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坐标系与参数方程(文科基础) 学生版

时间:2015-12-25



再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。

吴老师致

吴老师 2015 一对一辅导教案
学生姓名 教学课题 年级 高三 上课时间 学科 数学

坐标系与参数方程(4-4)

教学目标

1. 掌握定义及应用公式

教学重点 与难点

结合考点特点,灵活应用

1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内任
? ?x=ρcos θ, 意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则? ?y=ρsin θ, ?

ρ =x +y , ? ? ? y ?tan θ=x?x≠0?. ?

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2

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2.圆的极坐标方程
2 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ0 -r2=0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos θ; π? (3)当圆心位于 M? ?a,2?,半径为 a:ρ=2asin θ. 3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π-θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π? (3)直线过 M? ?b,2?且平行于极轴:ρsin θ=b. 4.几种常见曲线的参数方程 (1)圆

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再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。
? ?x=a+rcos α, 以 O′(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程是? 其中 α 是参数. ?y=b+rsin α, ? ?x=rcos α, ? 当圆心在(0,0)时,方程为? 其中 α 是参数. ? ?y=rsin α,

吴老师致

(2)椭圆
? ?x=acos φ, x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是参数. a b ?y=bsin φ, ? ? ?x=bcos φ, x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? 其中 φ 是参数. b a ?y=asin φ, ?

(3)直线
?x=x0+tcos α, ? 经过点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程是? 其中 t 是参数. ? ?y=y0+tsin α,

? ?x=4+5cos t, 1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为? ?y=5+5sin t ?

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

2.(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知 π π 2, ?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ- ?=a,且点 A 在直线 l 上. 点 A 的极坐标为? 4 ? ? ? 4? (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;
? ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数),试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ?y=sin α ?

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极坐标方程及其应用

π? [例 1] (1)(2013· 北京高考改编)在极坐标系中,求点? ?2,6?到直线 ρsin θ=2 的距离.

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再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。
(2)已知点 P(1+cos α,sin α),参数 α∈[0,π],点 Q 在曲线 C:ρ= 9

吴老师致

上. π θ+ ? 2sin? ? 4?

①求点 P 的轨迹方程和曲线 C 的直角坐标方程;②求点 P 与点 Q 之间距离的最小值.

?x=1+tcos α, ?x=cos θ, ? ? [例 2] (2013· 郑州模拟)已知直线 C1:? (t 为参数),曲线 C2:? (θ 为参数). ? ? ?y=tsin α ?y=sin θ

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出 它是什么曲线?

——————————规律· 总结——————————————————————— 在解答参数方程的有关问题时常用的方法 (1)将参数方程化为普通方程,再利用相关知识解决,注意消参后 x,y 的取值范围. (2)观察参数方程有什么几何意义,利用参数的几何意义解题.

?x=4-2t, ? x2 2.已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距 4 ?y=t-2 ?

离的最大值.

[例 3] (2013· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直 π? 线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ,ρcos? ?θ-4?=2 2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; x=t +a, ? ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为? b 3 (t∈R 为参数), y= t +1 ? ? 2 求 a,b 的值.
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吴老师致

?x= 3cos α, 3.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数),以原点 O 为极点,以 x 轴正半 ?y=sin α
π? 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin? ?θ+4?=4 2. (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

一、解答题
1 1 .已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t 2 ( t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ? cos2? ? 1 ? y ? 3t

(1)求曲线 C 的普通方程;(2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.?

2.(本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程
x ? 2?t 设直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点, Ox 轴为极轴,选择 ? y ? 2 t ?

相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为ρ =

8 cos ? . sin 2 ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 AB .

2010—2015 年全国高考理科数学(I)真题 (2010 全)(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

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再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。

吴老师致

已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数),C2 ? ( ? 为参数), ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(2011 全)(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy

? x ? 2cos ? 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ? ???? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2(Ⅰ)求 C2 的方程

(2012 全)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针 次序排列,点 A 的极坐标为 (2,

?
3

) (1)求点 A, B, C, D 的直角坐标;

(2013 全)
23.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? y ? 5 ? 5sin t

曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? )。

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再长的路,一步步也能走完,再短的路,不迈开双脚也无法到达。

吴老师致

(2014 全)
23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? 1 ,直线 l : ? 已知曲线 C : ? ( t 为参数).(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(2015 全文)
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中。直线 C1 : 的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I) 求 C1 , C2 的极坐标方程; (II) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点, x 轴
2 2

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ?C2 MN 的面积

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