nbhkdz.com冰点文库

2011版高中数学二轮

时间:2013-04-10


专题 2

数列

第7讲 第8讲

等差数列与等比数列 数列的通项公式及数列求和

专题 2

数列

专题 2 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题 2 │ 考情分析预测
考情分析预测

专题 2 │ 考情分析预测

专题 2 │ 考情分析预测

数列是函数的延展,是支撑数学学科的主体知识,也是 中学数学与大学数学的衔接点,是进一步学习数学的基础, 因此高考对这部分知识的考查的题型多样,解答题的难度也 较高,甚至很多都是试卷的压轴题. 纵观近几年的高考题,考查比较全面,等差、等比数列的考 查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个综合 解答题.关于数列的考查主要有两方面的内容:一是数列本 身的知识,主要是等差数列、等比数列概念、通项公式、性 质、前 n 项和公式;二是数列与其他知识的交汇,

专题 2 │ 考情分析预测

如:与函数、方程、不等式等知识的结合,难度一般 都很大,它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论 等重要思想,还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放 缩法等基本数学方法.其中的高考热点——探索性问题也 出现在近年高考的数列解答题中了. 预测 2011 年的高考将继续对等差、等比数列的通项公 式、求和公式等基本知识以及它与其他知识的交汇问题作 重点考查,对该部分的复习备考应注意通性通法.

第 7 讲 │ 等差数列与等比数列

第7讲

等差数列与等比数列

第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第7讲 │ 主干知识整合

第7讲 │ 主干知识整合

等差数列

等比数列

性 质

第7讲 │ 主干知识整合
等差数列 等比数列

第7讲 │ 主干知识整合

性 质

第7讲 │ 主干知识整合

第 7 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究

?

探究点一

数列的通项公式的求法

例 1 (1) 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = 1 , an = an - 1 + n(n≥2),则 an=________. - (2)已知数列{an}满足 a1=2,an=an- 1 ·n 1(n≥2), 2 则 an=________. (3)在数列{an}中,a1=3,an+ 1=a 2 (n∈N*),则 an = n ________.

第 7 讲 │ 要点热点探究
1 2 1 2 1 (1) (n +n) (2)2 n - n+1 (3)32n- 1 2 2 2 【解析】 (1)由已知 an-an- 1=n,得 a2-a1=2,a3-a2 =3,?an-an- 1=n, ?2+n??n-1? 1 2 叠加得 an-a1= ,∴an= (n +n). 2 2 (2)由 an=an- 1· 2
2 n- 1

an - 1 an an - n- 1 n- 1 ,得 =2 ,∴ =2 , =2n an- 1 an - 1 an - 2

a2 ,? =21, a1

n?n-1? an 1 1 1 2 n- 1 累乘得 =2 · ?2 =2 2 ,∴an=2 n2- n+1 a1 2 2 2 - - (3)∵a1=3,an=a 2 - 1=a22n- 2=a23n- 3=?=a2n 11=32n 1. n

第 7 讲 │ 要点热点探究

【点评】 已知数列{an},若满足 an-an- 1 =f(n),则 an 求通项 an 一般用累加法;若满足 =f(n),则用累乘法; an- 1 若满足 an=f(an- 1),可以考虑用迭代法.叠加法,累乘法, 迭代法是求数列通项的重要方法,也是历年高考命题热点 所在.

第 7 讲 │ 要点热点探究

[2010· 海南卷] 设数列{an}满足 a1=2,an+1-an =3×22n-1,求数列 an 的通项公式;令 bn=nan,求数列 {bn}的前 n 项和 Sn .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

【解答】 (1)由已知,当 n≥1 时, an + 1 =[(an + 1 -an)+(an -an - 1)+…+(a2 -a1)]+a1 = 3(22n- 1+22n- 3+?+2)+2=22(n+ 1)- 1. 而 a1=2,所以数列{an}的通项公式为 an=22n- 1.

第 7 讲 │ 要点热点探究
(2)由 bn=nan=n·2n-1 知 2 - Sn=1· 2+2·3+3·5+?+n·2n 1,① 2 2 2 从而 22· n=1·3+2·5+3·7+?+n·2n+1,② S 2 2 2 2 ①-②得 (1-22)· n=2+23+25+?+22n- 1-n·2n+1. S 2 1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9

【点评】 叠加法是求数列通项的重要方法,错位相减求 和是数列求和的重要方法,这是历年高考命题热点.

第 7 讲 │ 要点热点探究

(1)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-5an - 85,n∈N*,则数列{an}的通项公式为__________________. (2)数列{bn}(bn >0)的首项为 1,且它的前 n 项和 Sn 满足 Sn - Sn - 1 = Sn + Sn- 1 (n≥2) , 则 数 列 {bn} 的 通 项 公 式 ________________.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

第 7 讲 │ 要点热点探究
?5 ? n- 1 (1)an=-15× ? ? +1 ?6?

