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2013年全国各地3高考试题分类汇编(三角函数)


2013 年全国各地高考试题汇编 (三角函数部分) 1.(本小题满分 12 分)(2013 湖北.理) 在 ?ABC 中,角 (1)求角

A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1 .

A 的大小;

(2)若 ?ABC 的面积

>S ? 5 3, b ? 5 求 sin B sin C 的值.

3. (本小题满分 12 分)(2013 陕西.理) 已知向量 a

1 ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 2

设函数

f ( x) ? a· b.

(1) 求

f ( x) 的最小正周期.
?? f ( x) 在 ? ?0, ? 上的最大值和最小值.
? 2?

(2) 求

5. (本小题满分 12 分)(2013 湖北.文) 在△

ABC 中,角 A , B ,C

对应的边分别是 a ,b ,c . 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C )

?1 .

(1)求角 (2)若△

A 的大小;

ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

6.(本小题满分 12 分)(2013 安徽.理)

已知函数

?? ? f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4? ?
1

(1)求

? 的值;
f ( x) 在区间 ?0, 2? 上的单调性。

(2)讨论

7.(本小题共 13 分)(2013 北京.文) 已知函数

1 f ( x) ? (2 cos 2 x ? 1) sin 2 x ? cos 4 x . 2

(1)求

f ( x) 的最小正周期及最大值;

(2)若

? ? ( ? , ?) ,且 f (? ) ? 2 ,求 ? 的值.
2
2

9. (本小题满分 12 分)(2013 江西.理) 在 ?ABC 中,角

A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0

(1) 求角 B 的大小;

10.(本小题满分 12 分)(2013 江西.文) 在 ?ABC 中,角

A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin A sin B ? sin B sin C ? cos 2 B ? 1 .

(1)

求证: a, b, c 成等差数列;

(2)

若C

?

2? 3

,求

a b

的值。

2

11.(本小题满分 12 分)(2013 四川.理) 在 ?ABC 中,角

A, B, C 的对边分别 a、b、c ,且

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 2 5 (1)求 cos A 的值; 2 cos 2

12(本小题满分 12 分)(2013 新课标Ⅱ.理)

?ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .
(1)求 B ; (2)若 b

? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值。

13.(2013 山东.理)设 ?ABC 的内角 (1)求 a , c 的值; (2)求 sin( A ? B) 的值.

A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6, b ? 2 , cos B ?

7 . 9

14.(2013 全国卷.文)设 ?ABC 的内角 (1)求角 B

A, B, C 的对边分别为 a, b, c,(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac

3

(2)若 sin

A sin C ?

3 ?1 ,求角 C 4

1、 解.(1)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) 去) 因为 0

? 1 得 2 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ? cos A ?

1 或 cos A ? ?2 (舍 2

? A??

所以

A?

?
3

(2)由 S 又b

1 1 3 3 ? bc sin A ? bc ? ? bc ? 5 3 ? bc ? 20 2 2 2 4

? 5 ? c ? 4 .由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bccocsA ? 25 ? 16 ? 20 ? 21 ? a ? 21
由正弦定理得 sin

B sin C ?

b c bc 20 3 5 sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? a a a 21 4 7

3、解.

1 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x 2

?
(1)

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

f ( x) 的最小正周期为 ? .
0? x?

6 ? 1 ) ? [? ,1] 由正弦函数的性质 sin(2 x ? 6 2
所以 x ?

(2)

?
2

??

?
6

? 2x ?

?

?

5? 6

1 ? ?? ? 0, 2 ? 时, f ( x) min ? ? ; f ( x) max ? 1. 2 ? ?

5、解(1) cos 2 A ? 3cos( B ? C )

? 1 ? 2cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0
1 或 cos A ? ?2 (舍) 2
4

? (2 cos A ? 1)(cos A ? 2) ? 0 ? cos A ?

A ? (0, ? ) ? A ?
由S

?
3

(1) 又b

1 1 3 3 ? bc sin A ? bc ? ? bc ? 5 3 ? bc ? 20 2 2 2 4

? 5知c ? 4.

由余弦定理得

a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 25 ?16 ? 20 ? 21
B sin C ? b c bc 20 3 5 sin A ? sin A ? 2 sin 2 A ? ? ? a a a 21 4 7

又由正弦定理得 sin

6、解(1)

f ( x) ? 4 cos ? x sin(? x ? ) ? 2 2 sin ? x cos ? x ? 2 2 cos 2 ? x 4
? 2 2 s i? nx (2 ? 4

?

