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高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题(教师、学生)


一、知识回顾
(一)空间几何体的结构 1. 多面体与旋转体:多面体 棱 顶点. 旋转体 轴. 2. 棱柱:直棱柱 斜棱柱 正棱柱 棱柱的性质:①两底面是对应边平行的全等多边形;②侧面、对角面都是平行四边形;③侧棱平行且相等;④平行 于底面的截面是与底面全等的多边形。 3. 棱锥:棱锥的底面或底 顶点 侧棱 正棱柱 斜高 (1)棱锥的性质:①侧面、对角面都是三角形;②平行

于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方. (2)正棱锥的性质:①正棱锥各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高,斜高和斜高在底面上的 射影组成一个直角三角形,正棱锥的高,侧棱,侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与 底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。 4. 圆柱与圆锥:圆柱的轴 5. 棱台与圆台:统称为台体 (1)棱台的性质:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形;侧棱的延长线相 交于一点. (2)圆台的性质:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一点;母线长都相等. 6. 球:球体 球的半径 球的直径. 球心 7. 简单组合体:由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体. (二)空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影 平行投影 正投影 2.三视图的画法:长对正、高平齐、宽相等。 3.直观图:斜二测画法,直观图中斜坐标系 x ' o ' y ' ,两轴夹角为 45 ? ;平行于 x 轴长度不变,平行于 y 轴长度减半。 (三)空间几何体的表面积和体积 1.柱体、锥体、台体表面积求法:利用展开图 2.柱体、锥体、台体表面积体积公式,球体的表面积体积公式: 几何体 棱柱 表面积相关公式 体积公式 圆柱的底面 圆柱的侧面 圆柱侧面的母线

S全 ? S侧 ? 2S底, 其中S侧 ? l侧棱长 c直截面周长
S全 ? S侧 ? S底
S全 ? S侧 ? S上底 ? S下底

V ? S底 h高

棱锥

1 V ? S底 h高 3
1 V ? (S '? S ' S ? S )h 3

棱台

圆柱

S全 ? 2? r 2 ? 2? rh
(r:底面半径,h:高)

V ? ? r 2h

圆锥

S全 ? ? r 2 ? ? rl
(r:底面半径,l:母线长)

1 V ? ? r 2h 3
1 V ? ? (r '2 ? r ' r ? r 2 )h 3

圆台

S全 ? ? (r '2 ? r 2 ? r ' l ? rl )
(r:下底半径,r’:上底半径,l:母线长)

球体

S球面 ? 4? R2

4 V球 ? ? R3 3

[基础训练 A 组] 一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

)

主视图

左视图 ) D. 4 3

俯视图

2.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A.

3

B. 2 3

C. 3 3

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( ) A. 25? B. 50? C. 125? D.都不对 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( ) A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3
0

5.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 120 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是(



9 ? A. 2

7 ? B. 2

5 ? C. 2

3 ? D. 2


6. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面, 且侧棱长为 5 , 它的对角线的长分别是 9 和 15 , 则这个棱柱的侧面积是 (

A. 130 B. 140 C. 150 D. 160 二、填空题 1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 侧棱。

________个顶点,顶点最少的一个棱台有

________条

2.若三个球的表面积之比是 1: 2 : 3 ,则它们的体积之比是_____________。 3.正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是上底面 ABCD 中心,若正方体的棱长为 a , O ? AB1D1 的体积为_____________。 则三棱锥

1 B1 的 中 心 , 则 四 边 形 4 . 如 图 , E , F 分 别 为 正 方 体 的 面 ADD1 A1 、 面 B C C BFD1 E 在该正方体的面上的射影可能是____________。

5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个 长方体的对 角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15 ,则它的体积为___________. 三、解答题 1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的底面直径为 12 M ,高 4 M , 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 M (高 不变) ;二是高度增加 4 M (底面直径不变)。 (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3) 哪个方案更经济些? 2.将圆心角为 120 ,面积为 3? 的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积
0

综合型训练
一、选择题
1. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 积是( A. )
0

,腰和上底均为1 的等腰梯形,那么原平面图形的面

2? 2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2


D.

1? 2

2. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8

E
3. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是( A. )

F C B

8? cm2

B.

12? cm2

C.

16? cm2

D.

20? cm2

D A
)

4. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 , 圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面的半径为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 5. 棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( A. 1 : 7 B. 2 : 7 C. 7 : 1 9 D. 5 : 1 6

6. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF // AB , EF ? 的距离为 2 ,则该多面体的体积为( )

3 ,且 EF 与平面 ABCD 2

A.