(2)bn=2n-1 【解析】 (1)当 n=1 时,a1=-14;当 5 n≥2 时,an=Sn-Sn- 1=-5an+5an- 1+1,所以 an= an- 1 6 1 5 5 1 1 1 + .令 an+x= (an- 1+x),即:an= an- 1- x,∴- x= , 6 6 6 6 6 6 5 ∴x=-1,故有 an-1= (an- 1-1). 6 又 a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列, ?5 ? n- 1 所以 an-1=-15× ? ? , ?6? ?5 ? - 即 an=-15× ? ?n 1+1. ?6 ?

第 7 讲 │ 要点热点探究
(2)因为 Sn-Sn- 1=( Sn- Sn- 1)( Sn + Sn- 1)= Sn + Sn- 1(n≥2), 又 bn>0, Sn>0,∴ Sn- Sn- 1=1. 数列{ Sn}构成一个首项为 1 公差为 1 的等差数列, Sn=1+(n-1)×1=n,Sn=n2. 当 n≥2,bn=Sn-Sn- 1=n2-(n-1)2=2n-1. 又 b1=1 适合上式, ∴bn=2n-1(n∈N*).

第 7 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 等差、等比数列的概念及基本运算

例 2 设等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+r,那么 r 的 值等于( ) A.3 B.1 C.0 D.-1

第 7 讲 │ 要点热点探究
【解答】 解法一:可求得通项
?3+r ?n=1?, ? an = ? - ?2×3n 1 ?n≥2?, ?

由于{an}为等比数列,

因此,3+r=2×3n,即 r=-1,故选 D. 解法二:由等比数列前 n 项公式 a1?1-qn? a1 Sn = (q≠1),令 =-A, 1-q 1-q 则 Sn=A·n-A,由题意 Sn=3n+r, q 比较系数知 r=-1,故选 D.

第 7 讲 │ 要点热点探究
例 3 [2010· 湖北卷] 已知等比数列{an}中,各项都是 a9+a10 1 正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 =( 2 a7+a8 A.1+ 2 B.1- 2 C.3+2 2 D.3-2 2 )

第 7 讲 │ 要点热点探究
C 【解析】
?1 ? 依题意可得:2× ? a3 ?=a1+2a2,即 ?2 ?

a3=a1+2a2,则有 a1q2=a1+2a1q,可得 q2=1+2q,解得 q=1+ 2或 q=1- 2(舍去), a9+a10 a1q8+a1q9 q2+q3 所以 = 6 = =q2=3+2 2,故 C a7+a8 a1q +a1q7 1+q 正确.

【点评】 等差数列、等比数列的通项、前 n 项和以 及它们的性质,始终都是考查的重点,因此要熟练掌握它 - 们的公式及性质.注意通项公式的变式使用 an=am·n m. q

第 7 讲 │ 要点热点探究

[2010· 福建卷] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9

第 7 讲 │ 要点热点探究
A 【解析】 解法一:设该数列的公差为 d,则 a4+a6=2a1+8d=2×(-11)+8d=-6,解得 d=2, n?n-1? 所以 Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36, 2 所以当 n=6 时,Sn 取最小值. 解法二:由解法一知 d=2,因此该数列是一个递增等差 数列;a6=a1+5d=-1<0,a7=a1+6d=1>0,则前 6 项和 最小.
【点评】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和 公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力.

第 7 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 等差、等比数列性质的运用

例 4 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 t>1, t∈N, at- 1+at+ 1=a 2, 2t- 1=38, t 的值为( 且 S 则 ) t A.19 B.14 C.11 D.10

第 7 讲 │ 要点热点探究
D 【解析】 由等差数列的性质, at-1+at+1=2at, 得 又 at- 1+at+1=a2, t ∴at=0 或 at=2. 若 at=0,则 S2t-1=0,故只能 at=2. ?2t-1?· t 2a ∴S2t- 1= =38,解得 t=10,选 D. 2

第 7 讲 │ 要点热点探究

[2010· 全国卷Ⅰ] 已知各项均为正数的等比数 列{an},a1a2a3=5,a7 a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2

第 7 讲 │ 要点热点探究
A 【解析】 由等比数列的性质知 a1a2a3=(a1 a3)·2 a 1 3 3 =a2=5,a7a8a9=(a7 a9)·8=a8=10,所以 a2a8=50 , a 3 13 3 3 所以 a4a5a6=(a4a6)·5=a 5=( a2a8) =(50 ) =5 2. a 6

【点评】 本题主要考查等比数列的性质、指数幂的 运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化 归的数学思想.

