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2014-2015学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)


2014-2015 学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理 科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.设集合 M={x|x ﹣2x<0},N={x||x|<1}则 M∩ N=( ) A.﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) 2.已知(1+ ) =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 a+b

= A.﹣4 B.4 C.﹣7 ) D.108 ) D.7
2 2

D.(0,2)

3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6=18﹣a7,则 S12=( A. 18 B.54 C.72 4.已知双曲线 ﹣

=1 的实轴长、虚轴长、焦距依次成等比数列,则其离心率为(

A. 5.已知向量 向量

B. =(2,0) ,向量 ) B.[ , ]

C. =(2,2) ,向量 =( cosα,

D. sinα) ,则向量 与

的夹角范围为( ]

A. [0,

C.[



]

D.[ )



]

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 127,则条件① 可以为(

A. n≤5
x

B.n≤6

C.n≤7 )

D.n≤8

7.已知 p: ≤2 ≤ ,q:﹣ ≤x+ ≤﹣2,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.已知 x、y 都是区间[0, A. 9. A.﹣40 B.

]内任取的一个实数,则使得 y≤sinx 的取值的概率是( C. D.



的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( B.﹣20 C.20 D.40 )=f(﹣t) ,且 f(



10.若 f(x)=2cos(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f(t+ 则实数 m 的值等于( A.±1
2

)=﹣1

) B.﹣3 或 1

C.±3

D.﹣1 或 3

11. 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若|AF|=3, 则△ AOF 的面积为( ) A. B. C. D.2

12.设 f(x)是定义在 R 上的函数,其导函数为 f′ (x) ,若 f(x)+f′ (x)>1,f(0)=2015, 则不等式 e f(x)>e +2014(其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) A. (2014,+∞) B. (﹣∞,0)∪ (2014,+∞) C. (﹣∞,0)∪ (0,+∞) D. (0,+∞) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40.则 a5+a7= _________ . 14.若实数 x,y 满足 如果目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣1,则实数 m=
x x

_________ . 15.如图,网格纸的小正方形的边长是 1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个 多面体的体积为 _________ .

16.函数 f(x)=

的最大值与最小值之积等于 _________ .

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (12 分) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且∠ A 满足: 2cos A﹣2 ﹣1. (Ⅰ )若 a=2 ,c=2,求△ ABC 的面积; (Ⅱ )求 的值.

2

sinAcosA=

18. (12 分)某旅行社为 3 个旅游团提供甲、乙、丙、丁共 4 条旅游线路,每个旅游团任选 其中一条. (1)求恰有 2 条线路没有被选择的概率; (2)设选择甲旅行线路的旅游团数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 19. (12 分)如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥ AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

20. (12 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离

为 . (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直 径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 21. (12 分)已知函数 f(x)= x ﹣ ex +e (x﹣1) (其中 e 为自然对数的底数) ,记 f(x) 的导函数为 f′ ( x) . (1)求函数 y=f(x)的单调区间; (2)求证:当 x>0 时,不等式 f′ (x)≥1+lnx 恒成立. 下面的三个选作题,考生选择一个题作答【选修 4—1】几何证明选讲 22. (10 分) 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O,BD 是⊙ O 的直径,AE⊥ CD 于点 E,DA 平分 ∠ BDE. (1)证明:AE 是⊙ O 的切线; (2)如果 AB=2 ,AE= ,求 CD.
2 3 x

【选修 4—4】坐标系参数方程

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系

xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半径为极轴)中,曲线 C 的极坐标 方程为 ρ=4cosθ. (1)分别将直线 l 和曲线 C 的方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 P、Q 两点,求|PQ|. 【选修 4—5】不等式选讲 24. (2014?泉州模拟)设函数 f(x)= + 的最大值为 M.

(Ⅰ )求实数 M 的值; (Ⅱ )求关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M 的解集.

20.

