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韶关市2010届高三第二次调研考试(文数)


韶关市 2010 届高三第二次调研考试 数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟, 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填在答题卡 上。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑。在答题卡右上角的“试室号”栏 填写本科目试室号,在“座位号”内填写座位号,并用 2B 铅笔将相

应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如果 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,请将答题卡上交. 1 参考公式:锥体体积 V ? sh s 表示底面积,h 表示锥体的高 3 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 4 球的体积: V ? ?r 3 ,r 是球的半径, 3 第一部分选择题(共 50 分) 一.选择题本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4},则 CU ( A ? B) = A.{3} B.{4,5} C.{1,2,4,5} D.{1,2,3,4} 2.在等差数列 ?an ?中,若 a7 ? a9 =16, a4 =l,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64

3.已知直线 l 和两个不同的平面 ? 、 ? ,则下列命题正确的是 A.若 l ? C.若 l ?

? , l ? ? ,则 ? ∥ ? ? , ? ? ? ,则 l ∥ ?
?

B.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 l ∥ ? , ? ? ? ,则 l ? ?

4.关于回归分析,下列说法中正确的有 ①线性回归方程 y ? bx ? a 必过点 ( x, y ) ②设有一个回归方程 y ? 1? 2 x ,变量 x 增加一个单位时,变量 y 一定减少 2 个单位; ③线性相关系数可以是正数也可以是负数; ④变量间的关系若是非确定性关系,则因变量不能由自变量唯一确定. A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 5.若向量 a 与 b 的夹角为 120 ? .且 | a |? 1 , | b |? 2 , c ? a ? b ,则有
1
?

?

?

A. c // b

B. c // a

C. c ? b
x

D. c ? a

6.设 f ( x) ? 3x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0 在 x ?(1,2)内近似解的过程中 得 f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则方程的根落在区间 A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定

7.已知 f ( x) ?| log3 x | .则下列不等式成立的是 A. f ( ) ? f (2)

1 2

B. f ( ) ? f (3)

1 3

C. f ( ) ? f ( )

1 4

1 3

D. f (2) ? f (3)

8.先后随机投掷 2 枚正方体骰子,其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数,y 表示第 2 枚骰子 出现的点数.则点 P ( x, y ) 在直线 y ? x ? 1 上的概率为 A.

1 2

B.

1 6

C.

1 3

D.

5 36

?x ? 1 9.设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x+y 的最大值是 ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.7 B.3 C.1 D.0

10.如图,某地夏天从 8-14 时用电量变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b

3 3 第二部分非选择题(共 100 分) 二.填空题:每小题 5 分,共 20 分. 11.若 x ? 4i ? 3 ? yi ( x, y ? R ) ,则 | x ? yi | =
12. 顶点在 x 轴上,两顶点间的距离为 8.离心率 e ?

? ) .则 2 ? ? A. ? ? , ? ? 3 6 ? ? C. ? ? , ? ? 6 3
(? ? 0,0 ? ? ?

B. ? ? D. ? ?

?
6

,? ? ,? ?

?
6

?

?

5 的双曲线的标准方程为 4

13. 正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 的棱长为 2 3 ,则四面体 A- B1CD1 的外接球的体积为
选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选只计算前一题的得分

14.如图,圆 0 的弦 BC 过半径 OA 的中点 D,且 BD=4,OD=2, 则圆心 0 到弦 BC 的距离等于 . 15.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 cos? 和 ? ? sin ? 相交于点 A,B, 则 | AB | = 三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证踞过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)

2

在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 cos A ? (I)求 sin(A+B)的值; (Ⅱ)若 a-b= 2 ( 2 ? 1) ,求 c 的值.

3 2 , cos B ? 2 2

17. (本题满分 12 分) 某校为了解高三学生的日平均睡眠时间(单位:h) ,随机 选择了 n 名同学进行调查,下表是这 n 名同学的日睡眠时间 的频率分布表. (I)求 n 的值,并补全表中数据和右下图中的频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如 区间[4,5)的中点值是 4.5)作为代表.在上述统计数据的分析 中有一项计算见算法流程图,求输出 S 的值,并解析 S 的实际 意义.

18. (本题满分 14 分) 如图,是一块纸板,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP, 点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P,Q,R,S 四点重合为 P,折后成为一四棱锥,且 N 是 AB 的中点. (I)求证 PB ? AC; (Ⅱ)求三棱锥 P-NBC 的体积; (Ⅲ)设 E,F 分别是 AD,CD 中点,Q 是 PD 上一点,若 PB∥面 QEF,求 PQ 的长.

3

19. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x x

(I)若 f (x) 在 x=2 时有极值,求实数 a 的值和 f (x) 单调区间; (Ⅱ)若 f (x) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围.

