(1) f(-1) a 2 g ( n ) 2 2 16 2 - =-1 ? ? g(1) g(-1) 6 3 k>4?P= = ,选 C. 10 5 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,点 P 落在圆 x2+y2 =16 内的概率是__________. 解析:掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为 P 点的坐标共有 A1 A1 6· 6=36(种)可能结果, 其中落在圆内的点有 8 个:(1,1)、(2,2)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)、(2,3)、(3,2),则所求的 8 2 概率为 = . 36 9 2 答案: 9 14.甲袋内装有白球 3 个,黑球 5 个,乙袋内装有白球 4 个,黑球 6 个,现从甲袋内随 机抽取一个球放入乙袋, 充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋, 则甲袋内白球没有 减少的概率为__________. 解析: 甲袋内白球没有减少的对立事件是甲袋内白球减少, 即从甲袋内取一个球应是白 球,从乙袋内取一球放入甲袋内应是黑球,故所求概率为 3 6 35 1- × = . 8 11 44 35 答案: 44 15.有两组问题,其中第一组中有数学题 6 个,物理题 4 个;第二组中有数学题 4 个, 物理题 6 个.甲从第一组中抽取 1 题,乙从第二组中抽取 1 题.甲、乙都抽到物理题的概率 是________,甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是______. 解析:设“甲抽到物理题”为事件 A,“乙抽到物理题”为事件 B, C1 2 C1 3 4 6 P(A)= 1 = ,P(B)= 1 = . C10 5 C10 5 6 P(A· B)=P(A)· P(B)= , 25 19 P=1-P(A· B)= . 25 6 19 答案: 25 25 16.袋子里装有 5 张卡片,用 1,2,3,4,5 编号.从中抽取 3 次,每次抽出一张且抽后放 回.则 3 次中恰有两次抽得奇数编号的卡片的概率为__________. 3 解析:设“抽得奇数编号的卡片”为成功,则成功的概率为 p= ,因而所求的概率, 5 3 2 2 2 2 即 3 次试验中恰有 2 次成功的概率为 P1=C3 · p (1-p)=C3 · ( )2·=0.432. 5 5 答案:0.432 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 74 分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最 后结果不得分) 17.(12 分)一个口袋中装有大小形状完全相同的 2 个白球和 3 个黑球,现从中任取两个 球.求:
x

(1)两个球都是白球的概率; (2)两球恰好颜色不同的概率. 解:(1)记“摸出两个球,两球颜色为白色”为 A,摸出两个球共有方法 C2 5=10 种,两 球都是白球有 C2 = 1 种. 2 C2 1 2 ∴P(A)= 2= . C5 10 (2)记“摸出两个球,两球恰好颜色不同”为 B,摸出两个球共有方法 C2 5=10 种,两球 1 一白一黑有 C1 · C = 6 种. 2 3 1 C1 3 2C3 ∴P(B)= 2 = . C5 5 18.(12 分)已知马与驴体细胞染色体数分别为 64 和 62,马驴杂交为骡,骡体细胞染色 体数为 63,求骡产生可育配子的概率. 解:骡体细胞无同源染色体,减数分裂形成生殖细胞的过程中,染色体不能正常配对, 染色体发生不规则分布,欲形成可育配子,配子中染色体必有马或驴生殖细胞的全套染色 1 1 体.骡产生具有马生殖细胞全套染色体的概率 P1= 0 63= 63, 2 C63+C1 63+?+C63 1 同理,骡产生具有驴生殖细胞全套染色体配子的概率 P2= 63. 2 所以骡产生可育配子的概率 1 1 1 P=P1+P2= 63+ 63= 62. 2 2 2 这样的概率相当小,所以骡的育性极低. 19.(12 分)(2009· 江西高考)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立 1 地对每位大学生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 . 2 若某人获得两个“支持”,则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助.求: (1)该公司的资助总额为零的概率; (2)该公司的资助总额超过 15 万元的概率. 解:(1)设 A 表示“资助总额为零”这个事件,则 1 1 P(A)=( )6= . 2 64 (2)设 B 表示“资助总额超过 15 万元”这个事件,则 1 1 1 11 P(B)=15×( )6+6×( )6+( )6= . 2 2 2 32 20.(12 分)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料 统计,顾客采用一次性付款的概率是 0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场 获得利润 200 元;若顾客采用分期付款,商场获得利润 250 元. (1)求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率; (2)求 3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元的概率. 解:(1)记 A 表示事件:“3 位顾客中至少 1 位采用一次性付款”,则 A 表示事件:“3 位顾客中无人采用一次性付款”. P( A )=(1-0.6)3=0.064, P(A)=1-P( A )=1-0.064=0.936. (2)记 B 表示事件:“3 位顾客每人购买 1 件该商品,商场获得利润不超过 650 元”, B0 表示事件:“购买该商品的 3 位顾客中无人采用分期付款”, B1 表示事件:“购买该商品的 3 位顾客中恰有 1 位采用分期付款”. 则 B=B0+B1. P(B0)=0.63=0.216, 2 P(B1)=C1 3×0.6 ×0.4=0.432,

P(B)=P(B0+B1) =P(B0)+P(B1)=0.216+0.432=0.648. 21.(12 分)某部门组织甲、乙两人破译一个密码,每人能否破译该密码相互独立.已知 1 1 甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为 、 . 3 4 (1)求他们恰有一人破译出该密码的概率; (2)求他们破译出该密码的概率; (3)现把乙调离,甲留下,并要求破译出该密码的概率不低于 80%,那么至少需要再增 添几个与甲水平相当的人? 1 1 解:记甲、乙破译出密码分别为事件 A、B.则 P(A)= ,P(B)= . 3 4 2 1 1 3 5 (1)P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B )= × + × = . 3 4 3 4 12 2 3 1 (2)他们破译出该密码的概率为:1-P( A )P( B )=1- × = . 3 4 2 2n 3 (3)设共需要 n 个与甲水平相当的人,则应有 1-( ) ≥80%,由此得( )n≥5,所以 n≥4. 3 2 故至少需要再增添 3 个与甲水平相当的人. 22.(14 分)(2010· 北京东城模拟)甲、乙、丙三人进行某项比赛,每局有两人参加,没有 3 4 3 平局,在一局比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ,比赛的规 5 5 5 则是先由甲和乙进行第一局的比赛, 然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的 比赛,在比赛中,有人获胜两局就算取得比赛的胜利,比赛结束. (1)求只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率; (2)求只进行两局比赛,比赛就结束的概率; (3)求甲取得比赛胜利的概率. 解:(1)只进行两局比赛,甲就取得胜利的概率为: 3 4 12 P1= × = . 5 5 25 (2)只进行两局比赛,比赛就结束的概率为: 3 4 2 3 18 P2= × + × = . 5 5 5 5 25 (3)甲取得比赛胜利共有三种情形: 3 4 12 若甲胜乙,甲胜丙,则概率为 × = ; 5 5 25 若甲胜乙,甲负丙,丙负乙,甲胜乙,则概率为 3 1 3 3 27 × × × = ; 5 5 5 5 625 若甲负乙,乙负丙,甲胜丙,甲胜乙,则概率为 2 2 4 3 48 × × × = . 5 5 5 5 625 12 27 48 3 所以,甲获胜的概率为 + + = . 25 625 625 5


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