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高三数学(理)暑期作业2

时间:2016-07-16


高三数学(理)暑期作业 2(集合与函数)
第Ⅰ卷 一.选择题:
?2 1.若集合 M ? { y y ? x } , P ? { y y ?

x ? 1} ,那么 M ? P ? ( )
C . (0,??)
D . [0,??)

A . (1,??)

B . [1,??)<

br />
2.若函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? lg( x ? 1) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称,则 f ( x) ? ( )

A . 1 ? 10x
3.函数 f ( x) ?

B . 10 x ? 1

C . 10? x ? 1

D . 10? x ? 1

1 的最大值是( ) 2 ? x(1 ? x)
B.

7 4 D. 4 7 1 ?1 4. 已知函数 y ? f ( x) 的图象过点 (1,0) , 则 y ? f ( x ? 1) 的反函数的图象一定过点 ( ) 2
A.
C.

9 4

4 9

A . (1,2)

B . (2,1)

C . (0,2)

D . (2,0)

5.设集合 M ? {a, b, c} , N ? {0,1} ,映射 f : M ? N 满足 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则映射

f : M ? N 的个数为( )
A .1
6.若 ? ? (0,

B .2

C .3

D .4

?
2

) ,则函数 y ? logsin ? (1 ? x) ? 2 的解集是( )
B .x ? (cos2 ? ,1)

A .x ? (?1, sin 2 ? )

1 C .x ? (cos 2 ? , ) 2

D .x ? (?1, cos2 ? )

7.设偶函数 f ( x) ? loga x ? b 在 (??,0) 上递增,则 f (a ? 1) 与 f (b ? 2) 的大小关系是

A . f (a ? 1) ? f (b ? 2)
C . f (a ? 1) ? f (b ? 2)

B . f (a ? 1) ? f (b ? 2)
D . f (a ? 1) ? f (b ? 2)

?x 8.函数 y ? ? x ? b 与 y ? b ( b ? 0 且 b ? 0 )的图象可能是( )

1

y 1 o
A

y 1 x
B

y 1

y 1 o
D

o

x

o
C

x

x

x 9.已知函数 f ( x ) ? ( ) ,则函数 g ( x) 的图象与 f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则函

1 2

数 g ( x 2 ) 是( )

A .奇函数在 (0,??) 上单调递减
C .奇函数在 (??,0) 上单调递减

B .偶函数在 (0,??) 上单调递增
D .偶函数在 (??,0) 上单调递增

10.已知函数 f ( x) , g ( x) , ( x ? R) 设不等式 f ( x) ? g ( x) ? a (a ? 0) 的解集是 M ,不 等式 f ( x) ? g ( x) ? a (a ? 0) 的解集是 N ,则解集 M 与 N 的关系是( )

A.M ? N

B .M ? N

C .N ? M
?

D.M ? N
?

11.若函数 f ( x) ? ax3 ? b log2 ( x ?

( a , b 为常 x 2 ? 1) ? 2 在 (??,0) 上有最小值-5,

数) ,则函数 f ( x) 在 (0,??) 上( )

A .有最大值 5
12.函数 f ( x) ? 1 ?

B .有最小值 5

C .有最大值 3

D .有最大值 9

2 的定义域为 A, g ( x) ? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)],(a ? 1) 的定义 x ?1


域为 B,且 B ? A ,则实数 a 的取值范围是(

A .(??,?2]
二.填空题:

1 B . [ ,1) 2

1 C .(??,?2] ? [ ,1] 2
第Ⅱ卷

D .(??,?2] ? [ ,1)

1 2

13.设奇函数 f ( x) 的定义域 [?5,5] ,若当

y o 2 5 x

x ? [0,5] 时, f ( x) 的图象如图,则不等式
f ( x) ? 0 的解是_________
14.函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x) 是偶函数,又

f (0) ? 2003, g ( x) ? f ( x ? 1) 为奇函数则 f (2004 ) ? __________
2

15.某地区预计 2004 年的前 x 个月内对某种商品的需求总量 f ( x) (万件)与月份 x 的近似 关系式是 f ( x) ?