9 2

B.

5

C.

6

D.

15 2

二、填空题
1. 圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为
0

____________. 2.

R t? A B 中, C AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________.

3. 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体 4. 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4, 5 , 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个 端点,其最短路程是______________. 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________.

图(1)

图(2)

6. 若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_______________. 三、解答题 1. 有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它的深度为多 少 cm ? 2. 已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长.

[基础训练 A 组] 一、选择题 1. A 从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台 2.A 3.B 因为四个面是全等的正三角形,则 S表面积 ? 4S底面积 ? 4 ? 长方体的对角线是球的直径,

3 ? 3 4

l ? 32 ? 42 ? 52 ? 5 2, 2 R ? 5 2, R ?
4.D

5 2 , S ? 4? R 2 ? 50? 2

正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是 a

5.D 6.D

a 3a a ? 2r内切球,r内切球 ? , 3a ? 2r外接球,r外接球 ? , r :r ? 1:3 2 2 内切球 外接球 1 3 V ? V大圆锥 ? V小圆锥 ? ? r 2 (1 ? 1.5 ? 1) ? ? 3 2 2 设底面边长是 a ,底面的两条对角线分别为 l1 , l2 ,而 l12 ? 152 ? 52 , l2 ? 92 ? 52 ,
2 而 l12 ? l2 ? 4a2 , 即 152 ? 52 ? 92 ? 52 ? 4a2 , a ? 8, S侧面积 ? ch ? 4 ? 8 ? 5 ? 160

二、填空题 1. 5, 4, 3 符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台 2. 1: 2 2 : 3 3 3.

r1 : r2 : r3 ? 1: 2 : 3, r 31 : r23 : r33 ? 13 : ( 2)3 : ( 3)3 ? 1: 2 2 :3 3

1 3 a 6

画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 AC 1 的交点是对角线的三等分点,

3 1 1 3 3 1 3 a,V ? Sh ? ? ? 2a 2 ? ? a 3 3 3 4 3 6 或:三棱锥 O ? AB1D1 也可以看成三棱锥 A ? OB1D1 ,显然它的高为 AO ,等腰三角形 OB1D1 为底面。
三棱锥 O ? AB1D1 的高 h ? 4. 平行四边形或线段 5. 6 设 ab ? 2, bc ? 3, ac ? 6, 则 abc ? 6, c ? 3, a ? 2, c ? 1

15

l ? 3 ? 2 ?1 ? 6 2 设 ab ? 3, bc ? 5, ac ? 15 则 (abc) ? 225,V ? abc ? 15

三、解答题 1.解: (1)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,则仓库的体积

1 1 256 ? 16 ? V1 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? (M 3 ) 3 3 3 ?2? 如果按方案二,仓库的高变成 8M ,则仓库的体积 1 1 288 ? 12 ? V2 ? Sh ? ? ? ? ? ? ? 8 ? ? (M 3 ) 3 3 3 ?2? (2)如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 M ,半径为 8M .
棱锥的母线长为 l ? 82 ? 42 ? 4 5 则仓库的表面积 S1 ? ? ? 8? 4 5 ? 32 5? (M 2 ) 如果按方案二,仓库的高变成 8M . 棱锥的母线长为 l ? 82 ? 62 ? 10 则仓库的表面积
2

2

S2 ? ? ? 6 ?10 ? 60? (M 2 ) (3) V2 ? V1 , S2 ? S1 ?方案二比方案一更加经济 2. 解:设扇形的半径和圆锥的母线都为 l ,圆锥的半径为 r ,则 120 2 2? ? l ? 3? , l ? 3 ; ? 3 ? 2? r , r ? 1 ; 360 3 S表面积 ? S侧面 ? S底面 ? ? rl ? ? r 2 ? 4? ,

1 1 2 2 V ? Sh ? ? ? ?12 ? 2 2 ? ? 3 3 3

参考答案
一、选择题 1. A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ?

1 (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 2

2. A

2? r ? ? R, r ?

R 3R 1 3 ,h ? ,V ? ? r 2 h ? ? R3 2 2 3 24

3. B

正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 ? 2R ,

R ? 3, S ? 4? R2 ? 12?
4. A

S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7
中截面的面积为 4 个单位,

5. C

V1 1 ? 2 ? 4 7 ? ? V2 4 ? 6 ? 9 19

6. D

过点 E , F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,

1 3 1 3 15 V ? 2 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 ? ? 3 4 2 2 2
二、填空题 1. 2.

