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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(37)


龙泉中学 2013 届高三理科数学适应性考试(2)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。请将正确的答案填在答题卡上。 )

A.4 B.2 2 C.2 D. 2 MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的 9.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱

长为 2, 线段称为球的弦) P 为正方体表面上的动点, , 当弦 MN 的长度最大时, ( PM ? PN 的取值范围是 A. ? 0, 2? B. ? ?1, 3 ?

???? ???? ?



i 2012 ? 3z2 2013 1.已知 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 2i ,则复数 z ? ? i 的模等于( z1 ? 1
5 5 A. 2
B. 2 5 C. 29 D. 2 21



?

?

C. ?0, 3 ?

?

?

D.

??1, 2?

10. 给定集合 An ? {1, 2,3,..., n} , 映射 f : An ? An 满足: ①当 i, j ? An , i ? j 时,

? 3 ? 2.已知 R 是实数集,集合 M ? ? x | ? 1? , N ? y | y ? t ? 2 t ? 3, t ? 3 ,则 N ?C RM ? ( ? x ? A. ? 2,3? B. [2, ??)
C. ( ??, 2] D. ? 0, 2?
开始

?

?

f (i) ? f ( j ) ;②任取 m ? An , 若 m ? 2 ,则有 m ? { f (1), f (2),.., f (m)} .则

) 称映射 f : An ? An 是一个“优映射”.例如表 1 表示的映射 f : A3 ? A3 是一个“优映射”.若映射 f : A10 ? A10 是“优映射”,且方程 f (i ) ? i 的解恰有 6 个,则这样的“优映射” 的个数是( ) A.21 B.42 C.63 D.84 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 题) 11. 已知 x ? 0, y ? 0, z ? 0, x ? 2 y ? 3 z ? 3 ,那么 ( x ? 1 ) 2 ? (2 y ? 1 ) 2 ? (3z ? 1 ) 2 的最小值为 4y 6z 2x 12.设 a ?

3.一个算法的程序框图如右,则其输出结果是( A. 0 B.



n=1,s=0

2 2 2 C. ?1 2 D. 2 ? 1

n≤2013
n? s ? s ? sin 4




; 。

输出 s

n=n+1
4.某几何体的三视图(单位:m)如图所示,则其表面积为( A. (96 ? 32 2)m2 B. (64 ? 32 3)m2 )

结束 为

?

?

0

x 1 6 2 (sin x ? 1 ? 2 cos 2 )dx ,则多项式 (a x ? ) ? ( x ? 2) 的常数项是 2 x
; 60 0

13 . 从 正 方 体 的 各 表 面 对 角 线 中 随 机 取 两 条 , 这 两 条 表 面 对 角 线 成 的 角 的 度 数 的 数 学 期 望 14.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 0, f ( x) ? f (1 ? x) ? 1, f ( ) ? 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (

C. (144 ? 16 2 ? 16 3)m2 D. (80 ? 16 2 ?16 3)m2 5.若圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标 轴,且过 A( ?2, 2 3), B ( , ? 5) ,则( A.曲线 C 可为椭圆,也可为双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆

x 3

1 f ( x) , 且当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 2

3 2

1 ) ? _____ 2013

_。

) B.曲线 C 一定是双曲线 D.这样曲线 C 不存在

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S15 ? 0 , S16 ? 0 ,则

S1 S2 S3 S15 中最大项为( ) 、 、 … a1 a2 a3 a15 S S S S A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 a6 a7 a8 a9 7.函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意的 x ? R ,都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立,则( ) A. 3 f (2ln 2) ? 2 f (2ln 3) B. 3 f (2ln 2) ? 2 f (2ln 3) C. 3 f (2ln 2) ? 2 f (2ln 3) D. 3 f (2ln 2)与2 f (2ln 3) 的大小不确定
8.与抛物线 y ? 8 x 相切倾斜角为 135 0 的直线 L 与 x 轴和 y 轴的交点分别是 A 和 B,那么过 A、B 两点
2

(二)选考题(请考生在 15、16 两题中任选一题作答. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分) 15. (平面几何选讲选做题) 已知⊙O1 和⊙O2 交于点 C 和 D, E A P ⊙O1 上的点 P 处的切线交⊙O2 于 A、B 点,交直 线 CD 于点 E,M 是⊙O2 上的一点,若 PE=2, C EA=1, ? AMB=30o,那么⊙O2 的半径为 ; O2 O1 D

B

M

16.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C1 : ? 取值范围是

? x ? 2 ? 2cos ? ? (? 为参数) ,曲线 C2:? cos(? ? ) ? t ,若两曲线有公共点,则 t 的 3 ? y ? 2sin ?


