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第六章 第二节 不等式的解法


第二部分
一, 一元二次不等式
1, 解一元二次不等式的步骤

不等式的解法

(1) 二次项系数如果是负数,首先在不等式两边同乘以 ?1 ,把二次项系数变成正数; (2) 判断对应的一元二次方程根的情况,如有根求出方程的根; (3) 写出一元二次不等式的解集,并用集合或区间表示;

2,


一元二次不等式的解法
??0 ??0 ??0

判别式
? ? b2 ? 4ac

y
y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

y x2 x O x1 x

y

的图象

x1 O

O

x

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

有两相等实根 b x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? ? 2a b x ? (??, x1 ) ( x2 , ??) {x | x ? ? } 2a
?

有两相异实根

没有实根

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

x ? ( x1 , x2 )

?

3,

二次不等式恒成立问题
?a ? 0 ?a ? 0 2 ; ax ? bx ? c ? (?)0恒成立 ? ? ax2 ? bx ? c ? (?)0恒成立 ? ? ?? ? (?)0 ?? ? (?)0

二, 分式不等式
1,分式不等式的解法:转化为整式不等式求解
(1)

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 (2) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 g ( x) g ( x)

第 1 页 共 7 页

(3)

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 (4) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ?k ? ? k ? 0 ? 形式(1) (6) ?k ? ? k ? 0 ? 形式(2) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ?k ? ? k ? 0 ? 形式(3) (8) ?k ? ? k ? 0 ? 形式(4) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(5)

(7)

三, 一元高次不等式
1, 未知数的个数是一个,未知数的次数大于或等于 3 的整式不等式,叫做一元高次不等式 2, 解法:数轴标根法(穿针引线法) :把不等式因式分解成许多因式乘积的形式,各因式中 x 的 系数为正数,把对应方程的根从小到大依次在数轴上标出,重根只标一次,不能取到的根要用空 心标出,然后根据不等式判断正负;

四, 绝对值不等式
1, 绝对值不等式的解法:利用等价转化法去掉绝对值

(1)形如 | x |? a(a ? 0) ? x2 ? a2 ? {x | ?a ? x ? a} (2)形如 | x |? a(a ? 0) ? x2 ? a2 ? {x | x ? a或x ? ?a} (3)形如 | x |? a(a ? 0) ? x ? a ? {x | ?a ? x ? a}
2 2

(4)形如 | x |? a(a ? 0) ? x ? a ? {x | x ? a或x ? ?a}
2 2

五, 对数、指数不等式
1, 形如 a ? k , a ? k , a ? k , a ? k (a ? 0且a ? 1 ,k ? 0) 的不等式叫指数不等式;
x x x x

2, 形如 loga x ? k ,loga x ? k ,loga x ? k ,loga x ? k (a ? 0且a ? 1) 的不等式叫指数不等式 3, 指数和对数不等式的解法是:不等式的两边都化为同底,利用对数函数或指数函数的单调性进行 求解不等式 4,两个公式(1)任何一个正数都可以写成一个指数的形式,即 b ? a
loga b

(a ? 0且a ? 1, b ? 0)

(2)任何一个数都可以写成一个对数的形式,即 b ? loga ab (a ? 0且a ? 1)

六, 三角不等式
1, 形如 sin x ? a,sin x ? a,sin x ? a,sin x ? a, cos x ? a, cos x ? a, cos x ? a, cos x ? a,

第 2 页 共 7 页

tan x ? a, tan x ? a, tan x ? a, tan x ? a ( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 的不等式叫三角不等式

2, 解法两种: (1)利用单位圆中的三角函数线求解(2)利用三角函数的图像求解

七,例题分析
例1、 解下列关于 x 的不等式 (1) x ? 4 x ? 9 ? 0
2

(2) 3x ? 7 x ? 10
2

2 (3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 (4) 4 x ?

4 2 1 x ? 3 (5) sin x ? 3 2

(6) x2 ? x ? a(a ? 1) ? 0 (7)

1 x2 ? x ? 2 3 ? 0 (8) 3x ? (9) log 1 x ? 3 (10) ? 3 ? tan x ? 2 x ?3 3 2

【解析】 (1) , (2) , (3) , (4) , (6)考查一元二次不等式的解法,根据解一元二次不等式的求解方法可求 解;其中第(6)题考查含有参数的一元二次不等式的解法,注意对其参数进行分类讨论即可; (5)和(10) 题考查三角函数的解法,利用三角函数线或三角函数图像可求解; (7)考查分式不等式和一元高次不等式 的解法; (8)和(9)分别考查指数不等式和对数不等式的解法,两边化成同底,利用函数单调性求解; (1) x ? R (2) x ? [?1,

10 3 ? 5? ] (3) ? (4) x ?{ } (5) x ? [2k? ? , 2k? ? ], k ? Z 3 2 6 6
(6)原不等式可以化为: ( x ? a ? 1)(x ? a) ? 0

5? 6

? 6

1 则 x ? a或 x ? 1? a 2 1 1 2 1 x ? ,x?R 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 ( x ? ) ? 0 2 2 2 1 若 a ? ?(a ? 1) 即 a ? 则 x ? a 或 x ? 1 ? a 2
若 a ? ?(a ? 1) 即 a ?

x2 ? x ? 2 ? 0 ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3) ? 0且x ? 3 ? x ? (??, ?1] [2,3) (7) x ?3
x (8)3 ? 1 log3 1 1 1 1 ? 3x ? 3 2 ? x ? (log3 , ??) (9)log 1 x ? 3 ? log 1 x ? log 1 ? x ? (0, ] 2 2 8 2 2 2 8

(10)

y

y?