1 x( x ? 1)(19 ? x), x ? N * ,1 ? x ? 12, ,则 2004 年的第 x 月的需求 75

量 g ( x) (万件)与月份 x 的函数关系式是___________ 16.已知 f ( x) 是定义在 (??,??) 上的函数, m, n ? (??,??) ,请给出能使命题: “若 m ? n ? 0, 则 f (m) ? f (n) ? f (?m) ? f (?n) ”成立的一个充分条件是________

三、解答题:本大题共 6 小题共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.设 f (loga x) ?

a( x 2 ? 1) x(a 2 ? 1)

(1)求 f ( x) 的定义域 (2)在 y ? f ( x) 的图象上是否存在两个不同的点,使过这两点的直线与 x 轴平行?证 明你的结论。

2 18.已知 A 、 B 是 ?ABC 的两个内角,且 tan A 、 tan B 是方程 x ? m x ? m ? 1 ? 0 的两

个实根,求 m 的取值范围。

19.某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水池 又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨, ( 0 ? t ? 24 ) (Ⅰ)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (Ⅱ)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小时内,有几小时出现供水紧张现象。

3

20 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 对 任 意 实 数 m 、 n , 满 足 f ( ) ? 2 , 且

1 2

f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,当 x ? ?
(1)求 f ( ? ) 的值;

1 时, f ( x) ? 0 2

1 2

(2)求证: f ( x) 在定义域 R 上是单调递增函数。

21 . 已 知 定 义 在 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , f ( x) 有 最 小 正 周 期 2 , 且 当 x ? (0,1) 时 ,

2x f ( x) ? x 4 ?1
1)求函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的解析式; 2)判断 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性; 3)当 ? 取何值时,方程 f ( x) ? ? 在 [ ?1,1] 上有实数解?

22.设函数 f ( x) ? ?a x 2 ? 1 ? x ? a , x ? (0,1] , a ? R 。 Ⅰ)若 f ( x) 在 (0,1] 上是增函数,求 a 的取值范围; Ⅱ)求 f ( x) 在 (0,1] 上的最大值。

?

4

高三数学(理)暑期作业 2 答案
一.选择题 CBDAC BDCDA 二.填空题 13. (2,5] ? (?2,0) ; DD

) ? 2003; 14. f (2004

15. g ( x ) ?

1 x(13 ? x) 25

16.函数 f ( x) 在 (??,??) 上单调递增(或 f ( x) ? ax ? b , (a ? 0) 等) 三.解答题 17. (12?)
t 解: (1)令 t ? loga x ,则 x ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,t ? R ,

a (a t ? a ? t ) , t ? R a ?1 a 即 f ( x) = 2 (a x ? a ? x ) , x ? R a ?1
故 f (t ) =
2

即 f ( x) 的定义域是实数集。 (2)任取 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2
x x ?x ?x 若 a ? 1 ,则 a 1 ? a 2 , a 1 ? a 2

即?a 又
2

? x1

? ?a ? x2 , a x1 ? a ? x1 ? a x2 ? a ? x2

a ?0 a ?1 a a (a x2 ? a ? x2 ) (a x1 ? a ? x1 ) < 2 ? 2 a ?1 a ?1
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 若 0 ? a ? 1 ,易得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 综上可知,当 a ? 0 且 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上为增函数,则在 y ? f ( x) 的图象上不存在两 个不同点,使过这两点的直线与 x 轴平行。 18. 依题意有, tan A + tan B = ? m , tan A tan B = m ? 1

? tan(A ? B) =

tan A ? tan B ?m = =1 1 ? tan A tan B 1 ? (m ? 1)

? 0 ? A ? B ? ? ,? A ? B ?

?
4

。从而 0 ? A ?

?
4

,0 ? B ?

?
4

5

故 tan A ? (0,1) , tan B ? (0,1) 即方程 x ? m x ? m ? 1 ? 0 的两个实根均在 (0,1) 内
2

设 f ( x) ? x 2 ? mx ? m ? 1 则函数 f ( x) 与 x 轴有两个交点,且交点在 (0,1) 内; 又函数 f ( x) 的图象是开口向上的抛物线,且对称轴方程为 x ? ? 故其图象满足

m , 2

m ? ? f (? 2 ) ? 0 ? ? f (0) ? 0 ? ? f (1) ? 0 ?0 ? ? m ? 1 ? 2 ?

