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北京昌平2013-2014学年上学期高三年级期末考试数学试卷(理科)

时间:2014-02-06


昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷(理 科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。
(1) 已知全集 U ? R ,集合 A ? {?1, 0,1} , B ? {x x ? 2 x ? 0}
2

2014.1

, 则 A∪

(CU B) ?

(A) {?1,0} (2) “ cos ? ?

(B) {?1, 0, 2}

(C) {0}

(D) {?1,1}

1 ? ”是“ ? ? ”的 3 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1 2

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(3) 给定函数① y ? 2 x ? 1 ,② y ? log 1 x ,③ y ? x ,④ y ? ( ) ,其中在区间 (0,1) 上
x

2

1 2

单调递增的函数的序号是---④

(A)② ③

(B)① ③

(C)① ④

(D)②

(4) 执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

开始

S ?0 k ?0
S?


2 3

是 输 出 结束

k ? k ?1
1 S?S? k (k ? 1)

? x ? y ? 1 ? 0, ? (5) 若实数 x, y 满足 ? x ? 2, 则 z ? y ? x 的最小值是 ? y ? 3, ?
(A) 1 (B) 5 (C) ?3 (D)

?5

(6) 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2
1 2 主视图 1 左视图

2 3 1 (D) 3
(C)

俯视图

(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1 , ? 2) 的夹 角为 ? ,则 ? 为锐角的概率是 (A)

5 36

(B)

1 6

(C)

7 36

(D)

2 9

2 ? x ? 0, ? x ? 1, (8)已知函数 f ( x) ? ? 在点 (1, 2) 处的切线与 f ( x) 的图象有三 2 ? ? ? x ? 4 x ? a, ?4 ? x ? 0

个公共点,则 a 的取值范围是 (A) [?8, ?4 ? 2 5) (C) ( ?4 ? 2 5,?8] (B) (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5) (D) (?4 ? 2 5,?? 8]

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 3 (9) 已知 ? 是第二象限的角, sin ? ? ,则 tan ? 的值为___________ . 5
uur

(10) 如图,在复平面内,复数 z 对应的向量为 OA ,则复数 z ? i =_______ .

a4 ? a6 ? (11) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a2 ?
(12)曲线 x ? 1, x ? 2, y ?

1, S 7 ? _____. 则 a4 ? _____ ,

1 , y ? 0 所围成的图形的面积等于___________ . x

(13) 在 ?ABC 中, AB ? 4, BC ? 5, BA ? AC ? 2 ,则 AC ? ________ . (14) 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、C , 其 中 A = {a1 , a2 ,L , an } , B = {b1 , b2 ,L , bn } , C = {c1 , c2 ,L , cn } , 若

uur uuu r

A、 B 、 C 中的元素满足条件: c1 < c2 < L < cn , ak + bk = ck , (k = 1,2,3,?, n) ,则
称 M 为“完并集合”. ①若 M = {1, x,3,4,5,6} 为“完并集合” ,则 x 的一个可能值为 可) .(写出一个即

②对于“完并集合” M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中,其 元素乘积最小的集合是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
(15)( 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

5? ? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 12 6

(16)( 13 分)为了调研某校高一新生的身高(单位:厘米)数据,按 10% 的比例

对 700 名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查,测得“身高”的频数分布 表如下表 1、表 2.
表 1:男生“身高”频数分布表 身高 频数

[160,165)
2

[165,170)
5

[170,175)
14

[175,180)
13

[180,185)
4

[185,190)
2

表 2:女生“身高”频数分布表 身高 频数

[150,155)
1

[155,160)
7

[160,165)
12

[165,170)
6

[170,175)
3

[175,180)
1

(Ⅰ)求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图; (Ⅱ)估计该校学生“身高”在 [165,180) 之间的概率; (Ⅲ)从样本中“身高”在 [180,190) 的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人“身高”在
频率/组距 0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010 0

[185,190)
之间的概率.

160 165 170 175 180 185 190

身高

P

D A B

C

(17)( 14 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,

PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC, ?BCD ? 90? .
(Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC ?说明理由.

(18)( 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(a, 0)(a ? 0) ,圆 C 的圆心在直线

y ? ?4 x 上,并且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3, ?2) .
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 M 满足 MA ? 2 MO ,求点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a ,使得 CM 的取值范围是 [1, 9] ,说明理由.

(19)( 13 分)已知函数 f ( x) ?

