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广东高考文科数学三角函数复习


第一课时 三角函数的相关概念 第二课时 三角变换与求值 第三课时 三角函数的图象和性质(1) 第四课时 三角函数的图象和性质(2)

2015年5月21日星期四

知识网络结构
同角公式 诱导公式

任意角的概念
角的度量方法 (角度制与弧度制)

任意角的 三角函数


两角和与差的 三角函数 二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 (化简、求值、证明)

弧长公式与 扇形面积公式

三角函数的 图形和性质

y ? A sin ??x ? ? ?

正弦型函数的图象

已知三角函数值,求角

一、角的有关概念
1、角的概念的推广

y

? 的终边
正角 零角
x

? ? (??,??)
? 的终边
2、角度与弧度的互化

o

负角

? ? 180?

180 1弧度 ? ( )? ? 57.30? ? 57?18, π π 1? ? 180

二、弧长公式与扇形面积公式
1、弧长公式:

l = ? ?r
1 S= ? ? r 2

R

L

2、扇形面积公式:

α

l

1 S= ? ? ? r2 2

三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 2、象限角、象间角与区间角的区别

y
O

?2k? ,2k? ? ? ? ?k ? Z ?
y y

x

3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式

y

?
O

x

?
O

x

?
O

x

2k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ?

k? ? ? ?k ? Z ? 2

四、任意角的三角函数定义

y

P(x,y)


?的终边

r

y x y sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? r r x

o

x

r ? x2 ? y2
三角函数值的符号:“第一象限全为正,二正三切四余弦 ”

五、同角三角函数的基本关系式
商关系:

平方关系:

sin ? tan ? ? cos ?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1

题型一:角的概念 例 1 若 α 是第二象限角, 试分别确定 α α 2α,2,3的终边所在位置.

题型二:扇形的弧长与面积
例 2 如图所示, 已知扇形 AOB 的圆心角 ∠AOB=120°,半径 R=6,求:

︵ 的长; (1)AB (2)弓形 ACB 的面积.

题型三:三角函数的定义

例 3:已知角 α 的终边经过点 P(a,2a) (a>0),求 sinα,cosα,tanα 的值.

变式 3: 已知角 α 的终边经过点 P(3m-9, m+2). (1)若 m=2,求 5sinα+3tanα 的值; (2)若 cosα≤0 且 sinα>0,求实数 m 的取 值范围.

题型四:利用同角关系式化简和求值 1 例 4: (1)已知 sinα=3,且 α 为第二象限角, 求 tanα; 1 (2)已知 sinα=3,求 tanα; (3)已知 sinα=m(m≠0,m≠±1),求 tanα

α 4 变式 4:设 sin = ,且 α 是第二象限角, 2 5 α 求 tan2的值.

tanα 例 5 已知 =-1,求下列各式的值. tanα-1 sinα-3cosα (1) ; sinα+cosα (2)sin α+sinαcosα+2.
2

变式 5 已知 tanα=3,求 sin α-3sinαcosα+1 的值.

2



一、诱导公式

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? 诱导公式一 cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?

诱导公式二

诱导公式三

sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? tan(? ? ? ) ? tan ? sin(?? ) ? ? sin ?, cos(?? ) ? cos ? . tan(?? ) ? ? tan ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? ? tan ?

公式记忆

(把α看成锐角)

符号看象限

诱导公式四

诱导公式五

sin( ? ? ) ? cos ?, 2 cos( ? ? ) ? sin ?, 2
公式记忆

?

?

诱导公式六

sin( ? ? ) ? cos?, 2 cos( ? ? ) ? ? sin? . 2

?

(把α看成锐角)

符号看象限

?

题型一:诱导公式的运用
例 1: (1)化简
?π ? ?11π ? sin(2π-α)cos(π+α)cos?2+α?cos? 2 -α? ? ? ? ? ?9π ? cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin? 2 +α? ? ?