的最小圆截抛物线 y ? 8 x 的准线所得的弦长为(
2

)

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin ? x, 2cos ? x) , b ? (cos ? x, ?

(1)求 ? 的值;

2 3 cos ? x) 3 ? ? ? ? (? ? 0) ,函数 f ( x) ? a( 3b ? a) ?1,且函数 f ( x) 的最小正周期为 。 2
2

?

?

已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An an , an ?1 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数列 ?bn ? 中,点 Bn ? n, bn ? 在过 点 ? 0,1? ,以方向向量为 ?1,2? 的直线上. (Ⅰ)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式;

?

?

(2)设 ?ABC 的三边 a、b、c 满足: b ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,若方程 f ( x) ? k 有两个不同的 实数解,求实数 k 的取值范围。

?an , ? n为奇数 ? ? (Ⅱ)若 f ? n ? ? ? ,问是否存在 k ? N ,使 f ?k ? 27 ? ?4 f ? ? 成立,若存在,求出 k k ?bn , ? n为偶数 ? ? 值;若不存在,说明理由; a n ?1 an (Ⅲ)对任意正整数 n ,不等式 ? ? 0 成立,求正数 a 的取值范围. ? n ? 2 ? an 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? bn ?

18. (本小题满分 12 分) 如图一,△ABC 是正三角形,△ABD 是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD 沿边 AB 折起,使得△ABD 与△ABC 成 30o 的二面角 D ? AB ? C ,如图二, 在二面角 D ? AB ? C 中. (1) 求 D、C 之间的距离; (2) 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小; (3) 求证:对于 AD 上任意点 H,CH 不与面 ABD 垂直。 A A

C D B
图二

C

x2 y 2 21. 本小题满分 13 分) 已知双曲线 W: 2 ? 2 ?` a ? 0, b ? 0) 的左、 1( ( 右焦点分别为 F1 、F2 , N (, )b , 点 0 a b ???? ????? ? 右顶点是 M,且 MN ? MF2 ? ?1 , ?NMF2 ? 120? .
(Ⅰ )求双曲线的方程; B Q (Ⅱ 过点 Q(0, ?2) 的直线 l 交双曲线 W 的右支于 A、 两个不同的点 ) (B 在 A、 之间) 若点 H (7, 0) , 在以线段 AB 为直径的圆的外部,试求△AQH 与△BQH 面积之比 λ 的取值范围. 故 λ 的取值范围是 (1,7) . 13 分

B
图一

D

19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两名射击运动员参加射击选拔训练,在相同的条件下,两人 5 次训练的成绩如下表(单位:环) 次数 甲 乙 1 6.5 10.0 2 10.2 9.5 3 10.5 9.8 4 8.6 9.5 5 6.8 7.0 22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2mx2 ? m2 x ? 1 ? m(m ? ?2) 的图象在 x=2 处的切线与直线 x-5y-12=0 垂直. (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的极值与零点; (Ⅱ )若 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 ,证明:

(1)请画出茎叶图,从稳定性考虑,选派谁更好呢?说明理由(不用计算) 。若从甲、乙两人 5 次成绩 中各随机抽取一次,求抽取的成绩至少有一个低于 9.0 环的概率; (2)若从甲、乙两人 5 次成绩中各随机抽取二次,设抽到 10.0 环以上(包括 10.0 环)的次数为 X ,求 随机变量 X 的分布列和期望; (3)经过对甲、乙两人的很多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[6.5,10.5]之间。现甲、乙 比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 1.0 环的概率。

a b c 9 ? ? ? 2 2 2 1 ? a 1 ? b 1 ? c 10

20.(本小题满分 12 分)

龙泉中学 2013 届高三理科数学适应性考试(2)参考答案

题号 答案 11.

1 C

2 A

3 C

4 D

5 B

6 C

7 B

8 D

9 A

10 D

即 CH 不可能同时垂直 BD 和 BA,即 CH 不与面 AB D 垂直。…………………12 分

27 4

19. (1)茎叶图如下:

17.(1)? f ( x) ? a ? ( 3b ? a) ?1

?

? ?