第 7 讲 │ 要点热点探究

n 在等差数列{an}中,前 n 项和 Sn= ,前 m 项 m m 和 Sm= ,其中 m≠n,则 Sm+ n 的值( ) n A.大于 4 B.等于 4 C.小于 4 D.大于 2 且小于 4

第 7 讲 │ 要点热点探究

【解析】 解法一:特值法,令 n=1,m=2, 1 3 5 则该数列为: , , ,?,立即可以得出答案选 A. 2 2 2 A

第 7 讲 │ 要点热点探究
n 解法二:设 Sn=pn +qn,则 pn +qn= ,pm2+qm m n2-m2 m = ,∴两式相减得 p(m+n)(n-m)+q(n-m)= . n mn m+n ∵m≠n,∴p(m+n)+q= . mn Sm + n =p(m+ n)2 + q(m+ n)=(m+ n)· [p(m+ n) +q]= ?m+n? 2 ?2 mn? 2 ≥ =4. mn mn 又∵m≠n,∴S m+ n>4.
2 2

【点评】 选择题解法的灵活性需平时用心体会,用好 等差数列的充要条件及整体代换的思想是解法二的关键.

第 7 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 等差数列与等比数列的综合问题

例 5 等差数列{an}中,a1=3,前 n 项和为 Sn , 等比数列{bn}各项均为正数,b1=1,且 b2+S2=12, S2 {bn}的公比 q= . b2 (1)求 an 与 bn; ?1 ? (2)求数列? ?的前 n 项和. ?Sn ?

第 7 讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)由已知得 b2=b1q=q,所以有 ?q+3+a2=12, ? ? 3+a2 ?q= q , ? 解方程组得,q=3 或 q=-4(舍去),a2=6. - ∴an=3+(n-1)3=3n,bn=3n 1.

第 7 讲 │ 要点热点探究
n?3+3n? 1 ? 1 2 2?1 ? ? (2)∵Sn= ,∴ = = ?n- , 2 Sn n?3+3n? 3? n+1 ? ? 1 1 1 ∴ + +?+ S1 S2 Sn
? 2? ?1- 1 +1 - 1+ 1- 1+?+ 1 - 1 ? = ? 2 2 3 3 4 n n+1 ? 3? ? ? 2? ?1- 1 ? = ? . 3? n+1 ? ?

【点评】 本题主要考查等差数列、等比数列、数列 求和等基础知识, 考查综合运用数学知识进行归纳、 总结、 推理、论证等能力.

第 7 讲 │ 要点热点探究

S2n (n∈N*)是非 Sn 零常数,则称该数列为“和等比数列”. (1)若数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列, 试判断数列{bn}是否为“和等比数列”; (2)若数列{cn}是首项为 c1,公差为 d(d≠0)的等差数 列,且数列{cn}是“和等比数列”,试探究 d 与 c1 之间 的等量关系. 设 S n 为数列{an}的前 n 项和,若

第 7 讲 │ 要点热点探究

(1)因为数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数 - - 列,所以 2bn=2·n 1=22n 1,因此 bn=2n-1. 4 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, T2n 2 2 则 Tn=n ,T2n=4n ,所以 =4, Tn 因此数列{bn}为“和等比数列”

第 7 讲 │ 要点热点探究
R2n (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Rn,且 =k(k≠0), Rn n?n-1? 因为数列{cn}是等差数列,所以 Rn =nc1 + d,R2n 2 2n?2n-1? 2nc1+ d 2n?2n-1? R2n 2 =2nc1+ d,所以 = =k 对于 n∈ 2 Rn n?n-1? nc1+ d 2 N*都成立, 化简得,(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,
??k-4?d=0, ? 则? ? ?k-2??2c1-d?=0, ?

因为 d≠0,所以 k=4,d=2c1,

因此 d 与 c1 之间的等量关系为 d=2c1.

第 7 讲 │ 教师备用题
教师备用题
(选题理由:1 研究项的特征;2 通项公式的研究方法及 数列与集合) 1.已知整数按如下规律排成一列:(1,1)、(1,2)、(2,1)、 (1,3)、(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),??,则第 60 个数对是( ) A.(10,1) B.(2,10) C.(5,7) D.(7,5)

第 7 讲 │ 教师备用题

【解析】 C 根据题中规律,有(1,1)为第 1 项,(1,2) 为第 2 项,(1,3)为第 4 项,?,(1,11)为第 56 项,因此第 60 项为(5,7).

第 7 讲 │ 教师备用题

2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(a-1)Sn=a(an -1)(a>0)(n∈N*). (1)求证数列{an}是等比数列,并求 an; (2)已知集合 A={x|x2+a≤(a+1)x},问是否存在实数 a, 使得对于任意的 n∈N*,都有 Sn∈A?若存在,求出 a 的取 值范围;若不存在,说明理由.

第 7 讲 │ 教师备用题
【解答】 (1)当 n=1 时,∵(a-1)S1=a(a1-1), ∴a1=a(a>0). n≥2 时,由(a-1)Sn=a(an-1)(a>0), 得(a-1)Sn- 1=a(an- 1-1). an ∴(a-1)an=a(an-an- 1),变形得 =a(n≥2), an - 1 故{an}是以 a1=a 为首项,公比为 a 的等比数列,∴an=an. (2)①当 a=1 时,A={1},Sn=n,只有 n=1 时 Sn∈A, ∴a=1 不适合题意. ②a>1 时,A={x|1≤x≤a},S2=a+a2>a,∴S2?A, 即当 a>1 时,不存在满足条件的实数 a.