解: (Ⅰ )∵ 左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为

,∴



解得 c=1. 又 ,解得 a=2,∴ b =a ﹣c =3.
2 2 2

∴ 所求椭圆 C 的方程为:



(Ⅱ )设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由
2 2 2 2 2

得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,
2

2

2

2

△ =64m k ﹣16(3+4k ) (m ﹣3)>0,化为 3+4k >m . ∴ , .

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=

=



∵ 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) ,kAD?kBD=﹣1,∴



∴ y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ 化为 7m +16mk+4k =0,解得 m1=﹣2k,
2 2 2 2





,且满足 3+4k ﹣m >0. 当 m=﹣2k 时,l:y=k(x﹣2) ,直线过定点(2,0)与已知矛盾; 当 m=﹣ 时,l:y=k ,直线过定点 .
3 x



综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 21.
2

(1)解: )∵ f(x)= x ﹣ ex +e (x﹣1) ,
2 x x x

∴ f′ (x)=﹣ex +x+e (x﹣1)+e =x(e +1﹣ex) , x 令 y=e +1﹣ex,则 y′ =ex﹣e,y′ >0,得 x>1,y′ <0,得 x<1,则 x=1 取极小,也是最小, x 则 y≥1.即 e +1﹣ex>0 恒成立, 则 g′ (x)>0 得 x>0;g′ (x)<0 得 x<0. 故 g(x)的增区间为(0,+∞) ,减区间为(﹣∞,0) . 2 x (2)证明:当 x>0 时,1+lnx﹣f′ (x)=1+lnx+ex ﹣x﹣e x, 2 x 令 h(x)=1+lnx+ex ﹣x﹣e x, h′ (x)= +2ex﹣1﹣e x﹣e , 当 x=1 时,h′ (x)=0,由(1)得,e ﹣ex≥0, 当 x>1 时,h′ (x)<0,当 0<x<1 时,h′ (x)>0, 故 x=1 为极大值,也为最大值,且为 h(1)=0. 故当 x>0 时,h(x)≤h(1) ,即有 h(x)≤0, 故当 x>0 时,1+lnx﹣f′ (x)≤0,即 f′ (x)≥1+lnx.
x x x

22. (1)证明:连结 OA,在△ ADE 中,AE⊥ CD 于点 E, ∴ ∠ DAE+∠ ADE=90° ∵ DA 平分∠ BDC. ∴ ∠ ADE=∠ BDA ∵ OA=OD ∴ ∠ BDA=∠ OAD ∴ ∠ OAD=∠ ADE ∴ ∠ DAE+∠ OAD=90° 即:AE 是⊙ O 的切线 (2)在△ ADE 和△ BDA 中, ∵ BD 是⊙ O 的直径 ∴ ∠ BAD=90° 由(1)得:∠ DAE=∠ ABD 又∵ ∠ BAD=∠ AED

∵ AB=2 求得:BD=4,AD=2 ∴ ∠ BDA=∠ ADE=∠ BDC=60° 进一步求得:CD=2 故答案为: (1)略 (2)CD=2

23.

解: (1) 直线 l 的参数方程为

(t 为参数) , 普通方程为 y=

x+2

﹣2 ; 2 2 2 2 2 圆 ρ=4cosθ,等式两边同时乘以 ρ 得到 ρ =4ρcosθ,即 x +y =4x,即(x﹣2) +y =4; 2 2 2 2 (2)x +y =4x,即(x﹣2) +y =4,表示以(2,0)为圆心,半径等于 2 的圆. 圆心到直线的距离为 =1, ∴ |PQ|=2 24. = =2 .

解: (Ⅰ )函数 f(x) + = ? + ≤ ? =3,

当且仅当

=

,即 x=4 时,取等号,故实数 M=3.

(Ⅱ )关于 x 的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M,即|x﹣1|+|x+2|≤3. 由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴ |x﹣1|+|x+2|=3. 根据绝对值的意义可得,当且仅当﹣2≤x≤1 时,|x﹣1|+|x+2|=3, 故不等式的解集为[﹣2,1].


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