? m2 ? m ?1 ? 0 ?? 4 ? m ?1 ? 0 即? ? 2m ? 2 ? 0 ? ? ?2? m?0

解之,得 ? 1 ? m ? 2 ? 2 2 故所求 m 的范围是 (?1,2 ? 2 2 ] 19. 解:Ⅰ.设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨,则 y ? 400? 60t ? 120 6t ; 令 6t = x ;则 x ? 6t ,即 y ? 400? 10x 2 ? 120x ? 10( x ? 6) 2 ? 40 ;
2

? 当 x ? 6 ,即 t ? 6 时, ymin ? 40 ,即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有
40 吨。 Ⅱ.依题意 400? 10x ? 120x ? 80 ,得 x ? 12x ? 32 ? 0 ;
2 2

解得, 4 ? x ? 8 ,即 4 ? 即由 20.

8 32 ; 6t ? 8 , ? t ? 3 3

32 8 ? ? 8 ,所以每天约有 8 小时供水紧张。 3 3

解: (1)令 m ? n ? 0 ,得 f (0) ? 2 f (0) ? 1 ,? f (0) ? 1 又 f ( ) ? 2 ,令 m ?

1 2

1 1 1 1 1 1 , n ? ? ,得 f ( ? ) ? f ( ) ? f (? ) ? 1 2 2 2 2 2 2

1 ? f (? ) ? 0 2
(2)设 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? 0 , x 2 ? x1 ?

1 1 ?? 2 2

6

1 时, f ( x) ? 0 2 1 ? f ( x 2 ? x1 ? ) ? 0 2
当x ??

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [(x2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 )
= f ( x2 ? x1 ) + f ( x1 ) -1- f ( x1 ) = f ( x2 ? x1 ) -1 = f ( x2 ? x1 ) + f ( ? ) -1 = f ( x 2 ? x1 ? ) ? 0 因此, f ( x) 是增函数。 21. 解:1)当 x ? (?1,0) 时, ? x ? (0,1)

1 2

1 2

? f ( x) 是奇函数

? f ( x ) ? ? f ( ? x) ? ?

2?x 2x ? ? 4?x ? 1 4x ?1

由 f (0) ? f (?0) ? ? f (0) 得 f (0) ? 0 又 f (1) ? f (?2 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) 得 f (1) ? f (?1) ? 0

? 2x ? x ? 4 ?x1 ? 2 ? f ( x ) ? ?? x ? 4 ?1 ? ? ? 0

x ? (0,1) x ? (?1,0) x ? {?1,0,1}
2x 4x ?1

2)当 x ? (0,1) 时, f ( x) ?

任取 x1 , x2 ? (0,1) 且 x1 ? x 2 ,

f ( x2 ) - f ( x1 )

7



2 x2 2 x1 (2 x2 ? 2 x1 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) - = 4 x2 ? 1 4 x1 ? 1 (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x) 在 (0,1) 上是减函数。
3) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数, f ( x) 在 (?1,0) 上是减函数

2 1 x ? (0,1) 时, f ( x) ? ( , ) 5 2 1 2 x ? (?1,0) 时, f ( x) ? (? ,? ) 2 5

x ? {?1,0,1} , f ( x) ? {0}
1 2 2 1 ? 当 ? ? (? ,? ) ? {0} ? ( , ) 时 2 5 5 2
关于 x 的方程 f ( x) = ? 在 [ ?1,1] 上有实数根。 22. 解:当 x ? (0,1] 时, f ?( x) ? ?a

x x ?1
2

?1 x x ?1
2

Ⅰ)要使 f ( x) 在 x ? (0,1] 上是增函数, f ?( x) ? ?a

? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立。

即a ?

x2 ?1 1 ? 1 ? 2 在 (0,1] 上恒成立。 x x
1 ? 在 (0,1] 上的最小值为 2 ,又 a ? R 2 x

而 1?

?0? a ? 2
Ⅱ)ⅰ) 0 ? a ? ⅱ) a ?

2 时, f ( x) 在 (0,1] 上是增函数, [ f ( x)]max ? f (1) ? (1 ? 2 )a ? 1

2 时, f ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? (0,1] a ?1
2

?0? x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 ; ? x ? 1, f ?( x) ? 0 2 a ?1 a ?1
2

? [ f ( x)]max ? f (

1 ) ? a ? a2 ?1 a ?1
2

8


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