(2)已知 α 是第三象限角,且
? ?α+π? sin(π-α)cos(2π-α)tan? ? ? f(α)= tan(-α-π)sin(-α-π)

①若

? 3π? 1 cos?α- 2 ?=5,求 ? ?

f(α)的值;

②若 α=-1860°,求 f(α)的值

变式 1:化简 (1)sin2(π+α)-cos(π+α)· cos(-α)+1; cos(π+α)· sin2(3π+α) (2) 2 3 tan α?cos (-π-α)

二、两角和与差的三角函数

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
同名相乘,符号相反

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
异名相乘,符号相同

tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
公式变形

注:公式的逆用 及变形的应用

tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? )

三、倍角公式

sin2α ? 2sin? cos?
cos2α ? cos α ? sin α
2 2
2
2

cos ? ? sin ? ? 1
2 2

cos2α ? 2cos α ? 1 ? 1 ? 2sin α
2

2tanα tan2 α ? 2 1 ? tan α

1 1 2 cos α ? (1 ? cos 2? ) sin α ? (1 ? cos 2? ) 2 2

题型二:非特殊角求值问题
例 2: 化简并计算 (1)sin43°cos13°-sin13°cos43°

(2)sin119 sin181 ? sin 91 sin 29
0 0 0

0

(3)sin164 sin 224 ? sin 254 sin 314
0 0 0

0

(4) tan 200 ? tan 400 ? 3 tan 200 tan 400

题型三:给值求值问题
8 21 例 3: (1)已知 α,β 为锐角,sinα=17,cos(α-β)=29, 求 cosβ 的值

1 11 变式3:已知?,? 是锐角,cos? ? ,cos ?? ? ? ? ? - , 7 14 求cos?的值。

3 变式4 : sin ? 30? ? ? ? ? , 60? ? ? ? 150?,求cos?的值 5

1 10 变式5 :已知?,? 都是锐角,tan? = ,sin ? ? , 7 10 求tan(? +2? )的值

1 3 变式6 : cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? , 5 5 求tan? tan?的值

题型四:化归问题
2 2 A ? B 辅助角公式:Asinα+Bcosα= sin(α+φ),

B 其中 tan ? ? A , φ 角所在象限与点(a, b)所在象限相同.
1 sin ? co s ? ? sin 2 ? 2 1 2 sin ? ? (1 ? co s 2 ? ) 2 降幂公式: 1 2 co s ? ? (1 ? co s 2 ? ) 2

1 3 (1) cos x ? sin x 2 2 (2) 3 sin x ? cos x

? 3?

2 cos x ? 6 sin x

? 4? 3 ? 5?

15 sin x ? 3 5 cos x

2 6 ?? ? ?? ? sin ? ? x ? ? cos ? ? x ? 4 4 ?4 ? ?4 ?

2 6 sin x ? cos x ? 2 cos x ? ?? ? 2

? 7 ? cos

4

x ? 2 sin x cos x ? sin x
4

? 8? 2 sin x ? sin x ? cos x ?

1 sin ? co s ? ? sin 2 ? 2 1 2 sin ? ? (1 ? co s 2 ? ) 2 降幂公式: 1 2 co s ? ? (1 ? co s 2 ? ) 2

x x x ? 9 ? cos ? sin cos 2 2 2
2

1 ?10 ? sin x ? 3 cos x sin x ? 2
2

(一)三角函数的图象与性质
y=sinx y
图 象 定义域 值 域 性 周期性 奇偶性 1
?

y=cosx y 1

?
2

-1

o

?
2

?

3? 2

2? x

?? ? ?

2

o -1
R

?
2

?

3? 2

2? x

R

[-1,1]
T=2

?

[-1,1]
T=2 偶函数

?

? ? 质 单调性 [2k? ? 2 ,2k? ? 2 ]增函数 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ]减函数
2 2

奇函数

[2k? ? ? ,2k? ]增函数 [2k? ,2k? ? ? ]减函数

3、正切函数的图象与性质
y=tanx y 图 象
3? ? 2

?? ? ?

o

?
2

2

?

3? 2

x

定义域 {x | x ? k? ? 值域 周期性 R

?
2

, k ? N}

T ??

奇偶性 奇函数

? ? 单调性 (k? ? , k? ? )( k ? Z ) 2 2

(二) y=Asin(ωx+φ)的相关问题
1、作y=Asin(ωx+φ)图象的方法 法一:五点法
列表取值方法:是先对ωx+φ取 0,π/2,π,3π/2,2π

法二:图象变换法 2、y=Asin(ωx+φ)关于 A、ω、φ的三种变换 (1)振幅变换(对A)

(2)周期变换(对ω)
(3)相位变换(对φ)

3、求y=Asin(ωx+φ)+K 的解析式的方法
1 、先由图象确定 A与 T

3 、特殊点代入法求 ?