第 7 讲 │ 教师备用题
③当 0<a<1 时,A={x|a≤x≤1},
? a ? a n ? ? 而 Sn=a+a +?+a = (1-a )∈ ?a, , 1-a ? 1-a ? ?
2 n

?0<a<1, ? * 因此对任意的 n∈N 要使 Sn∈A,只需 ? a ? 1-a ≤1, ? 1 解得 0<a≤ . 2 ? 1? 综上得实数 a 的范围是 ?0, ?. 2? ?

第 7 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an ,Sn 共五个量 中知道其中任意三个, 就可以求出其他两个. 解这类问题时, 一般是转化为首项 a1 和公差 d(公比 q)这两个基本量的有关 运算. 2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻 体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应 有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件, 有时需要进行适当变形.

第 7 讲 │ 规律技巧提炼

3.巧用性质、减少运算量在等差、等比数列的计算中 非常重要,但用“基本量法”要树立“目标意识”,“需要 什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注 意问题的目标,往往能取得与巧用性质解题相同的效果. 4.求解等差(比)数列的综合问题,一是熟练掌握有关 等差、等比数列的基本知识和方法;二是应仔细审题,理清 思路;三是学会把一个较复杂的问题分解为几个小问题求 解.

第8讲│数列的通项公式及数列求和

第8讲

数列的通项公式及 数列求和

第8讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第 8 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究

?

探究点一

数列求和问题

例 1 [2010· 山东卷] 已知等差数列{an}满足:a3 =7, a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*), 求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 a3=7,a5+a7=26,所以有
?a +2d=7, ? 1 ? ?2a1+10d=26, ?

解得 a1=3,d=2, 所以 an=3+2(n-1)=2n+1; n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2

第 8 讲 │ 要点热点探究
1 1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 2 = = a n-1 ?2n+1? 2-1 1 ? 1 1 1 ?1 ? ? · = ·- ?n n+1 ?, 4 n?n+1? 4 ? ? 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? 1- 所以 Tn= · 2 +2- 3+?+ n- 4? n+1? ? ? ? 1? n ?1- 1 ? = · = , 4? n+1? 4?n+1? ? ? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1?
【点评】 本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式 的应用、裂项法求数列的和.熟练数列的基础知识是解答好 本类题目的关键.

第 8 讲 │ 要点热点探究

已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5, S15=225. (1)求数列{an}的通项 an; 2 an +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn . (2)设 bn=

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,由 ?a1+2d=5, ?a =1, ? ? 1 题意,得 ? 解得 ? 15×14 ?d=2, ? ?15a1+ 2 d=225, ? ∴an=2n-1. an 1 2 +2n=2·n+2n, (2)bn= 4 1 ∴Tn =b1 +b2 +?+bn = (4+42 +?+4n)+2(1+2+? 2 4n+ 1-4 2 n 2 2 2 +n)= +n +n= · +n +n- . 4 6 3 3

第 8 讲 │ 要点热点探究

例 2 设数列{an}满足:a1 +2a2 +3a3+?+nan =2n(n∈ N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=n2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)∵a1+2a2+3a3+?+nan=2n①, - ∴n≥2 时,a1+2a2+3a3+?+(n-1)an- 1=2n 1②, 2n- 1 ①-②得,nan=2n- 1,an= (n≥2). n 在①中,令 n=1 得 a1=2, ?2?n=1?, ? n- 1 ∴an= ?2 ? n ?n≥2?. ?

第 8 讲 │ 要点热点探究
?2?n=1?, ? (2)∵bn= ? n- 1 ?n· ?n≥2?, ? 2

则当 n=1 时,S1=2.

∴当 n≥2 时,Sn=2+2×2+3×22+?+n×2n- 1, - 则 2Sn=4+2×22+3×23+?+(n-1)·n 1+n·n, 2 2 相减得 Sn=n·n-(2+22+23+?+2n- 1) 2 =(n-1)2n+2(n≥2). 又 S1=2,∴Sn=(n-1)·n+2(n∈N*). 2

【点评】 本题在求数列前 n 项和时,用错位相减法 求.在本题中,需要注意的是,求出 n≥2 时的 Sn 后,要 验证 S1=2 是否适合 Sn.

第 8 讲 │ 要点热点探究

已知数列{an}是等差数列,a2 =6,a5=18;数 1 列{bn}的前 n 项和是 Tn,且 Tn+ bn=1. 2 (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)记 cn=an·n,求{cn}的前 n 项和 Sn . b

第 8 讲 │ 要点热点探究

【解答】 (1)设{an}的公差为 d, 则 a2=a1+d,a5=a1+4d. ∵a2=6,a5=18,
?a +d=6, ? 1 ∴? ?a1+4d=18, ?