? (sin ? x, 2cos ? x) ? (sin ? x ? 3 cos ? x,0) ?1
3 1 1 sin? 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 ? 1 ? sin(2? x ? ) ? ………………………………… 5 分 6 2 2? ? ?? ? 2 ?T ? ? ………………………………… 6 分 2? 2 a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? ac 1 ? ? (2)?在?ABC 中, cos x ? …………………8 分 2ac 2ac 2 ? ? ? 7? ?0 ? x ? ? 4x ? ? ………………………………… 9 分 3 ?6 6 6 ? 1 ? f ( x) ? sin(4 x ? ) ? ? k 有两个不同的实数解时 6 2 1 k 的取值范围是: ( ?1, ) 。 ………………………………… 12 分 2 ?
18. 解: 依题意,? ABD=90 ,建立如图的坐标系使得△ABC 在 yoz 平面上,? △ABD 与△ABC 成 30 的二面角, ? ? DBY=30o,又 AB=BD=2, ? A(0,0,2),B(0,0,0), z
o o

乙 6 7 0 6 8 9 558 52 10 0 从图上看,乙更集中,选派乙更好, ………………………………… 2 分 从甲、乙两人 5 次成绩中各随机抽取一次,则至少有一个低于 9.0

甲 85

2 1 23 ? ? ………………………………… 4 分 5 5 25 (2)由题可知:随机变量 X 可能为: 0,1, 2,3
环的概率为 1 ?
2 C32C4 P( X ? 0) ? 2 2 ? 0.18 C5 C5 2 2 1 1 1 C2 C4 ? C2C3C4 P( X ? 2) ? ? 0.30 C52C52 1 1 2 1 1 C2C3C4 ? C32C1 C4 P( X ? 1) ? ? 0.48 C52C52 2 1 C2 C4 P( X ? 3) ? 2 2 ? 0.04 C5 C5

∴分布列为: X P 0 0.18 1 0.48 2 0.30 3 0.04 ……………… 6 分 ……………… 8 分 ……………… 10 分 ……………… 12 分

C(0, 3 ,1),D(1, 3 ,0), (1)|CD|= (1 ? 0) ? ( 3 ? 3 ) ? (0 ? 1) = 2 ……… 5 分
2 2 2

A

期望为:EX=1.2 (3)设甲的成绩为 x ,乙的成绩为 y , 则 | x ? y |? 1, 即: ?1 ? y ? x ? 1 C 则 p (| x ? y |? 1) ?

(2)? x 轴与面 ABC 垂直,故(1,0,0)是面 ABC 的一个法向量。 设 CD 与面 ABC 成的角为 ? ,而 CD = (1,0,-1),

? sin ? =

| (1,0,0) ? (1,0,?1) | 1 ?0 ?0
2 2 2

1 ? 0 ? (?1)
2 2

2

=

2 2
x

B D

20. 解: (Ⅰ)将点 An an , an ?1 代入 y 2 ? x ? 1 中得 y

?

4 ? 4 ? 3? 3 7 ? 4? 4 16

?

],? ? = ;…………………8 分 2 4 (3) 设 AH =t AD = t(1, 3 ,-2)= (t, 3 t,-2 t),

? ? ? [0,

?

?

an ?1 ? an ? 1 ?

an ? a1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? 5

? an ?1 ? an ? d ? 1
…………………………………………(4 分)

直线l : y ? 2 x ? 1, ? bn ? 2n ? 1
?n ? 5, ? (Ⅱ) f ? n ? ? ? ?2n ? 1, ?

CH = CA + AH =(0,- 3 ,1) +(t, 3 t,-2 t) = (t, 3 t- 3 ,-2 t+1), 1 若 CH ? BA ,则 (t, 3 t- 3 ,-2 t+1)·(0,0,2)=0 得 t= , ……………10 分 2 3 1 1 3 此时 CH =( ,,0), 而 BD =(1, 3 ,0), CH · BD = - =-1 ? 0, 2 2 2 2 ? CH 和 BD 不垂直,

? n为奇数 ? ………………………………(5 分) ? n为偶数 ?

当k为偶数时,k ? 27为奇数, ? k ? 27 ? 5 ? 4 ? 2k ? 1? , 2 ? k ? 27 ? ? 1 ? 4 ? k ? 5? , 当k为奇数时,k ? 27为偶数, ?

? f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ?
……………………(8 分)

? k?4 35 ? 舍去? 2

由已知 ? ?

S?AQH S?BQH

?

