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2.3.1直线与平面垂直的判定

时间:2017-12-11


2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

大桥的桥柱与水面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例

旗杆与地面垂直

引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A

α

B

直线垂直于平面内的任意一条直线. 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.

旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直.

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

判断:
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( ? )
l
C

?

B

2. a ? ? , b ? ? ? a ? b
定义

(? )

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线

线线垂直

线面垂直

直线与平面垂直 除定义外,如何判定一条直线与平面垂直呢? A
A

?
B D C

B

D

C

由此你可以得出什么结论?

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
线线垂直 判定定理

l?a l ?b

l

b

?

A

a

线面垂直

练习: 1. a ? ? , b // ?

则a与b的位置关系是( B ) B. a ? b D.a与b垂直异面

A.a//b C.a与b垂直相交

2.若直线l不垂直于平面? ,那么在平面内( C )
A.不存在与l垂直的直线 B.只存在一条与l垂直的直线 C.存在无数条直线与l垂直 D.以上都不对

练习3: 已知△ABC,直线

l⊥AB,

l⊥AC,求证 l⊥BC。
证明:设△ABC所在平面 为α, ∵ l⊥AB, l⊥AC,
l

且AB?α,AC ?α, AB∩AC=A ∴l⊥ α
又∵BC?α, ∴l⊥BC

A
α B

C

例1.已知:a∥b,a⊥

?,

求证:b⊥ ?

证明:在平面?内作两条 相交直线n,m
n

王新敞
奎屯

新疆

结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面,那么另一条也垂直于这个平面

练习:
1.如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面 垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时,A?C ? B?D? ?
A' B' C' D'

A
D B

C

练习题
2.如图, 在三棱锥V ? ABC中,VA ? VC , AB ? BC 求证VB ? AC
V

解:取AC中点D,连接VD,BD.
因为VA=VC,AB=BC, 所以VD ? AC, BD ? AC. A 又因为VD与BD交于点D, 所以AC ? 平面VDB,所以VB ? AC. B

.

D

C

例2.如图,四面体P-ABC中 PA ? 平面ABC BC ? AC (1)问此图中有多少个直角三角形?

P

F
E

A C

B

(2)过A作AE ? PC于E, 过A作AF ? PB于F,连接EF 求证:PB ? 平面AEF

提示:AE与BC有何关系?与PB又有何关系?

练习题(P67)
过ΔABC所在平面α外一 点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接 PA,PB,PC.
外 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心 . 中 点. 2).若PA = PB = PC,∠C = 90 ,则O是AB边的 __
0

*3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是Δ ABC
垂 的_____心 .

1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定定理 m ?? ? ? n ?? ? ? (1) m ? n ? B ? ? l ? ? l?m ? ? 判定定理 ? l?n ?

3、性质

线线垂直

线面垂直

定 义

(2)a ? ? , b ? ? ? a ? b

a?? b , a ? ? ( 3)

?

b ??


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