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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示课件 文


第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.1 函数及其表示

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理
1.函数与

映射

函数
两集合A、B 设A,B是两个非空数集 ____ 如果按某种对应法则f,对于 对应法则f: 集合A中的每一个元素x,在 A→B 集合B中都有唯一的元素y和 它对应

映射
设A,B是两个非空集合 ____ 如果按某种对应法则f,对于A

中的每一个元素,在B中都有唯
一的元素与之对应

答案

名称

这样的对应叫做从集合A
到集合B的一个函数

称对应f:A→B为从集合A
到集合B的映射

记法

y=f(x)(x∈A)

f:A→B

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,其中所有x组成的集合A称为函数y=f(x)的 定义域 ;将 所有y组成的集合叫做函数y=f(x)的 (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有 列表法 、和 解析法 . 值域 . 定义域 . 对应法则 (2)函数的三要素:、和

值域 图象法

答案

3.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数,通常叫做 分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等于各段函数 的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

答案

4.常见函数定义域的求法

类型 2n f?x?,n∈N*

x 满足的条件 f(x)≥0
f(x)≠0

1 与[ f(x)] 0 f ?x ? logaf(x)(a>0,a≠1) logf(x)g(x) tan f(x)

f(x)>0 f(x)>0,且f(x)≠1,g(x)>0

π f(x)≠kπ+ ,k∈Z 2
答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f:A→B,其值域是集合B.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × ) (4)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × ) (6) 若 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 {x|1≤x<3} , 则 函 数 f(2x - 1) 的 定 义 域 为 {x|1≤x<5}.( × )

答案

2

考点自测

? ?1+x,x∈R 3 1.已知 f(x)=? ,其中 i 是虚数单位,则 f(f(1-i))=____. ? ?(1+i)x,x ? R

解析 f(1-i)=(1+i)(1-i)=2, f(f(1-i))=f(2)=1+2=3.

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解析答案

1 2.函数 f(x)= ?log2x?2-1
解析


? 1? ? ? ?0, ?∪(2,+∞) 2? ? 的定义域为_________________.

? ?x>0, 1 要使函数 f(x)有意义,需使? 解得 x>2 或 0<x<2. 2 ? ??log2x? -1>0,

? 1? ? ? f(x)的定义域为?0,2?∪(2,+∞). ? ?

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解析答案

1 ? ?1- x,x≥0, 3.(2015· 陕西)设 f(x)=? x 则 f(f(-2))=___. 2 ? ?2 ,x<0,
1 解析 ∵f(-2)=2 =4>0, ?1? 1 1 1 ? ? 则 f(f(-2))=f?4?=1- =1- = . 4 2 2 ? ?
-2

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解析答案

4.( 教材改编 ) 若函数 y = f(x) 的定义域为 M = {x| - 2≤x≤2} ,值域为 N = ② 填序号). {y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是____(

解析 ①中函数定义域不是[-2,2],

③中图象不表示函数,
④中函数值域不是[0,2],

故填②.
1 2 3 4 5
解析答案

5.给出下列四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射; ②f(x)= x-2+ 2-x是函数; ③函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④函数的定义域和值域一定是无限集合.
①② 其中真命题的序号有_____. 解析 对于①,函数是映射,但映射不一定是函数;

对于②,f(x)是定义域为{2},值域为{0}的函数; 对于③,函数y=2x(x∈N)的图象不是一条直线; 对于④,函数的定义域和值域不一定是无限集合.
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题型分类 深度剖析

题型一

函数的概念
有以下判断: ?x≥0? 表示同一函数; ?x<0?

例1

? ?1 |x| ①f(x)= x 与 g(x)=? ? ?-1

②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; ? ? 1 ?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f ? f ? ? ? =0.其中正确判断的序号是_____. ? ? 2 ??

思维升华

解析答案

④ (1)下列四组函数中,表示同一函数的是___.

跟踪训练1

①y=x-1 与 y= ?x-1?2; ②y= x-1与 y= x -1 ; x -1

③y=4lg x 与 y=2lg x2; x ④y=lg x-2 与 y=lg . 100
解析 ①中两函数对应法则不同;

②、③中的函数定义域不同,④表示同一函数.
解析答案

2 (2)下列所给图象是函数图象的个数为____.

解析 ①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值, 因此不是函数图象, ②中当x=x0时,y的值有两个, 因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值, 因此是函数图象.
解析答案

题型二

函数的定义域

命题点1 求给定函数解析式的定义域
例2 1 (-3,0] (1)函数 f(x)= 1-2 + 的定义域为_______. x+3
x

x ? 1 - 2 ≥0, ? 解析 由题意知? ? ?x+3>0,

解得-3<x≤0,

所以函数f(x)的定义域为(-3,0].

解析答案

lg?x+1? (-1,1)∪(1,+∞) (2)函数 f(x)= 的定义域是__________________. x-1

解析

lg?x+1? 要使函数 f(x)= 有意义, x-1

需满足x+1>0且x-1≠0,

得x>-1,且x≠1.