6? 16?

画出圆台,则 r 1 ? 1, r 2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r 1 ?r 2 )l ? 6? 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,

1 1 V ? ? r 2 h ? ? ? 42 ? 3 ? 16? 3 3
3.

?

设V ?

4 3 3V , ? R ? a3 , a ? 3 V , R ? 3 3 4?

S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36?V 2 ? 3 216V 2
4.

74

从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74
5. (1) 4 (2)圆锥 6.

2 3? a 3?
2

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,

而 S圆锥表 ? ? r ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r ? a, r ?
2

a 3? a 2 3? a ,即直径为 ? 3? 3? 3?
3? 1 9 0 0 0 0 ? 75 3600 ? 2400 ? 1600

三、解答题 1. 解: V ?

1 3V ( S ? SS ' ? S ' )h, h ? 3 S ? SS ' ? S '
2 2

h?

解: ? (2 ? 5)l ? ? (2 ? 5 ), l ? 2.

29 7

第一章 空间几何体 [综合训练 B 组] 一、选择题 1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积 是( ) A. 2 ?
0

2

B.

1? 2 2

C.

2? 2 2


D. 1 ? 2

2.半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为(

A.

3 ? R3 24

B.

3 ? R3 8

C.

5 ? R3 24

D.

5 ? R3 8


3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm ,则球的表面积是( A. 8? cm B. 12? cm C. 16? cm D. 20? cm 4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3 , 圆台的侧面积为 84? ,则圆台较小底面的半径为( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 5.棱台上、下底面面积之比为 1 : 9 ,则棱台的中截面分棱台成 两部分的体积之比是( ) A. 1 : 7 B. 2 : 7 C. 7 :19 D. 5 :16 6.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,
2 2 2 2

EF // AB , EF ?
为( )

3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 , 则该多面体的体积 2

E D A
0

F C B

A.

9 2

B. 5

C. 6

D.

15 2

二、填空题

1.圆台的较小底面半径为 1 ,母线长为 2 ,一条母线和底面的一条半径有交点且成 60 , 则圆台的侧面积为____________。 2. Rt ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 4, AC ? 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。 3.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 ___ S正方体 4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3, 4, 5 ,从长方体的一条对角线的一个 端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。 5. 图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图,此几何体共由________块木块堆成; 图(2)中的三视图表示的实物为_____________。

图(1)

图(2)

6.若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的直径为_______________。 三、解答题 1.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L ,假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm ,求它的深度为多少 cm ? 2.已知圆台的上下底面半径分别是 2, 5 ,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.

[提高训练 C 组] 一、选择题 1.下图是由哪个平面图形旋转得到的(



A B C D 2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为( ) A. 1: 2 : 3 B. 1: 3 : 5 C. 1: 2 : 4 D. 1: 3 : 9 3.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的 体积是( ) A.

2 3

B.

7 6

C.

4 5

D.

5 6


4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? (

A. 1 : 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 5.如果两个球的体积之比为 8 : 27 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 : 27 B. 2 : 3 C. 4 : 9 D. 2 : 9 6 . 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 及 其 尺 寸 如 下 ( 单 位 cm ), 则 该 几 何 体 的 表 面 积 及 体 积 为 :
5

6

A. 24? cm , 12? cm 二、填空题
2

2

B. 15? cm , 12? cm
2

2

C. 24? cm , 36? cm
2

2

D. 以上都不正确

1. 若圆锥的表面积是 15? ,侧面展开图的圆心角是 60 ,则圆锥的体积是_______。 2.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 .
0

3.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 4.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米则此球的半径为_________ 厘米. 5.已知棱台的上下底面面积分别为 4,16 ,高为 3 ,则该棱台的体积为___________。 三、解答题 1. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱, 求圆柱的表面积

0 0 2.如图,在四边形 ABCD 中, ?DAB ? 90 , ?ADC ? 135 , AB ? 5 , CD ? 2 2 , AD ? 2 ,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D

1 (1 ? 2 ? 1) ? 2 ? 2 ? 2 2 R 3R 1 3 2? r ? ? R, r ? , h ? ,V ? ? r 2 h ? ? R3 2 2 3 24 正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 3 ? 2R ,
恢复后的原图形为一直角梯形 S ?