∴a1=2,d=4.

∴an=2+4(n-1)=4n-2.

第 8 讲 │ 要点热点探究
1 (2)证明:当 n=1 时,b1=T1,由 T1+ b1=1,得 b1 2 2 = . 3 1 1 当 n≥2 时,∵Tn=1- bn,Tn- 1=1- bn- 1, 2 2 1 1 ∴Tn-Tn- 1= (bn- 1-bn),即 bn= (bn- 1-bn). 2 2 1 ∴bn= bn- 1. 3 2 1 ∴ bn 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

第 8 讲 │ 要点热点探究
?1 ? n 2 ?1 ?n- 1 ? ? (3)由(2)可知:bn= · ? =2· ? . 3 ?3? ?3? ?1 ?n ?1 ?n ? ∴cn=an·n=(4n-2)· ? ? =(8n-4)· ? . b 2· ?3 ? ?3 ? ?1 ? ?1 ? 2 ∴Sn =c1 +c2 +?+cn - 1 +cn =4× ? ? +12× ? ? +?+ ?3? ?3? ?1 ? n- 1 ?1 ? n (8n-12)× ? ? +(8n-4)× ? ? . ?3? ?3? ?1 ? 2 ?1 ? 3 ?1 ? n 1 ∴ Sn =4× ? ? +12× ? ? +?+(8n-12)× ? ? +(8n- 3 ?3 ? ?3? ?3 ? ?1 ? n+ 1 4)× ? ? , ?3?

第 8 讲 │ 要点热点探究
?1 ? 2 ?1 ?3 ?1 ? n 2 1 Sn=4× +8× ? ? +8× ? ? +?+8× ? ? -(8n- 3 3 ?3? ?3 ? ?3? ?1 ? n+ 1 4)× ? ? ?3? ?1 ?n- 2 ? ?1 ? 2 ? ?1- ? ? ? ? ? · ?1 ? n+ 1 4 ?3 ? ? ?3? ? = +8× -(8n-4)× ? ? 3 1 ?3? 1- 3 ?1 ? - ?1 ? + 8 n 1 = -4× ? ? -(8n-4)× ? ?n 1. 3 ?3? ?3? ?1 ? ? ∴Sn=4-4(n+1)· ?n. ?3?

第 8 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点二 数列与不等式的综合问题

例 3 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已 知 2a2=a1+a3,数列{ Sn}是公差为 d 的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式(用 n,d 表示); (2)设 c 为实数, 对满足 m+n=3k 且 m≠n 的任意正 整数 m,n,k,不等式 S m+Sn>cSk 都成立.求证:c 的 9 最大值为 . 2

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)由题意知, d>0, Sn= S1+(n-1)d= a1+(n-1)d, 2a2=a1+a3?3a2=S3?3(S2-S1)=S3, 3[( a1+d)2-a1]2=( a1+2d)2, 化简,得:a1-2 a1· d+d2=0, a1=d,a1=d2, Sn=d+(n-1)d=nd,Sn=n2d2, 当 n≥2 时,an =Sn -Sn - 1 =n2d2 -(n-1)2d2 =(2n- 1)d2,适合 n=1 情形. 故 an=(2n-1)d2.

第 8 讲 │ 要点热点探究
(2)( 方 法 一 )S m + Sn>cSk ? m2d2 + n2 d2>c·2 d2 ? m2 + k m2+n2 n2 >c·2,c< k 恒成立. 2 k m2+n2 又 m+n=3k 且 m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2 ? k2 9 9 9 > ,故 c≤ ,即 c 的最大值为 . 2 2 2 (方法二)由 a1=d 及 Sn= a1 +(n-1)d,得 d>0,Sn= n2d2. 于是,对满足题设的 m,n,k,m≠n,有 Sm+Sn=(m2 ?m+n? 2 2 9 2 2 9 9 2 2 +n )d > d = d k = Sk. 所以 c 的最大值 cmax≥ . 2 2 2 2

第 8 讲 │ 要点热点探究
9 3 另一方面,任取实数 a> .设 k 为偶数,令 m= k+1, 2 2 3 n= k-1,则 m,n,k 符合条件,且 Sm+Sn=(m2+n2)d2 2 3 1 2 2 23 2 2 = d k+ 1 + k- 1 = d (9k + 4) . 于是 ,只要 9k2 + 2 2 2 2 1 2 2 4<2ak ,即当 k> 时,Sm+Sn< d · 2=aSk . 2ak 2 2a-9 9 9 所以满足条件的 c≤ ,从而 cmax≤ . 2 2 9 因此 c 的最大值为 . 2

第 8 讲 │ 要点热点探究

【点评】 本小题主要考查等差数列的通项、求和、 最值问题以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析 及论证的能力.