解析答案

命题点2 求抽象函数的定义域
例3 f?x+1? (1)若函数 y=f(x)的定义域是[1,2 016] ,则函数 g(x)= 的 x-1

定义域是____________.

解析答案

? x2+x? ?的定义域为 (2) 若 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 (0,1] , 则 函 数 f ?lg 2 ? ?

[-5,-2)或(1,4] ________________.

解析 ∵函数f(x)的定义域为(0,1],

x2+x x2+x ∴0<lg 2 ≤1,即 1< 2 ≤10, 则1<x≤4或-5≤x<-2.

解析答案

命题点3 已知定义域求参数范围
例 4 若函数 f ? x ?= 2 [-1,0] ________.
解析 所以 2 即 2
x 2+2 ax-a
x 2+2 ax-a

? 1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

因为函数f(x)的定义域为R,

? 1 ≥0对x∈R恒成立,
20 , x2+2ax-a≥0恒成立,

x 2+2 ax-a ≥

因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0.

思维升华

解析答案

跟踪训练2
1 1 (1)已知函数 f(x)的定义域是[0,2] ,则函数 g(x)=f(x+2)+f(x-2)的 1 3 [2,2] 定义域是________.
? ?0≤x+1≤2, 2 ? 1 1 所以函数 g(x)=f(x+2)+f(x-2)中的自变量 x 需要满足? 1 ? 0≤x-2≤2, ? ?

解析 因为函数f(x)的定义域是[0,2],

1 3 解得:2≤x≤2,

1 3 所以函数 g(x)的定义域是[ , ]. 2 2
解析答案

(2)函数 y=

(-1,1) 的定义域为_______. -x -3x+4
2

ln?x+1?

解析

? ?x+1>0, 由? 2 得-1<x<1. ? ?-x -3x+4>0,

解析答案

题型三

求函数解析式

2 2 lg (x>1) x-1 例 5 (1)已知 f(x+1)=lg x,则 f(x)=___________.
2 解析 (换元法)令 t=x+1(t>1), 2 则 x= , t-1 2 ∴f(t)=lg , t-1

2 即 f(x)=lg (x>1). x-1

解析答案

(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x) 2x+7 =______. 解析 (待定系数法) 设f(x)=ax+b(a≠0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 即ax+5a+b=2x+17不论x为何值都成立,
? ? ?a=2, ?a=2, ∴? 解得? ? ? ?b+5a=17, ?b=7,

∴f(x)=2x+7.
解析答案

1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f(x)· x-1,则 f(x)= 2 1 3 x+3 ________.

解析 (消去法)

1 1 在 f(x)=2f(x) x-1 中,用x代替 x, 1 1 得 f( )=2f(x) -1, x x
1 2f?x? 1 将 f(x)= -1 代入 f(x)=2f(x) x-1 中, x 2 1 可求得 f(x)=3 x+3.
思维升华 解析答案

跟踪训练3
x2-1(x≥1) (1)已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)=___________.

解析 设 x+1=t(t≥1),
则 x=t-1.

代入 f( x+1)=x+2 x,
得f(t)=t2-1(t≥1),

∴f(x)=x2-1(x≥1).

解析答案

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x), 1 -2x(x+1) 则当-1≤x≤0时,f(x)=__________.

解析 当-1≤x≤0时,0≤x+1≤1, 1 1 由已知 f(x)=2f(x+1)=-2x(x+1).

解析答案

(3) 定义在 ( - 1,1) 内的函数 f(x) 满足 2f(x) - f( - x) = lg(x + 1) ,则 f(x) =

2 1 lg( x + 1) + lg(1 - x ) ( - 1< x <1) ____________________________. 3 3
解析 当x∈(-1,1)时,

有2f(x)-f(-x)=lg(x+1).①
以-x代替x得,

2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).②
由①②消去f(-x)得, 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3
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思想与方法系列

思想与方法系列

2.分类讨论思想在函数中的应用

典例

?ex-1,x<1, ? (1)(2014· 课标全国Ⅰ)设函数 f(x)=? 1 则使得 3 ? ? x ,x≥1,

(-∞,8] f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是__________. 解析 当x<1时,ex-1≤2,解得x≤1+ln 2, ∴x<1. 当x≥1时, x
1 3

≤2,

解得x≤8,∴1≤x≤8.
综上可知x∈(-∞,8].
解析答案

? ?3x-1,x<1, (2)(2015· 山东改编)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a)的 a ? ?2 ,x≥1, ?2 ? ? ?

的取值范围是____________.

? ,+∞? ?3 ?

解析 由f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1.
当a<1时,有3a-1≥1,

2 2 ∴a≥3,∴3≤a<1.
当a≥1时,有2a≥1,

∴a≥0,∴a≥1.

2 综上,a≥ . 3
温馨提醒 解析答案 返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相 同;二是对应法则是否相同. 2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的 讨论,必须在定义域上进行. 3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4.分段函数问题要分段求解.

失误与防范

1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和f(x)的定

义域相混.
2.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,

如果自变量的范围不确定,要分类讨论.