4、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0) 的图象的对称中心 和对称轴方程 ? 2k?+?-2? 对称轴: ωx+? =k?+ ? x= 2 2ω k ? -? 对称中心 : ,0 ? k为整数 ? ω

?

?

题型一: 三角函数的周期性 例1:求下列函数的周期
(1) y ? sin(2 x ?

?
6

)

2 ? (2) y ? tan( x ? ) ? 2 5 3 (3) y ? 2 cos x sin( x ? (4) y ? 2 sin(4 x ?

?

3

) ? 3 sin x ? sin x cos x
2

?
3

)

题型二: 三角函数的奇偶性 例2:求下列函数的奇偶性

y ? cos(

?
2

? 2 x) cos(? ? x)

例 3:已知

? ? ? ?? f ( x) ? 2sin( x ? ? ? )(? ? ? ? , ? )是偶函数, 3 ? 2 2? 则? =

题型三: 三角函数的对称性
例 4:如果函数
4? y ? 3cos(2 x ? ? )的图像关于点( ,0)成中心对称 3 那么 ? 的最小值为 A. B. C. D.

?
6

? ?
4 3

?
2

2 x ? ), (x∈R)有下列命 关于函数 f(x) = 4sin( 例 5: 3

?

题: ①y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; ② y=f(x)可 改写为 y=4cos( 2 x ? 6 ); ③y=f(x)的图象关于点( ?
?

?

5? ④ y=f(x)的图象关于直线 x= ? 12 对称;其中正确

6

,0)对称;

的序号为

题型四: 三角函数的单调性 例6:

(1)求函数 y=sin(2x-

?

3 ? (2)求函数 y=sin( -2x)的单调递减区间 3

)的单调递减区间

例7: x (1)求函数y=3tan( - ) 6 4 的最小正周期及单调区间

?

题型五: 三角函数的最值
例8:已知函数f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

? ? ? 求函数f ( x)在区间 ?- , 0 ? 上的最大值和最小值 ? 2 ?

? ?? 变式:函数f ( x) ? sin(2 x ? )在区间 ?0, , ? 上的 4 2? ? 最小值为

?

题型六: 五点作图法
例9:用五点作图法 x ? 做出函数y=2sin( + )的一个周期的图像 2 3

题型七: 三角函数的图像变换
例 10

为得到函数

? π? y=cos?x+3?的图象,只需将 ? ?

函数 y=sinx 的图象(

)

π A.向左平移6个单位长度 π B.向右平移6个单位长度 5π C.向左平移 6 个单位长度 5π D.向右平移 6 个单位长度

x x 变式.已知函数 y= 3sin2+cos2(x∈R). (1)用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期及初相; (3)说明该函数的图象可由 y=sinx 的图象经过 怎样的变换而得到?

题型八 求y=Asin(ωx+φ)的解析式
例 11.已知曲线 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一
?π 个最高点的坐标为?8, ? ? 2?,此点到相邻最低点间的曲 ? ? π π? φ∈?-2,2?. ? ?

线与 x

?3π ? 轴交于点? 8 ,0?,且 ? ?

(1) 试求这条曲线的函数表达式; (2) 求函数的单调增区间

(07年)已知简谐运动

f ( x ) ? 2 sin(

?
3

x ? ? )( ? ?

?
2

) 的图象经

过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 ? 分 别为 A. T ? 6, ? ? 6 C. T ? 6? , ? ? 6
?
?

B. T ? 6, ? ? 3 D. T ? 6? , ? ? 3
?

?

(08 年)已知函数 是( ) A、最小正周期为 ? 的奇函数 B、最小正周期为 2 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 D、最小正周期为 2 的偶函数
?

f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x)

?

(09 年)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为
? 6 ? 2 ? A ? 75 a,b,c 若 a=c= 且 ,则 b=

A.2 C.4— 2 3

B.4+ 2 3 D. 6 ? 2

(09 年)函数 y ? 2 cos ( x ? 4 ) ? 1 是
2

?