3 3

x ? [ k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) 3 6

?

3 ? ? y?? 3 2

?? ? ? 2

0

?
2

?

3 x ? 2

第 3 页 共 7 页

例 2, (12 重庆理 2)不等式 A. ? ?

x ?1 ? 0 的解集为 2x ?1
C. ? ? ?. ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1,??? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2

? ?

1? ?

【解析】此题考查分式不等式的解法,化为等价的整式不等式求解,注意分母不等于零这个隐含 条件,此题容易错选 B 答案。 原不等式等价于 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,即 ?

1 ? x ? 1 或 x ? 1 ,所以不等式的解为 2

?

1 ? x ? 1 ,选 A. 2

例 3, (12 年重庆文 2)不等式 A、 (1, ??) B、 (??, ?2)

x ?1 ? 0 的解集为( x?2
C、 (?2,1) D、 (1, ??)



(??, ?2)

【命题意图】此题考查分式不等式的解法,化为等价的整式不等式求解 【解析】原不等式等价于 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ?2 ? x ? 1 ,所以解集是 (?2,1) 例 4, ( 11 年 江 西 理 第 2 题 ) 若 集 合 A ? {x | ?1 ? 2 x ? 1 ? 3}, B ? {x |

x?2 ? 0} , 则 x

A B ?(

)A、 {x | ?1 ? x ? 0} B、 {x | 0 ? x ? 1} C、 {x | 0 ? x ? 2} D、 {x | 0 ? x ? 1}

【命题意图】此题考查一元一次不等式和分式不等式的解法,考查集合的交集的运算 【解析】 A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {x | 0 ? x ? 2} ? A 例 5, (11 年上海理第 4 题)不等式

B ? {x | 0 ? x ? 1} 答案:B

x ?1 ? 3 的解为 x

【命题意图】此题考查分式不等式的解法,化为整式不等式求解 【解析】

x ?1 x ?1 ?2 x ? 1 1 ?3? ?3? 0 ? ? 0 ? (2 x ? 1) x ? 0 ? x ? ( , ??) (??, 0) x x x 2

例 6, (11 年广东理第 9 题) 不等式 | x ? 1| ? | x ? 3|? 0 的解集是 【命题意图】此题考查绝对值不等式的解法,进行等价转化即可 【解析】 | x ? 1| ? | x ? 3|? 0 ?| x ? 1|?| x ? 3|?| x ? 1| ?| x ? 3| ? x ?[1, ??)
2 2

例 7, (10 年合肥模拟)若 a ? 1 ? 0 ,则不等式 x ?

x2 ? 2x ? a 的解集为 x ?1

【命题意图】考查含有参数的分式不等式的解法,考查分类讨论思想的应用

x2 ? 2 x ? a x?a ?0? ? 0 ,又因为 a ? ?1,??a ? 1?原不等式的解 【解析】原不等式即 x ? x ?1 x ?1
集为 (??, ?a]

(1, ??)
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例 8, (08 年合肥模拟)已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2x?1 ? 1} ,则 A A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 3} C. {x |1 ? x ? 3} D. ?

B?( )

【命题意图】考查一元二次不等式和指数不等式的解法及集合的交集的运算 【解析】由已知得 A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x |1 ? x},? A

B ? {x |1 ? x ? 3} ,选 C

八,反馈练习
1、解下列关于 x 的一元二次不等式

1 2 3 x ? x ? ? ?2 (2)-3<4x2-10x-3<3 (3) ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0 , 2 2 1 1 2 2 、 一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ? , ) ,则 a ? b 的值是 2 3
(1) ? 4 ? ?
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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3、不等式 ax2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 2 对一切 x ?R 恒成立,则实数 a 的取值范围是

4、 (10 全国Ⅱ第 5 题)不等式 A、 x x< ? 2, 或x>3

x2 ? x ? 6 >0 的解集为( x ?1



?

? ?

B、 x x< ? 2,或1<x<3

?

? ?

C、 x ?2<x<1,或x>3

?

1,或1<x<3 D、 x ?2<x<

?

5、 (10 年江西理第 3 题)不等式 B、 (??, 0)

x?2 x?2 的解集是( ? x x
C、 (2, ??)



A、 (0, 2)

D、 (??,0)

(0, ??)

6, (10 年上海理第 1 题)不等式

2? x ? 0 的解集__________ 4? x
.
w.w.w. k. s. 5.u.c.o.m

7,(09 山东理第 13 题)不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 8、 (09 安徽理 2)若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x
1 ? A、 ? ? x ?1 ? x ? ? 或2 ? x ? 3? 2 ? ?
2

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是=( ? 3? x ?