(2 ? m) x . x2 ? m

(Ⅰ)当 m ? 1时,求曲线 f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

1 2

1 2

(20)( 14 分)设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , a3 , L , an 为 n(n ? 2,3, 4,L ) 阶“期待数 列” :① a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 0 ,② a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 1 . (Ⅰ)若等比数列 {an } 为 2k (k ? N*) 阶“期待数列”,求公比 q ; (Ⅱ)若一个等差数列 {an } 既是 2k (k ? N*) 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项 公式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3, L , n) . (1)求证: S k ?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si }(i ? 1, 2,3,L , n) 能否为 n 阶 “期 2

(2)若存在 m ?{1, 2,3,L , n} , 使 Sm ?

待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科)参考答案及评分标准 2014.1

一、选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
题 号 答 案 (1) A (2) B (3) B (4) C (5) C (6) A (7) B (8) D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 3 (9) ? (10) 1 ? 2i (11)1 ; 7 4
(13) 5 ;

(12) ln 2

(14) 7 ( 9或11 ) (写出一个即可) ; {6,10,11,12}

(第一空 2 分,第二空 3 分)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.
(15)( 13 分)解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1
2

? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 2? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? ? . ???7 分 2 5? ? ? ? (Ⅱ)因为 x ? [? , ] ,所以 2 x ? ? [ ?? , ] . 12 6 6 6 ? 1 ? 所以 sin(2 x ? ) ? [?1, ] ,所以 2sin(2 x ? ) ? [?2,1] . 6 2 6 所以函数 f ( x) 的取值范围为 [?2,1] . ???13 分
(16)( 13 分)解:(Ⅰ)因为样本中男生人数是 40 ,由抽样比例是 10% 可得高一的男

生人数是 400 .男生的频率分布直方图如图所示.
频率 /组距 0.070 0.065 0.060 0.050 0.040 0.030 0.025 0.020 0.010 0

160 165 170 175 180 185 190

身高
???4 分

(Ⅱ)设 A 为事件“该校学生“身高”在 [165,180) 之间”. 由表 1 和表 2 知,样本中“身高”在 [165,180) 中人数是

5 ? 14 ? 13 ? 6 ? 3 ? 1 ? 42 ,样本的容量是 70 ,

所以样本中学生“身高”在 [165,180) 之间的频率是 f ? 由

42 3 ? . 70 5 3 估计学生“身高”在 [165,180) 之间的概率是 P( A) ? . ???8 分 5

(Ⅲ) 设 B 为事件“从样本中“身高”在 [180,190) 的男生中任选 2 人,至少有 1 人 “身高”在 [185,190) 之间”. 样本中“身高”在 [180,185) 之间的有 4 人,设其编号是 A1 , A2 , A3 , A4 ; 样本中“身高”在 [185,190) 间的男生有 2 人,设其编号为 a1 , a2 . 从中任取 2 人的结果总数是

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1a1 , A1a2 , A2 A3 , A2 A4 , A2 a1 , A2 a2 , A3 A4 , A3a1 , A3a2 , A4 a1 , A4 a2 , a1a2 .共 15 种.
至少有 1 人“身高”在 [185,190) 间的有 9 种, 因此,所求概率是 P( B) ?

9 3 ? 15 5

??13 分【用排列组合公式计算可酌情给分】

(17)( 14 分)证明:(Ⅰ)在四棱锥 P ? ABCD 中, 因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 因为 ?BCD ? 90? ,所以 BC ? CD 因为 PD ? DC ? D ,所以 BC ? 平面 PCD 因为 PC ? 平面 PCD ,所以 BC ? PC . ???4 分 (Ⅱ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 不妨设 AD ? 1 ,则 PD ? CD ? BC ? 2 . 则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(2, 2,0), C (0, 2,0), P(0,0, 2) . 所 以
z P

uur PA ? (

?

1

, ,
E D A x

0

uur uuu r PB ? (2, 2, ?2), PC ? (0, 2, ?2) .
设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) .

F

,

2

)

C B

y

uur ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PB ? 0, 所以 ? uuu .即 ? . r 2 y ? 2z ? 0 ? n ? PC ? 0 ? ? 则 x ? 0, z ? 1
所以 n ? (0,1,1) ,所以 cos ? PA, n ??

令 y ?1 ,

uur

?2 10 ?? 5 5? 2

所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

10 . 5

??9 分

(Ⅲ)(法一)当 E 为线段 PB 的中点时, AE ? 平面 PBC . 如图:分别取 PB, PC 的中点 E , F ,连结 AE, DF , EF .