A.最小正周期为 ? 的奇函数 B. 最小正周期为 ? 的偶函数 C. 最小正周期为 2 的奇函数 D. 最小正周期为 2 的偶函数
?
?

(10 年)已知 a,b,c 分别是 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B, 则 sinA= _________

3 f ( x ) ? x cos x ? 1 ,若 f (a ) ? 11 , (11 年)设函数

则 f (?a) ?

° ° ? B ? 45 ? ABC ? A ? 60 BC ? 3 2 , (12 年) 在 中, 若 , ,

则 AC ? A. 4 3 C. 3 B. 2 3 D.
3 2

(13

5? 1 年)已知 sin( 2 ? ? ) ? 5 ,那么 1 B. ? 5

cos ? ?

2 A. ? 5

1 C. 5

2 D. 5

(14 年)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为
a, b, c, 则“ a ? b ”是

“ sinA ? sin B ”的( B.充分非必要条件



A.充分必要条件 C.必要非充分条件

D.非充分非必要条件

(07年)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C( c ,0).
??? ? ???? (1)若 AB ?AC ? 0 ,求

c 的值;

(2)若 c ? 5 ,求sin∠A的值.

(09 年)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos ? ) 互相垂
? ? ? ( 0 , ) 直,其中

(1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos ? ,0 ? ? ? ? ,求 cos ? 的值
2

2

08 年)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0, 0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是
? 1 M ( 1,其图像经过点 3 , 2 ) 。
?

(1)求 f ( x) 的解析式; ( 2 ) 已 知 ? , ? ? (0, 2 ) , 且
f (? ? ? ) 的值。
3 12 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 5 13



(10 年) 设函数
?

?? ? f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ? , x ? ? ??, ?? ? , ? > 0 , 6? ?

且以 2 为最小正周期.

(1)求 f ? 0 ? ;w_w w. k#s5_u.c o*m (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知
?? ? ? 9 f ? ? ? ? ,求 sin ? ? 4 12 ? 5

的值.

(11 年)已知函数 (2 )
?

1 ? f ( x ) ? 2 sin( x ? ), x ? R 3 6
?

(1) 求 f (0) 的值;
10 6 设 ? , ? ? [0, 2 ], f (3? ? 2 ) ? 13 , f (3? ? 2? ) ? 5 , 求 sin(? ? ? )的值.

(12 年)已知函数 (1) 求

x ? f ( x) ? A cos( ? ), x ? R ,且 f ( ? ) ? 2 . 4 6 3

A 的值;
?

4? 30 2? 8 f ( 4 ? ? ) ? ? f ( 4 ? ? ) ? (2) 设 ? , ? ? [0, 2 ], 3 17 , 3 5 ,求

cos(? ? ? ) 的值

(13 年)已知函数

? ? ? f ( x) ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(2)

?? ? f ? 的值; (1) 求 ? ?3? 3 ? 3? ? cos ? ? , ? ? , 2 ? 若 ? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ?? ? ? 6? ?

(14 年) 已知函数
f( 5? 3 2 )? 12 2

f ( x) ? A sin( x ? ), x ? R ,且 3

?

(1) 求 A 的值;
? f ( ? ) ? f ( ? ? ) ? 3, ? ? (0, ) f ( ?? ) (2) 若 ,求 2 6

?

9.已知函数

f ( x ) ? A sin(? x ?

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最

大值为 2,最小正周期为 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 cos ? POQ 的值.

10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满
a c 足 sin A ? 3 cos C .

(1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求取得最大值时 角 A, B 的大小.

11.已知函数

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 , x∈R.

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 求函数
4 4

? ? f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.

12. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 1 , x ? R .
2



f ( x) 的最大值; 4) 在角 ?
?
8

⑵ 求函数的单调增区间; (3 ) 若点 P(?3 , 的终边上, 求
f (? ? ) 的值.

历年高考大题,精题

高三(24)

DK

13.已知函数 f ( x ) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R ,

0?? ?? ) .
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;
? ?? ? x ? 2 x ? ? 的图像关于直线 (2) 若函数 y ? f ? 4? 6 ?

对称, 求?

的值.


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