第 8 讲 │ 要点热点探究

已知数列{an}满足 Sn+Sn- 1=ta 2 (t>0,n≥2),且 a1 n =0,n≥2 时,an >0.其中 Sn 是数列 an 的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 * (2)若对于 n≥2, n∈N , 不等式 + +?+ <2 a2a3 a3a4 anan+ 1 恒成立,求 t 的取值范围.

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】
?S +S - =ta2 ;?n≥2??1? ? n n 1 n ? (1)依题意, ? Sn- 1+Sn- 2=ta2 - 1.?2? n ?



(1)-(2)得 an+an- 1=t(a 2 -a 2 - 1)(n≥3),由已知 an +an- n n 1 ≠0,故 an-an- 1= (n≥3),由 a1=0,S2+S1 =ta2,得 a2 1 2 t 1 2 =ta2,∴a2=0(舍)或 a2= . t 1 1 即数列{an}从第二项开始是以首项为 ,公差为 的等差 t t n-1 1-1 数列,所以 an= (n≥2).又当 n=1 时,a1= =0. t t n-1 所以 an= (n∈N*). t

第 8 讲 │ 要点热点探究
1 1 1 t2 t2 (2)设 Tn = + +?+ = + + a2 a3 a3 a 4 anan+ 1 1×2 2×3 ? t2 t2 1? 2 +?+ =t ?1- ?,要使 Tn<2,对于 n≥2, n? 3×4 ?n-1?×n ? ? 1? 2 * 2 n ∈ N 恒 成 立 , 只 要 Tn = t ?1- ? <t ≤2 成 立 , 所 以 n? ? 0<t≤ 2.

第 8 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点三 数列与函数、方程的综合问题

例 4 已知等差数列{an}的公差大于 0,且 a3,a5 是方 程 x2-14x+45=0 的两根,数列{bn}的前 n 项的和为 Sn, 1 且 Sn=1- bn. 2 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)记 cn=an·n,求证:cn+1≤cn. b

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)∵a3,a5 是方程 x2-14x+45=0 的两根, 且数列{an}的公差 d>0. a5-a3 ∴a3=5,a5=9,公差 d= =2. 5-3 ∴an=a5+(n-5)d=2n-1. 1 2 又当 n=1 时,有 b1=S1=1- b1, ∴b1 = . 2 3 1 当 n≥2 时,有 bn=Sn-Sn- 1= (bn- 1-bn), 2 bn 1 2 1 ∴ = (n≥2). ∴数列{bn}是等比数列,b1= ,q= , 3 3 bn- 1 3 2 n- 1 ∴bn=b1q = n. 3

第 8 讲 │ 要点热点探究
2?2n-1? 2?2n+1? (2)由(1)知 cn=anbn= ,cn+1= , n n+ 1 3 3 2?2n+1? 2?2n-1? 8?1-n? ∴cn+ 1-cn= - = n+ 1 ≤0, 3n 3n+ 1 3 ∴cn+ 1≤cn.

【点评】 本题将方程、数列、不等式的证明有机地结 合在一起,综合考查数列的通项公式、等比数列的判断、 不等式的证明等基础知识以及分析解决问题能力.

第 8 讲 │ 要点热点探究

1 已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1. 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 (2)设 bn=log3(1-Sn+ 1),求适合方程 + +?+ b1b2 b2b3 1 25 = 的 n 的值. bnbn+ 1 51

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)当 n=1 时,a1=S1, 1 2 由 S1+ a1=1,得 a1= . 2 3 1 1 当 n≥2 时,∵Sn=1- an,Sn- 1=1- an-1, 2 2 1 1 ∴Sn-Sn- 1= (an- 1-an),即 an= (an- 1-an), 2 2 1 ∴an= an- 1. 3 2 1 ∴{an}是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 ?1 ?n 2 ?1 ?n- 1 ? ? 故 an= · ? =2· ? (n∈N*). 3 ?3? ?3 ?

第 8 讲 │ 要点热点探究
?1 ?n 1 (2)1-Sn= an= ? ? , 2 ?3 ? ?1 ? + bn=log3(1-Sn+ 1)=log3 ? ?n 1=-n-1, ?3?

1 1 1 1 = = - . bnbn+ 1 ?n+1??n+2? n+1 n+2 ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 1 ∴ + +?+ =? - ?+? - ?+?+ b1b2 b2b3 bnbn+ 1 ?2 3 ? ?3 4 ?
? 1 1 ? 1 1 ? ? - ?n+1 n+2 ?=2 - n+2 . ? ?