B、 x 2 ? x ? 3

?

?

? 1 ? C、 ? x ? ? x ? 2? 2 ? ?

1? D、 ? ? x ?1 ? x ? ? ? ? 2?

9、 (12 湖南文 12)不等式 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集为______. 10、 (12 江西文 11)不等式

x2 ? 9 ? 0 的解集是___________。 x?2

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11、 (12 福建文 15)已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取
2

值范围是_________.
12、 (12 陕西理 1)集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M A、 (1, 2) B、 [1, 2) C、 (1, 2] D、 [1, 2]

N ?(



【参考答案】
1, 【解析】考查一元二次不等式的解法,注意不等式的等价转化,(3)考查含参数的一元二次不等式 解法注意分类讨论思想的应用

3 ? 1 2 ? x ? x ? ? ?2 ? 2 ? x2 ? 2 x ?1 ? 0 1 2 3 ? ? 2 (1) ? 4 ? ? x ? x ? ? ?2 ? ? ?? 2 2 2 ? ?x ? 2x ? 5 ? 0 ??4 ? ? 1 x 2 ? x ? 3 ? ? 2 2 ? ? x ? 2 ? 1或x ? ? 2 ? 1 ?? ? x ? ( 2 ? 1, 6 ? 1) (? 6 ? 1, ? 2 ? 1) ? ?? 6 ? 1 ? x ? 6 ? 1
?2x 2 ? 5x ? 3 ? 0 5 1 ? (2) ? 3 ? 4x 2 ? 10x ? 3 ? 3 ? ? 2 ? x ? ( ,3) (? , 0) 2 2 ? ?2x ? 5x>0
(3)对 a 分以下五种情况讨论: a ? 0; a ? 0;0 ? a ?

1 1 1 ;a ? ;a ? 2 2 2
1 1 , ) , 即方程 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解为 2 3

2、 【解析】此题考查一元二次不等式的逆向求解问题,一元二次不等式的解集的端点值是对应的
2 一元二次方程的解,不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?

b ? 1 1 ? ? ?? ? 1 1 ? 2 3 a x ? ? 或 , 故? 1 1 2 2 3 ?? ? ? ? ? 2 3 a

a ? ?12 b ? ?2 ∴a+b=-14

3、 【解析】考查恒成立问题,此题注意分类讨论思想的应用,对二次项系数和 0 进行讨论
2 2 不等式 ax ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 对一切 x ?R 恒成立,

即 (a ? 2) x ? 4x ? a ? 1 ? 0
2

对一切 x ?R 恒成立

若 a ? 2 =0,显然不成立 若a ? 2

?a ? 2 ? 0 ∴a ? 2 ? 0,则 ? ?? ? 0

4、 【解析】此题考查分式不等式和一元高次不等式的解法
第 6 页 共 7 页

x2 ? x ? 6 ? 0 ? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? x ? 3或 ? 2 ? x ? 1 ,选 C x ?1
5、 【解析】此题考查绝对值的性质和分式不等式的解法 由已知得

x?2 ? 0 ? x( x ? 2) ? 0 ? x ? (0, 2) ,选 A x

6、 【解析】 此题考查分式不等式的解法, 由已知得原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ? x ? (?4, 2) 7、 【解析】此题考查含有两个绝对值不等式的解法,利用不等式的性质等价转化即可;
2 原不等式等价于 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? 0 ? {x | ?1 ? x ? 1} ,所以解集 2 2

为 {x | ?1 ? x ? 1} 8、 【解析】此题考查绝对值不等式和分式不等式的解法及集合的交集的运算

| 2 x ? 1|? 3 ? (2 x ? 1) 2 ? 9 ? ?1 ? x ? 2 2x ?1 1 ,所以答案选 D ? 0 ? (2 x ? 1)( x ? 3) ? 0 ? x ? 3或x ? ? 3? x 2
9、 【解析】本题考查一元二次不等式的解法,考查简单的运算能力 . 由 x ? 5x ? 6 ? 0 ,得
2

2 ,从而的不等式 x ? 5x ? 6 ? 0 的解集为 ? x 2 ? x ? 3? . ( x ? 3)(x ? 2)? 0

10 、 【解析】此题考查分式不等式和一元高次不等式的解法,原不等式等价为

( x ? 3)( x ? 3)( x ? 2) ? 0 利用数轴标根法可以求出, 解得 x ? 3 或 ? 3 ? x ? 2 , 所以原不等式的解
集为 (?3,2) ? (3, ? ?) 。 11、 【解析】此题考查一元二次不等式的逆向求解问题和一元二次不等式的两种恒成立问题,由

x 2 ? ax ? 2a ? 0 恒成立 ? ? ? 0 ,即 a 2 ? 4 ? 2a ? 0 ,易得 0 ? a ? 8 .所以 a ? (0,8)
12 、 【解析】此题考查的交集运算,考查对数不等式、一元二次不等式的解法,

M ? {x | lg x ? lg1} ? {x | x ? 1}, N ? {x | ?2 ? x ? 2} ,? M ? N ? (1,2] ,故选 C.

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第六章 第二节 不等式的解法

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