R ? 3, S ? 4? R2 ? 12? S侧面积 ? ? (r ? 3r )l ? 84? , r ? 7 V 1? 2 ? 4 7 中截面的面积为 4 个单位, 1 ? ? V2 4 ? 6 ? 9 19 过点 E , F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱, 1 3 1 3 15 V ? 2 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 ? ? 3 4 2 2 2

二、填空题 1. 6? 画出圆台,则 r 1 ? 1, r 2 ? 2, l ? 2, S圆台侧面 ? ? (r 1 ?r 2 )l ? 6? 2. 16? 旋转一周所成的几何体是以 BC 为半径,以 AB 为高的圆锥,

3. ?

1 1 V ? ? r 2 h ? ? ? 42 ? 3 ? 16? 3 3 4 3 3V 3 设V ? ? R ? a , a ? 3 V , R ? 3 , 3 4?

S正 ? 6a 2 ? 6 3 V 2 ? 3 216V 2 , S球 ? 4? R 2 ? 3 36?V 2 ? 3 216V 2
4. 74 从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

42 ? (3 ? 5) 2 ? 80, 或 52 ? (3 ? 4) 2 ? 74
5.(1) 4 (2)圆锥 6.

2 3? a 3?

设圆锥的底面的半径为 r ,圆锥的母线为 l ,则由 ? l ? 2? r 得 l ? 2r ,
2
2

而 S圆锥表 ? ? r ? ? r ? 2r ? a ,即 3? r ? a, r ? 三、解答题

a 3? a 2 3? a ,即直径为 ? 3? 3? 3?

1 3V ( S ? SS ' ? S ' )h, h ? 3 S ? SS ' ? S ' 3 ? 190000 h? ? 75 3600 ? 2400 ? 1600 29 2 2 2. 解: ? (2 ? 5)l ? ? (2 ? 5 ), l ? 7
1. 解: V ? 空间几何体 [提高训练 C 组] 一、选择题 1.A 几何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥, r 1 :r 2 :r 3 ? 1: 2 : 3, l1 : l2 : l3 ? 1: 2 : 3,

3.D 4.D 5.C 6.A

S1 : S2 : S3 ? 1: 4 : 9, S1 : (S2 ? S1 ) : (S3 ? S2 ) ? 1: 3: 5 1 1 1 1 1 5 V正方体 ? 8V三棱锥 ? 1 ? 8 ? ? ? ? ? ? 3 2 2 2 2 6 1 V1 : V2 ? ( Sh) : ( Sh) ? 3 :1 3 V1 : V2 ? 8: 27, r1 : r2 ? 2 : 3, S1 : S2 ? 4 : 9
此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4, S表面 ? ? ? 3 ? ? ? 3? 5 ? 24?
2

1 V ? ? ? 32 ? 4 ? 12? 3
二、填空题 1.

25 3 ? 7

设圆锥的底面半径为 r ,母线为 l ,则 2? r ?

1 ? l ,得 l ? 6r , S ? ? r 2 ? ? r ? 6r ? 7? r 2 ? 15? ,得 3

15 15 ,圆锥的高 h ? 35 ? 7 7 1 1 15 15 25 3 V ? ? r 2 h ? ? ? ? 35 ? ? ? 3 3 7 7 7 10 Q 2 2 2 2. Q S全 ? 2? R ? ? R ? 3? R ? Q, R ? 9 3? 2 2 2 10 10 V ? ? R3 ? ? R 2 ? h, h ? R, S ? 2? R 2 ? 2? R ? R ? ? R 2 ? Q 3 3 3 3 9 3. 8 r2 ? 2r1 ,V2 ? 8V1 4 2 3 4. 12 V ? Sh ? ? r h ? ? R , R ? 3 64 ? 27 ? 12 3 1 1 ' ' 5. 28 V ? ( S ? SS ? S )h ? ? (4 ? 4 ?16 ? 16) ? 3 ? 28 3 3 r?
三、解答题 1.解:圆锥的高 h ? 42 ? 22 ? 2 3 ,圆柱的底面半径 r ? 1 ,

S表面 ? 2S底面 ? S侧面 ? 2? ? ? ? 3 ? (2 ? 3)?    2. 解: S表面 ? S圆台底面 ? S圆台侧面 ? S圆锥侧面

? ? ? 52 ? ? ? (2 ? 5) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2 ? 25( 2 ? 1)? V ? V圆台 ?V圆锥
1 1 ? ? (r12 ? r1r2 ? r2 2 )h ? ? r 2 h 3 3 148 ? ? 3


高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题(教师、学生)

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高一数学必修2_第一章空间几何体知识点

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数学必修二第一章空间几何体知识点与习题

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高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题

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