1 BC . 2 1 因为 AD // BC, 且 AD ? BC ,所以 AD // EF , 且 AD ? EF 2 所以四边形 AEFD 是平行四边形. 所以 AE // DF 因为 PD ? CD ,所以三角形 PCD 是等腰三角形. 所以 DF ? PC .
所以 EF // BC ,且 EF ? 因为 BC ? 平面 PCD ,所以 DF ? BC . 因为 PC I BC ? C ,所以 DF ? 平面 PBC .所以 AE ? 平面 PBC 即在线段 PB 上存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC . (法二)设在线段 PB 上存在点 E ,当 PE ? ? PB(0 ? ? ? 1) 时, AE ? 平面 PBC . 设 E ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PE ? ( x0 , y0 , z0 ? 2) .所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (2, 2, ?2) 即 x0 ? 2? , y0 ? 2? , z0 ? ?2? ? 2 .所以 E (2?, 2?, ?2? ? 2) . 所以 AE ? (2? ? 1, 2? , ?2? ? 2) . 由(Ⅱ)可知平面 PBC 的法向量 n ? (0,1,1) . 若 AE ? 平面 PBC ,则 AE / / n .即 AE ? ? n .解得 ? ? 所以当 PE ?

uur

uur

uur

uuu r

uuu r

uuu r

uur

1 uur PB ,即 E 为 PB 中点时, AE ? 平面 PBC . 2

1 , ? ? 1. 2
???14 分

(18)( 13 分) 解:(Ⅰ)设所求圆的圆心坐标为 C (a, b) ,半径为 r 因为 圆心 C (a, b) 在直线 y ? ?4 x 上, 所以 b ? ?4a ,即圆心 C (a, ?4a) . 因为 圆 C 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3, ?2) , (法一) 所以 圆心 C (a, ?4a) 到直线 l 的距离 d ? PC .



a ? 4a ? 1 2

? (a ? 3) 2 ? (?4a ? 2) 2 .整理得: a 2 ? 2a ? 1 ? 0 .

解得: a ? 1 . (法二)

所以 PC 垂直于直线 l .所以 所以 C (1, ?4), r ? 2 2 .

4a ? 2 ? (?1) ? ?1 ,即 a ? 1 . 3? a

所以 所求圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 8 .
2 2

???4 分

2 2 2 2 (Ⅱ)设 M ( x, y ) .因为 MA ? 2 MO ,所以 ( x ? a ) ? y ? 2 x ? y

a 2 4a 2 2 理得 ( x ? ) ? y ? . 3 9
即点 M 的轨迹是以 D(?

a 2 , 0) 为圆心, r ? a 为半径的圆 D .???8 分 3 3

(Ⅲ)存在实数 a ,使得 CM 的取值范围是 [1, 9] . (1)当圆 D 与圆 C 外离时,依题意可得:

? CD ? r ? 9, ? ? CD ? 5, ? 即? ? ?r ? 4. ? ? CD ? r ? 1. ?
由 CD ? 5 解得 a ? 6或 ? 12 . 由 r ? 4 解得 a ? 6或 ? 6 . 所以 a ? 6 . (2)当圆 C 内含于圆 D 时,依题意可得:

?r ? CD ? 9, ? ? CD ? 4, ? 即? ? ?r ? 5. ? ?r ? CD ? 1. ?
由 CD ?

1 2 (1 ? a ) 2 ? 16 ? 4 ,解得 a ? ?3 .此时 r ? ?3 ? 2 ,与 r ? 5 矛盾. 3 3
???13 分

综上所述,存在实数 a ? 6 ,使得 CM 的取值范围是 [1, 9] . (19)( 13 分)解:(Ⅰ)当 m ? 1时, f ( x) ? 因为 f '( x ) ? 因为 f ( ) ?

x . x ?1
2

? x2 ? 1 1 12 ,所以 k ? f '( ) ? 2 2 ( x ? 1) 2 25

1 2

2 1 1 , 所以函数 f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线方程为 12 x ? 25 y ? 4 ? 0 5 2 2
(2 ? m)( x 2 ? m) ? (2 ? m) x ? 2 x (m ? 2)( x 2 ? m) ? ( x 2 ? m) 2 ( x 2 ? m) 2

?6 分

(Ⅱ) f '( x) ?

(1)当 m ? 0 时, f ( x) ?

2 2 . 因为 f '( x) ? ? 2 , x x

当 f '( x) ? 0 时, x ? 0, 或x ? 0 . 所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??,0),(0, ??) ,无单调增区间. (2)当 m ? 0 时, f ( x) 的定义域为 {x x ? ? ? m } . 当 f '( x) ? 0 时, x ? ? ?m或 ? ?m ? x ?