? 2 (sin? 2x ? cos ?2 x ?)
因为

?

? )

2

f ( x) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0
2? ? ? ?? ? 1 2?

从而有

(2)由(1)知



?
4

f ( x) ? 2sin(2? x ? ) ? 2 若 0 ? x ? 4 2 ? 2x ?

?

?

,则

?
4

? 2x ?

?
4

?

?

2 ? ? 5? ? 2x ? ? 当 2 4 4
综上可知,

4

?

?

时,即 0

?x?

?

5? 4

时,即

?
8

8

时,

f ( x) 单调递增;
时,

?x?

?
2

f ( x) 单调递减;

f ( x) 在区间 [0, ] 上单调递增;在区间 [ , ] 上单调递减. 8 2 8
1 f ( x) ? (2cos 2 x ?1)sin 2 x ? cos 4 x 2

?

? ?

7、解(1)因为

1 2 ? ? cos 2 x sin 2 x ? cos 2 x ? sin(4 x ? ) 2 2 4
所以

f ( x) 的最小正周期为

? 2 ,最大值为 2 2

.

(2)

f (? ) ?

2 ? ? sin(4? ? ) ? 1 2 4
4

4 4 5? 9? ? 4? ? ? ?? ? . 4 2 16

? ? 9? 17? ? ? ( , ? ) ? 4? ? ? ( , )
?
2

5

9、解(1)由已知得

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0

即 sin

A sin B ? 3 sin A cos B ? 0

sin A ? 0,?sin B ? 3 cos B ? 0 cos B ? 0,? tan B ? 3
又0

? B ? ? ?B ?

?
3

10、解(1)由已知得 sin

A sin B ? sin B sin C ? 2sin 2 B

sin B ? 0 ? sin A ? sin C ? 2sin B
由正弦定理,有 a ? c

? 2b ,即 a, b, c 成等差数列.

(2)由 C

?

2? , c ? 2b ? a 及余弦定理得 3

a 3 (2b ? a) 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 5ab ? 3b 2 ? ? b 5 3 2 A? B cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 11、解(1)由 2 cos 2 5 3 得, [cos( A ? B ) ? 1]cos B ? sin( A ? B ) sin B ? cos B ? ? 5 3 即 cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B ) sin B ? ? 5 3 3 则 cos( A ? B ? B ) ? ? ? cos A ? ? 5 5
12、解(1)由已知及正弦定理得 sin 又

A ? sin B cos C ? sin C sin B …①

A ? ? ? ( B ? C ) ?sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ……② ? 0 , C ? (0, ? ) ?sin C ? 0

由①②得 sin C (sin B ? cos B)

B ? (0, ? ) ? B ?
?ABC 的面积 S ?

?
4

(2)

1 2 ac sin B ? ac 2 4

由已知及余弦定理得 4

? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
4

a 2 ? c 2 ? 2ac ? ac ?
因此 ?ABC 面积的最大值为

4 ? 2 2( 2 ? 1) 当且仅当 a ? c 等号成立. 2? 2

2 ?1.

6

13、解(1)由余弦定理 b 得b 又b
2

2

? a2 ? c2 ? 2ac cos B

? (a ? c)2 ? 2ac(1 ? cos B)

7 ? 2, a ? c ? 6, cos B ? ? ac ? 9 解得 a ? 3, c ? 3. 9

(2)在 ?ABC 中, sin

B ? 1 ? cos 2 B ? a sin B 2 2 ? b 3

4 2 9

由正弦定理得 sin

A?

? 1 a ? c,? A ? (0, ) ? cos A ? 1 ? sin 2 A ? 2 3
因此 sin( A ? B)

? sin A cos B ? cos A sin B ?

10 2 27

14、解(1)在 ?ABC 中,由

(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 得

b2 ? a2 ? c2 ? ac ………①
由余弦定理得

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ……②
由①②得 cos B

1 2? ? ? , B ? (0, ? ) ? B ? 2 3

(2)由(1)知 B

?

2? ? 3 ?1 ? A ? ? C ,由 sin A sin C ? 得 3 3 4

sin( ? C )sin C ? 3

?

3 ?1 1 ? ? 3 ?1 ? ? [cos ? cos( ? 2C )] ? 4 2 3 3 4

? 3 ? cos(2C ? ) ? 3 2
0?C ? ? 2C ?

?
3 ?

??

?
3

? 2C ?

?
3

?

?
3

?
3

?
6

?C ?

?
4

7


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