20.(本题满分 14 分) 如图,F 是椭圆的右焦点,以 F 为圆心的圆过原点 0 和椭圆的右顶点,设 P 是椭圆的 动点.P 到两焦点距离之和等于 4. (I)求椭圆和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x=4,PM ? l ,垂足为 M.是否存在点 P,使得△FPM 为等腰 三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由

21.(本题满分 14 分) 由原点 D 向已知的三次曲线 y ? x ? 3x ? bx 引切线, 切于不同于点 D 的点 P ( x1 , y1 ) , 1
3 2

再由 P1 引此曲线的切线,切于不同于 P1 的点 P2 ( x2 , y2 ) ,如此继续地作下去,??,得 到点列 ?P ( xn , yn )?,试解答下列问题: n (I)求 x1 的值; (Ⅱ)求数列 ?xn ? 的前 n 项和 Sn

4

参考答案
一、选择题答案 CAACD 二、填空题 11.5 12. ACDAB

x2 ? 2 ? ?1 16 9

13. 36 ?

14.

15 2

15. 2 3

三、解答题 16.(本题满分 12 分) 解:(I)由 cos A ? 得 sin A ?

2 3 , cos B ? 且 A、B 是三角形内角,即 A, B ? (0, ? ) 2 2
1 2 , sin B ? 2 2
???2 分

所以, sin( A ? B) ? sin A ? cos B ? cos A ? sin B ?

6? 2 2 3 2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 4
??4 分

(Ⅱ)若 a ?b ? 2 ( 2 ?1) ,求 c 的值,

解:由正弦定理

2 1 a b ,由(I)可知 sin A ? , sin B ? ? 2 2 sin A sin B
???6 分 得 a ? 2,b ? 2 ??8 分

所以 a ? 2b 由, ? ?

?a ? b ? 2 ( 2 ? 1) ?a ? 2b ?

又 sin C ? sin (? ? ( A ? B)) ? sin( A ? B) ?

6? 2 4

?9 分 ???l2 分

c?

a 2 ? sin C ? ? sin A 2 2

6? 2 ? 1? 3 4

17. (本题满分 12 分) 解:(I)由频率分布表可得 n ? 补全数据如下表

6 ? 50 0.12

???2 分

??5 分

5

频率分布直方图如下:

???8 分 (Ⅱ)由题意得: S ? 4.5 ? 0.12 ? 5.5 ? 0.20 ? 6.5 ? 0.40 ? 7.5 ? 0.20 ? 8.5 ? 0.08 ? 6.42 ?l1 分 实际意义是该校高三学生的日平均睡眠时间 ?????l2 分 18. (本题满分 14 分) (I)证明:依题意:PD ? 面 ABCD. PD=AD,PD=DC ????????3 分 因为, AC ? 面 ABCD,所以,PD ? AC 连结 BD,因为 ABCD 是正方形,AC ? BD,PD 与 BD 相交于 D,所以 AC ? 面 PBD ???????????6 分 PB ? 面 PBD,所以 PD ? AC (Ⅱ)解:PD 上面 ABCD,所以 PD 是三棱锥 P-NBC 的高 ????????8 分

VP ? NBC ?

1 ? PD ? S ?NBC ? 1 ? 6 ? 1 ? 6 ? 3 ? 18 ........................ 10 分 3 3 2
????l2 分

(Ⅲ)设 EF ? BD=G,连结 QC,因为 EF 是 AD,CD 的中点.ABCD 是正方形, 所以, DG ?

1 BD 4

1 DG DQ 1 PD 时,即 ? ? 4 DB DP 4 GQ∥PB,又 GQ ? 面 QEF PB ? 面 QEF,PB //面 QEF ? 1 9 PQ ? 6 ? DQ ? 6 ? PD ? ???14 分 4 2 19.(本题满分 14 分)
在△DB 中.当 DQ ? (I)解: f (x) 定义域 (0,??)

4 ax2 ? 2 x ? a 依题意 f ' (2) ? 0 .解得 a ? ????3 分 2 5 x 4 2 4 2 x ? 2x ? (2 x ? 1)(x ? 2) 5 ?5 f ' ( x) ? 5 x2 x2 1 1 当 x ? (0, ) , f ' ( x) ? 0 , x ? ( ,2) , f ' ( x) ? 0 , x ? (2,??) , f ' ( x) ? 0 2 2
f ' ( x) ?

6

1 1 所以 f (x) 分别在 (0, ) 和 (2,?? ) 是增函数,在 ( ,2) 是减函数,??6 分 2 2
(Ⅱ)由(I)知 f ' ( x) ?

(1)a=0 时,h(x)=-2x,h(x)是减函数,h(x)<h(0)=0, f ' ( x) ? 0 ,

ax2 ? 2 x ? a ,令 h( x) ? ax2 ? 2 x ? a x2

f (x) 在(O,+∞)是减函数,????????8 分
(2)a>0 时,h(x)开口向上,对称轴 x ?

1 1 1 由 hmin ( x) ? h( ) ? 0 a ? ? 0, a ? 1, a a a

f ' ( x) ? 0 ,? a ? 1 时. f (x) 在(0,+∞)是增函数.??11 分
(3)a<0 时,h(x)开口向下,对称轴 x ?