1 1 25 又∵ - = ,解得 n=100. 2 n+2 51

第 8 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点四 数列应用题

例 5 [2010· 湖北卷] 已知某地今年初拥有居民住房的总面 积为 a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关 部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房, 同时 也拆除面积为 b(单位:m2)的旧住房. (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表 达式; (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了 30%, 则每年拆除的旧住房面积 b 是多少?(计 算时取 1.15=1.6)

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)第 1 年末的住房面积 11 a· -b=1.1a-b(m2). 10 ? 11 ? 11 ?11 ?2 ? 11 ? ? 第 2 年末的住房面积 ?a· -b ?· -b=a· ? -b?1+ ?= 10 ? ? 10 ? 10 ?10 ? ? 1.21a-2.1b(m2). ?11 ? 2 ? ?11 ?3 11 ?11 ? ? (2)第 3 年末的住房面积 a· ? -b?1+ ? -b=a· ? - 10 ?10 ?10 ? ? ?10 ? ? 11 ?11 ?2? b?1+ 10 + ?10 ? ?; ? ? ? ? ?11 ? 11 11 2 11 3 4 ? 第 4 年末的住房面积 a· ? -b1+ + + ; 10 10 10 ?10 ?

第 8 讲 │ 要点热点探究
第 5 年末的住房面积
?11 ?5 11 ?11 ?2 11 3 11 4 ? a· ? -b1+ +? ? + + 10 ?10 ? 10 10 ?10 ?

1-1.15 =1.15a- b=1.6a-6b. 1-1.1 a 依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得 b= , 20 a 2 所以每年拆除的旧房面积为 (m ). 20 【点评】 本小题以当代社会关注热点“住房问题”为载 体,以数列为模型,主要考查阅读材料、提取信息、建立数 学模型的能力,同时考查运用所学知识分析和解决实际问题 的能力.

第 8 讲 │ 要点热点探究

某市去年 11 份曾发生流感,据统计,11 月 1 日 该市新的流感病毒感染者有 20 人,此后,每天的新感染 者平均比前一天的新感染者增加 50 人,由于该市医疗部 门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每 天的新感染者平均比前一天的新感染者减少 30 人,到 11 月 30 日止, 该市在这 30 日内感染该病毒的患者总共 8670 人,问 11 月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多? 并求这一天的新患者人数.

第 8 讲 │ 要点热点探究
【解答】 设第 n 天新患者人数最多,则从 n+1 天起该市医疗部 门采取措施,于是,前 n 天流感病毒感染者总人数,构成一个首项 n ?n-1 ? ? ? 为 20, 公差为 50 的等差数列的 n 项和, n=20n+ S ×50=25n2 2 -5n1≤n≤30,n∈N,而后 30-n 天的流感病毒感染者总人数, 构成一个首项为 20+(n-1)×50-30=50n-60,公差为 30,项数 ?30-n??29-n? 为 30-n 的等差数列的和,Tn=(30-n)(50n-60)+ 2 ×(- 30)= - 65n2 + 2445n- 14850.依 题 设 构 建 方程 有 , Sn + Tn = 8670,∴25n2 -5n+(-65n2 +2445n-14850)=8670,化简,n2 - 61n+588=0,∴n=12 或 n=49(舍),第 12 天的新的患者人数为 20+(12-1)· 50=570 人.故 11 月 12 日,该市感染此病毒的新患者 人数最多,新患者人数为 570 人.
? ?

第 8 讲 │ 教师备用题
教师备用题
(选题理由:1.分段函数型数列;2、3.递推数列) 1. 如果数列{a n }满足: 首项
?2an,n为奇数, ? a1=1, n+ 1= ? a ?an+2,n为偶数, ?

那么下列说法正确的是( D ) A.该数列的奇数项 a1 ,a3,a5,?成等比数列,偶数项 a2, a4,a6,?成等差数列 B.该数列的奇数项 a1,a3,a5,?成等差数列,偶数项 a2, a4,a6,?成等比数列 C.该数列的奇数项 a1,a3,a5,?分别加 4 后构成一个公比 为 2 的等比数列 D.该数列的偶数项 a2,a4,a6,?分别加 4 后构成一个公比 为 2 的等比数列

第 8 讲 │ 教师备用题
2.设函数 f(x)在定义域 D 上满足 且当 x、y∈D
?1 ? f ? ?=-1,f(x)≠0, ?2?

? x+y ? ? 时,f(x)+f(y)=f ? ?1+xy ? . ? ?

1 2xn 若数列{xn}中,x1= ,xn+ 1= (xn∈D,n∈N*),则 2 1+x2 n 数列{f(xn)}的通项公式为( ) A.f(xn)=-2n+1 - B.f(xn)=-2n 1 - C.f(xn)m=-3n 1 D.f(xn)=3n+ 1

第 8 讲 │ 教师备用题

? 2x ? ? 【解析】 B 令 x=y 得 2f(x)=f ? 再令 x=xn, 2? , ?1+x ? ? ?1 ? 得 f(xn+ 1)=2f(xn),因此{f(xn)}是以 f(x1)=f ? ?= ?2 ?

-1 为首项,2 为公比的等比数列,选 B.