??? ? ??? ? | AQ | ,∵B 在 A、Q 之间,则 QA ? ?QB ,且 ? ? 1 , | BQ |

? k?

综上,存在唯一的k ? 4符合条件。 a n ?1 an (Ⅲ)由 ? ?0 ? n ? 2 ? an 1 ?? 1? ? 1? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? bn ?

4k ? ?(1 ? ? ) x2 ? k 2 ? 3 , ? ∴ ( x1 , y1 ? 2) ? ? ( x2 , y2 ? 2) ,则 x1 ? ? x2 ,∴ ? ?? x 2 ? 7 , ? 2 k2 ? 3 ? 2 2 (1 ? ? ) 16 k 16 3 ·······················10 ·········· ··········· ·· ? ? 2 ? (1 ? 2 ) , ··········· ··········· ·· 分 则 ? 7 k ?3 7 k ?3 1 (1 ? ? )2 64 ? ∵ 2 ? k ? 7 ,∴ 4 ? ,解得 ? ? ? 7 ,又 ? ? 1 ,∴ 1 ? ? ? 7 . 7 ? 7

22.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ?3x2 ? 4mx ? m2 ,所以 f ?(2) ? ?12 ? 8m ? m2 ? ?5 , 解得: m ? ?1 或 m ? ?7 ,又 m ? ?2 ,所以 m ? ?1 , ………2 分 1 由 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x ?1 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? ,列表如下: 3 1 1 1 x ( ,1) (1, ??) (??, ) 1 3 3 3
f ?( x )

?
?
1 3

0 极小值
50 27

?
?

0 极大值 2

?
?
………4 分

f ( x)

所以 f ( x)极小值 ? f ( ) ?

50 , f ( x)极大值 ? f (1) ? 2 , 27

因为 f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ? ?( x ? 2)( x2 ? 1) , 所以函数 f ( x ) 的零点是 x ? 2 . ………5 分

???? ????? ? 21.解答 (Ⅰ)由已知 M (a, 0) , N (0, b) , F2 (c,0) , MN ? MF2 ? (?a, b) ? (c ? a,0) ? a2 ? ac ? ?1 ,
∵ ?NMF2 ? 120? ,则 ?NMF1 ? 60? ,∴ b ? 3a ,∴ c ? a2 ? c2 ? 2a , y2 ·········· ····· ?` . ················4 分 1 ··········· ····· 解得 a ? 1 , b ? 3 ,∴双曲线的方程为 x2 ? 3 (Ⅱ)直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,
?3 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 28(3 ? k ) ? 0, ? y ? kx ? 2, ? ? 由 ? 2 y2 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 4kx ? 7 ? 0 ,则 ? x1 ? x2 ? 4k ? 0, ?` 1 ?x ? k2 ? 3 ? 3 ? ? 7 ? x1 x2 ? 2 ? 0, k ?3 ? ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 解得 3 ? k ? 7 . ① ······························6 分 ??? ??? ? ? H (7, 0) 在以线段 AB 为直径的圆的外部,则 HA ? HB ? 0 , ∵点 ??? ???? ? HA ? HB ? ( x1 ? 7, y1 ) ? ( x2 ? 7, y2 ) ? ( x1 ? 7) ? ( x2 ? 7) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (7 ? 2k )( x1 ? x2 ) ? 53

x 27 50 ? (2 x ? x 2 ) , ,即 2 1? x 50 27 当 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 时, 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 , a b c 27 27 ? ? ? [2(a ? b ? c) ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] ? [2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] 所以 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 50 2 2 2 2 2 2 又因为 (a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 3(a ? b ? c2 ) , 1 1 2 2 2 所以 a ? b ? c ? ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号, 3 3 a b c 27 27 1 9 ? ? ? [2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 )] ? (2 ? ) ? , 所以 2 2 2 1? a 1? b 1? c 50 50 3 10 1 当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ………14 分 3
2 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,当 x ? [0,1] 时, ( x ? 1)(2 ? x) ?

7 4k 7k 2 ? 7 ? 8k 2 ? 28k ? 53k 2 ? 159 ? (7 ? 2k ) ? 2 ? 53 ? ? 0 ,解得 k ? 2 . ② k2 ? 3 k ?3 k2 ? 3 ··········· ·········· · 8 ·········· ··········· · 由①、②得实数 k 的范围是 2 ? k ? 7 , ······················· 分 ? (1 ? k 2 ) ?


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