1 ? (?? ,0) h(x) 在(O,+∞)是减函数。 a

h(0) ? a ? 0. 所以 h( x) ? 0, f ' ( x) ? 0, f (x) 在(O,+∞)是减函数??l3 分
综上, a ? [1,??) 时, f (x) 在定义域上是增函数??????14 分 另解:设 h( x) ? ax2 ? 2 x ? a 则由 h( x) ? a( x 2 ? 1) ? 2x ? 0, x 2 ? 1 ? 0

2x 2 ????9 分 x ?1? x ? 1 x 1 2 2 ? x ? 0, x ? ? 2 ? ? ? 1 ??12 分 x 1 2 x? x a?
2

?a ?1

所以 a ? [1,??) , f (x) 在定义域上是增函数。...................... 14 分 20. (本题满分 14 分) (I)由已知可得 2a=4 a=2c ?1 分

a ? 2, C ? 1, b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ???2 分
x2 y2 ?1 椭圆和圆和标准方程: 4 ? 3
(Ⅱ)设 P(x,y) ,则 M(4,y),F(1,O) 因为 P(x,y)在椭圆上,所以,

( x ?1)2 ? y 2 ? 1?4 分

x2 ? 2 ? ?1 4 3

y2 ? 3 ?

3 2 x ???????5 分 4
3 2 1 x ? ( x ? 4) 2 ????6 分 4 4

| PF |2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ?

| PM |2 ?| x ? 4 |2 ............. 7 分
7

| FM |2 ? 9 ? y 2 ? 12 ?
所以, PF ?

3 2 x ????8 分 4

1 | PM |,| PM |?| PF | ?????10 分 ? 2

(1)若 PF ? FM ,则 PF ? FM ? PM 与‘三角形两边之和大于第三边”矛盾,

? PF 不可能与 PM 相等,????2 分
(2)若 PM ? FM ,则 ( x ? 4) 2 ? 12 ?

4 3 2 解得 x=4 或 x ? ,因为 x ≤2, x 7 4 4 3 4 3 15 所以 x ? ?y ?? 15 ? P ( ,? ) 7 7 7 7 4 3 15 4 3 15 综上,存在两点 P( , ), P( ,? ) 使得△PFM 为等腰三角形?????14 分 7 7 7 7

21.(本题满分 14 分) 解:(I)由 y ? x3 ? 3x 2 ?bx ①得, y' ? 3x 2 ? 6 x ? b ??1 分 过曲线上点 P ( x1 , y1 ) 的切线 l1 的方程是: 1
3 y ? ( x1 ? 3x12 ? bx1 ) ? (3x12 ? 6x1 ? b)(x ? x1 ), ( x1 ? 0) ??3 分 ? 3 2 2 曲它过原点,有 ? x1 ? 3x1 ? bx1 ? ? x1 (3x1 ? 6 x1 ? b)

? 2x1 ? 3x12 ( x1 ? 0) ,? x1 ? ?
3

3 ???5 分 2

(Ⅱ)过曲线①上点 pn?1 ( xn?1 , yn?1 ) 的切线 ln ?1 的方程是:
3 2 2 y ? ( xn?1 ? 3xn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6xn?1 ? b)(x ? xn?1 ), 由 ln ?1 过曲线上点

3 3 2 2 Pn ( xn , yn ), 有 xn ? 3xn 2 ? bxn ? ( xn?1 ? 3xn?1 ? bxn?1 ) ? (3xn?1 ? 6xn?1 ? b)(xn ? xn?1 ) ?7 分

? xn ? xn?1 ? 0,以xn ? xn?1 除上式,得 ?
2 2 2 xn ? xn xn?1 ? xn?1 ? 3( xn ? xn?1 ) ? b ? 3xn?1 ? 6xn?1 ? b, 2 2 xn ? xn xn?1 ? 2xn?1 ? 3( xn ? xn?1 ) ? 0,以xn ? xn?1除之, 得xn ? 2xn?1 ? 3 ? 0.???9 分

1 3 1 xn ? ,? xn ?1 ? 1 ? ? ( xn ? 1). 2 2 2 1 1 故数列 ?xn ? 1?是以 x1 ? 1 ? 为首项,公比为 ? 的等比数列,???12 分 2 2 1 1 n ?1 1 n ? xn ? 1 ? (? ) ,? xn ? 1 ? (? ) ????12 分 2 2 2 1 1 1 ? S n ? x1 ? x2 ? x3 ? ... ? xn ? 1 ? (? ) ? 1 ? (? ) 2 ? ... ? 1 ? (? ) n 2 2 2
所以 xn ?1 ? ?
8

1 1 1 (? )(1 ? (? ) n ) 1 ? (? ) n 2 2 ???????l4 分 ? n? 2 ? n? 3 1 1 ? (? ) 2

9


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