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求椭圆离心率基础练习题

时间:2015-03-10


x2 y2 1.已知 A 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一个动点,直线 AB、AC 分别过焦点 a b F1、F2,且与椭圆交于 B、C 两点,若当 AC 垂直于 x 轴时,恰好有|AF1|∶|AF2|
=3∶1,求该椭圆的离心率. 解:设|AF2|=m,则|AF1|=3m, ∴2a=|AF1|+|AF2|=4m. 又在 Rt△AF1F2 中, |F

1F2|= |AF1|2-|AF2|2=2 2m. 2c |F1F2| 2 2m 2 ∴e= = = = . 2a 2a 4m 2 2.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则 椭圆的离心率为( ) 2 3 A. B. 2 2 C. 5 3 D. 6 3

解析:选 A.如图所示,四边形 B1F2B2F1 为正方形, 则△B2OF2 为等腰直角三角形, c 2 ∴ = . a 2

3.(2010 年高考广东卷)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差 数列,则该椭圆的离心率是( ) 4 3 A. B. 5 5 2 1 C. D. 5 5 解析:选 B.由题意知 2b=a+c,又 b2=a2-c2, ∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac. ∴3a2-2ac-5c2=0.∴5c2+2ac-3a2=0. 3 ∴5e2+2e-3=0.∴e= 或 e=-1(舍去). 5 4.若椭圆的短轴长为 6,焦点到长轴的一个端点的最近距离是 1,则椭圆的 离心率为________.

解析:依题意,得 b=3,a-c=1. 又 a2=b2+c2,解得 a=5,c=4, c 4 ∴椭圆的离心率为 e= = . a 5 4 答案: 5 5.如图所示,F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于 2 右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3

解:法一:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a、b、c.则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), 2 M 点的坐标为(c, b), 3 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中, |F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 2 2 2 即 4c + b =|MF1| . 9 4 2 4c2+ b2+ b=2a, 9 3 2 2 整理得 3c =3a -2ab. b2 4 2 2 2 又 c =a -b ,所以 3b=2a.所以 2= . a 9 2 2 2 c a -b 2 ∴e = 2= 2 而|MF1|+|MF2|=

a a 2 b 5 =1- 2= , a 9
∴e=

5 . 3 法二:设椭圆方程为

x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2

2 则 M(c, b). 3

c2 4b2 代入椭圆方程,得 2+ 2=1, a 9b 2 c 5 所以 2= , a 9 c 5 5 所以 = ,即 e= . a 3 3 2 2 x y 6.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上, a b
且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若→ AP=2→ PB,则椭圆的离心率是( 3 2 A. B. 2 2 1 1 C. D. 3 2 )

解析:选 D.如图,由于 BF⊥x 轴,故 xB=-c,yB = .设 P(0,t), ∵→ AP=2→ PB,

b a

2

b ? ? ∴(-a,t)=2?-c, -t?. a ? ? ∴a=2c, c 1 ∴ = . a 2
2


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