第 8 讲 │ 教师备用题
? n+1 1? 3.在数列{an}中,a1=1,an+ 1= ?1+ ?an+ n . n? 2 ?

an (1)设 bn= ,求数列{bn}的通项公式; n (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

an + 1 an 1 【解答】 (1)由已知有 = + n ,∴bn+ 1-bn n+1 n 2 1 = n. 2 利用累差迭加即可求出数列{bn}的通项公式: 1 bn=2- n- 1 (n∈N*). 2

第 8 讲 │ 教师备用题
(2)由(1)知 an=2n-
n- 1 ,

n

2

? k ? n ? 2k- k- 1?= ∴Sn= ? 2 ? k= 1 ? ? k= 1

?

n

?

(2k)- ?
k= 1

n

k 2k
-1

.

而 ? (2k)=n(n+1), k= 1 又∑
n k= 1

n

2

k- 1是一个典型的错位相减

k

法模型,易得 ?
k= 1

n

n+2 n+2 k- 1=4- n- 1 ,∴Sn=n(n+1)+ n- 1 -4. 2 2 2 k

第 8 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.数列求和的常见方法: (1)公式法求和: n?a1+an? 常用的公式有:等差数列前 n 项和公式 Sn= =na1 2 n?n-1? + d; 2 a1-anq a1?1-qn? 等比数列前 n 项和公式 Sn= = (q≠1); 1-q 1-q 1 1 +2 +?+n = n(n+1)(2n+1), 6 1 2 3 3 3 1 +2 +?+n = n (n+1). 4
2 2 2

第 8 讲 │ 规律技巧提炼
(2)倒序相加:将一个数列倒过来排序,它与原数列相加时, 若有公因式可提,并且剩余的项的和易于求得,则这样的数列可 用倒序相加求和. (3)错位相减法:一般可解决形如一个等差与一个等比对应 项相乘所得数列求和. (4)裂项相消:把数列和式中的各项分别拆开后,消去一部 1 分项从而求和的方法, 它适用于通项为 的前 n 项和求和问 an·n+ 1 a 题.其中{an}为公差不为零的等差数列. (5)分组求和:如果一个数列虽然既不是等差数列也不是等 比数列,但它是由等差数列与等比数列的和的形式组成,则可进 行拆分,分别利用基本数列求和公式求.

第 8 讲 │ 规律技巧提炼

2.解答数列与函数、方程的综合问题要善于综合运 用函数思想、方程思想、化归转化思想等数学思想方法分 析解决. 3.解答数列与不等式综合题,要善于把问题等价转 化或通过适当放缩来求解.


高三数学第二轮专题复习:立体几何(学生版)

高三数学二轮专题复习:立体几何(学生版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...2011 22 2012 22 2013 22 2014 17 2015 22 第1节 考纲要求 空间几何体 (...

2011-2012学年度下学期高三二轮复习_图文

2011-2012学年度下学期高三二轮复习_数学_高中教育_教育专区。2011-2012学年度下学期高三二轮复习 高分网 www.gaofen.com 2011—2012 学年度下学期高三二轮复习 ...

二轮复习2011-2012圆锥曲线专题作业模板

二轮复习2011-2012圆锥曲线专题作业模板_高三数学_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线...驾考新题抢先版80份文档 家装材料选购攻略 高端水龙头贵在哪儿 橱柜行业多“猫...

2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---概率专题(教...

2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---概率专题(教师版全套)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。您的下载就是对我们的最大支持! ! 概率【学法导航】 高考...

2011届高三数学二轮专题复习教案――数列

2011高三数学二轮专题复习教案2011高三数学二轮专题复习教案隐藏>> 2011高三数学 二轮专题 复习教案 高中生家园| 考啥! www.oksha.com 你的分享,大家共享...

(北师大版教案)2011年高考数学二轮考点专题突破:不等式...

(北师大版教案)2011年高考数学二轮考点专题突破:不等式(北师大版教案)2011年高考数学二轮考点专题突破:不等式隐藏>> 高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com/...

2011届高三数学二轮专题复习教案――三角函数

www.oksha.com 你的分享,大家共享 2011高三数学二轮专题复习教案――三角函数 届高三数学二轮专题复习教案―― ――三角函数珠海市第四中学 邱金龙一、本章...

2011年高考数学第二轮专题复习不等式教案

2011年高考数学第二轮专题复习不等式教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2011年高考数学第二轮专题复习 2009 届高三数学二轮专题复习教案――不等式 一、本章...

2011高三第二轮复习精品资料《三角函数》

2011高三二轮复习精品资料《三角函数》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。分题型、例题、变式训练题等,有此资料,《三角函数》复习不愁。...

2011年高考数学二轮考点专题(七) 数学思想方法突破检测

2011年高考数学二轮考点专题(七) 数学思想方法突破检测_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2011年高考数学二轮考点专题(七) 数学思想方法...

更多相关标签