?m或x ? ?m ,

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?m ), (? ?m , ?m ),( ?m , ??) ,无 单调增区间. (3)当 m ? 0 时, f '( x) ? ① 当 0 ? m ? 2 时, 若 f '( x) ? 0 ,则 x ? ? m或x ? 若 f '( x) ? 0 ,则 ? m ? x ?

(m ? 2)( x ? m )( x ? m ) . ( x 2 ? m) 2

m,

m,

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? m ), ( m , ??) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (? m , m ) . ② 当 m ? 2 时, f ( x) ? 0 ,为常数函数,无单调区间. ③ 当 m ? 2 时, 若 f '( x) ? 0 ,则 ? m ? x ?

m, m,

若 f '( x) ? 0 ,则 x ? ? m或x ?

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (? m , m ) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? m ), ( m , ??) . 综上所述, 当 m ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (??,0),(0, ??) ,无单调增区间; 当 m ? 0 时, 函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? ?m ), (? ?m , ?m ),( ?m , ??) , 无单调增区间; 当 m ? 0 时, ① 当 0 ? m ? 2 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? m ), ( m , ??) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (? m , m ) ;

② 当 m ? 2 时, f ( x) ? 0 ,为常数函数,无单调区间; ③ 当 m ? 2 时,函数 f ( x) 的单调减区间为 (? m , m ) , 函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ? m ), ( m , ??) ???13 分

(20)( 14 分)

a1 (1 ? q 2 k ) 解: (Ⅰ) 若 q ? 1 ,则由① a1 ? a2 ? a3 ? L ? a2 k ? ? 0 得 q ? ?1 , 1? q
由②得 a1 ?

1 1 或 a1 ? ? . 2k 2k

若 q ? 1 ,由①得, a1 ? 2k ? 0 ,得 a1 ? 0 ,不可能. 综上所述 q ? ?1 . ???4 分

(Ⅱ)设等差数列 a1 , a2 , a3 ,L , a2 k (k ? 1) 的公差为 d (d ? 0) . 因为 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a2 k ? 0 ,所以 所以 a1 ? a2 k ? ak ? ak ?1 ? 0 . 因为 d ? 0 ,所以由 ak ? ak ?1 ? 0 得 ak ? 0, ak ?1 ? 0 由题中的①、②得

2k (a1 ? a2 k ) ?0. 2

1 a1 ? a2 ? a3 ? L ? ak ? ? , 2 1 ak ?1 ? ak ? 2 ? ak ?3 L ? a2 k ? , 2 1 两式相减得 k 2 ? d ? 1 , 即 d ? 2 . k k (k ? 1) 1 1 ? 2k 又 a1k ? . d ? ? ,得 a1 ? 2 2 2k 2 1 ? 2k 1 2n ? 2k ? 1 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? . ? (n ? 1) ? 2 ? 2 2k k 2k 2
(Ⅲ) 记 a1 , a2 , a3 , L , an 中非负项和为 A ,负项和为 B . 则 A ? B ? 0, A ? B ? 1 , 得 A ? (1) 因为 ?

???9 分

1 1 ,B ? ? . 2 2

1 1 ? B ? Sk ? A ? , 2 2 1 所以 S k ? . 2

(2) 若存在 m ?{1, 2,3,L , n} ,使 Sm ?

1 ,由前面的证明过程知: 2

a1 ? 0, a2 ? 0,L , am ? 0, am?1 ? 0, am? 2 ? 0,L , an ? 0 ,
且 am?1 ? am? 2 ? L ? an ? ?

1 . 2

记数列 {Si }(i ? 1, 2,3,L , n) 的前 k 项和为 Tk . 则由(1)知, Tk ? 因为 Sm ?

1 1 .所以 Tm ? S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sm ? 2 2

1 ,所以 S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sm?1 ? 0 . 2 1 所以 a1 ? a2 ? a3 ? L ? am?1 ? 0 , am ? . 2 1 又 am?1 ? am? 2 ? L ? an ? ? ,则 Sm?1 , Sm ? 2 , L , Sn ? 0 2
所以 S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sn ? S1 ? S 2 ? S3 ? L ? S n . 所以 S1 ? S2 ? S3 ? L ? Sn ? 0 与 S1 ? S 2 ? S3 ? L ? S n ? 1 不能同时成立. 所以对于有穷数列 a1 , a2 , a3 , L , an (n ? 2,3, 4,L ) , 若存在 m ?{1, 2,3,L , n} ,使 Sm ?

1 , 2

则数列 {Si }(i ? 1, 2,3,L , n) 不能为 n 阶“期待数列”. ???14 分

【各题若有其它解法,请酌情给分】


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