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练出高分

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③ 1.下列各组函数中,表示同一函数的是___.

①f(x)=x,g(x)=( x) ;
2

②f(x)=x2,g(x)=(x+1)2; ③f(x)= x2,g(x)=|x|; ④f(x)=0,g(x)= x-1+ 1-x.
解析 在①中,定义域不同, 在②中,解析式不同, 在④中,定义域不同.
解析答案

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1 2.已知函数 f(x)= g(x)=ln(1+x)的定义域为 2的定义域为 M, 1-x
(-∞,1) N,则 M∪(?RN)=__________. 解析 M=(-1,1),N=(-1,+∞), 故M∪(?RN)=(-∞,1).

解析答案

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? ?lg x,x>0, 3.设 f(x)=? x 则 f(f(-2))的值为- ___. 2 ? ?10 ,x≤0,

解析

∵-2≤0,

∴f(-2)=10-2, ∴f(f(-2))=f(10-2)=lg 10-2=-2.

解析答案

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? ?x,x≥0 {x|x≤1} 4.已知 f(x)=? ,则不等式 x+x· f(x)≤2 的解集是_______. ? ?-x,x<0 ? ? ?x≥0, ?x<0, 解析 原不等式可化为? 或? 2 2 ? ? x + x ≤ 2 x - x ≤2. ? ?

解得0≤x≤1或x<0. ∴x≤1.

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2 f(x)=-log2x 5.已知函数 f(x)满足 f( )=log2 x|x|, 则 f(x)的解析式是____________. x+|x|
解析 根据题意知x>0,

1 所以 f(x)=log2x, 1 则 f(x)=log2 =-log2x. x

解析答案

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7 1 - 8 6.已知函数 f(x)=log2 ,f(a)=3,则 a=______. x+1
1 解析 由题意可得 log2 =3, a+1 1 所以 =23, a+1 7 解得 a=- . 8

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x

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? ?2 ,x≤0, 1 7.设函数 f(x)=? 则使 f(x)=2的 x ? ?|log2x|,x>0,
x

? ? ? ? 2 ?-1, 2, ? 2? ? ? 的集合为? _____________.

1 解析 由题意知,若 x≤0,则 2 =2,解得 x=-1; 1 1 1 若 x>0,则|log2x|=2,解得 x= 2 2 或 x=2 2 .
故x
? ? 的集合为? -1, ? ? ? 2? . 2, 2 ? ? ?

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? 2 ?x+ -3,x≥1, 8.(2015· 浙江)已知函数 f(x)=? x 2 ? lg ? x +1?,x<1, ?

则 f(f(-3))=__,

f(x)的最小值是_______.

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9.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求函数f(x)的 解析式. 解 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0),又f(0)=0, ∴c=0,即f(x)=ax2+bx. 又∵f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1.∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1,
? ?a=1, ? 2 ? ?2a+b=b+1, ∴? 解得? 1 ? ? ?a+b=1, b=2. ? ?

1 2 1 ∴ f(x)=2x +2x.

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10.根据如图所示的函数y=f(x)的图象,写出函数的解析式.

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ax+1 [0,3) 11.若函数 y= 2 的定义域为 R, 则实数 a 的取值范围是______. ax +2ax+3 ax+1 解析 因为函数 y= 2 的定义域为 R, ax +2ax+3 所以ax2+2ax+3=0无实数解,
即函数y=ax2+2ax+3的图象与x轴无交点. 1 当 a=0 时,函数 y= 的图象与 x 轴无交点; 3 当a≠0时,则Δ=(2a)2-4· 3a<0,解得0<a<3.

综上所述,a的取值范围是[0,3).
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? 1 ? ? 2 ? ?2 013? ?2 014? 4x-1 ? ? ? ? ? ? ? 12.已知函数 f(x)= ,则 f? + f + ? + f + f ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 015? ?2 015? ?2 015? ?2 015? 2x-1

=________.

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4 13.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[ a,b] ,(a,b∈Z),值域是[0,1] , |x|+2 则满足条件的整数数对(a,b)共有__ 5 个.

解析

4 由 0≤ -1≤1, |x|+2

4 即 1≤ ≤2,得 0≤|x|≤2, |x|+2

满足条件的整数数对有 ( - 2,0) , ( - 2,1) , ( - 2,2) , (0,2) , (-1,2),共5个.
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14.已知 x∈R,定义:A(x)表示不小于 x 的最小整数.如 A( 3)=2,A(-0.4) ?1 ? ? ? , 1 ? ? 2 ? ? =0,A(-1.1)=-1.若A(2x+1)=3,则实数x的取值范围是________.
解析 由题中定义可知A(2x+1)=3等价于2<2x+1≤3,

1 解得 <x≤1. 2

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15.如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

(1) 试说明图 1 上点 A 、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; 解 点A表示无人乘车时收支差额为-20元, 点B表示有10人乘车时收支差额为0元, 线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示赢利.
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(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图2、3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? 解 图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价. (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? 解 斜率表示票价. (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元? 解 图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.

解析答案

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