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2012届高三数学一轮复习课件:圆锥曲线综合问题(理)


? 重点难点 ? 重点:直线与圆锥曲线位置关系的判定, 弦长与距离的求法 ? 难点:直线与圆锥曲线位置关系的判定、 弦长与中点弦问题

? 知识归纳 ? 1.(1)直线与圆、椭圆的方程联立后,消 去一个未知数得到关于另一个未知数的一 元二次方程,可据判别式Δ来讨论交点个 数. 相 直线与圆锥曲线有两个 Δ>0 交 交点 相 直线与圆锥曲线有一个 Δ

=0 切 切点 相 直线与圆锥曲线无公共 Δ<0 离 点

? (2)直线与双曲线、抛物线的方程联立后, 消元得到一元二次方程可仿上讨论,但应 特别注意: ? 平行于抛物线的轴的直线与抛物线相交, 有且仅有一个交点. ? 平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有 且仅有一个交点,但也不是相切. ? 上述两种情形联立方程组消元后,二次项 系数为0,即只能得到一个一次方程.

2.直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1), P2(x2 ,y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k2 |x2 -x1|或|P1P2|= 1 1+k2|y2-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时,通常作如下 变 形 |x2 - x1| = ?x1+x2?2-4x1x2 , |y2 - y1| =

?y1+y2?2-4y1y2,使用韦达定理即可解决. (2)当斜率 k 不存在时,直线为 x=m 的形式,可直接 代入求出交点的纵坐标 y1、y2 得弦长|y1-y2|.

误区警示 1.如果在设直线方程时涉及斜率,要注意斜率不存 在的情形.为了避免讨论,过焦点 F(c,0)的直线,可设为 x=my+c.

?Ax+By+C=0 ? 2.解方程组? ?f?x,y?=0 ?

时,若消去 y,得到关

于 x 的方程 ax2+bx+c=0,这时要考虑 a=0 和 a≠0 两 种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况要考 虑全面,除 a≠0,Δ=0 外,当直线与双曲线的渐近线平 行时,只有一个交点;当直线与抛物线的对称轴平行时, 只有一个交点.

? 一、向量法 ? 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表 示,因此向量与解析几何保持着天然的联 系.通过向量的坐标可以把解析几何的很 多问题向量化,利用向量的共线、垂直、 夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问 题.

二、点差法 涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦 问题)时,常用根与系数的关系及点差法求解 点差法的一个基本步骤是:点 A(x1,y1),B(x2,y2)都 在圆锥曲线 f(x· y)=0 上,∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0,两 y2-y1 式相减 f(x1,y1)-f(x2,y2)=0,然后变形构造出 及 x1 x2-x1 +x2 和 y1+y2,再结合已知条件求解.

? 三、要重视解题过程中思想方法的提炼及 解题规律的总结 ? 1.方程思想

? 解析几何题大部分都以方程形式给定直线 和圆锥曲线,因此直线与圆锥曲线相交的 弦长问题常归纳为对方程解的讨论.利用 韦达定理进行整体处理,以简化解题运算 量.
? 2.函数思想

? 3.坐标法

? 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加
强坐标法的训练.

? 4.对称思想
? 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,所以 可使分散的条件相对集中,减少一些变量 和未知量,简化计算,提高解题速度,促 成问题的解决.

? 6.参数思想 ? 大多解析几何问题,在解题活动中可先引 入适当的参数(如斜率k,点的坐标,圆锥 曲线方程中的系数等),把所研究问题转 化为参数的函数或不等式、方程等来解 决.

? [例1] 抛物线y2=2px与直线ax+y-4= 0交于A、B两点,点A的坐标为(1,2),设 抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|等于 ( ) ? A.7 B. ? C.6 D.5 ? 分析:求|FA|+|FB|的值可利用焦半径求 解,∵|FA|+|FB|=xA+xB+p,∴需求p 的值和A、B两点横坐标的和,利用点A在 两曲线上可求p和a,两方程联立消去y,

? 解析:因为抛物线y2=2px与直线ax+y -4=0交于A、B两点,且点A的坐标为 (1,2),所以把(1,2)分别代入y2=2px和ax +y-4=0得p=2,a=2,所以抛物线方 程为y2=4x,直线方程为2x+y-4=0, 两方程联立解得点B坐标为(4,-4),则 |FA|+|FB|=xA+xB+p=1+4+2=7. ? 答案:A

? 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0) 处的切线. l2为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. ? (1)求直线l2的方程; ? (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的 面积.

解析:(1)y′=2x+1.∴l1 的斜率 k1=3 直线 l1 的方程为 y=3x-3. 设直线 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b, 2+b-2), b 则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b2-2. 1 2 因为 l1⊥l2,则有 2b+1=- ,b=- . 3 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9 即 3x+9y+22=0

? 1 ?y=3x-3 ?x=6, ? (2)解方程组? 1 22 ,得? ?y=-3x- 9 ?y=-5. ? 2 ? 所以直线 l1 和 l1、l2 与 x
?1 5? l2 的交点的坐标为?6,-2?. ? ?

? 22 ? 轴交点的坐标分别为(1,0)、?- 3 ,0?. ? ?

125 所以所求三角形的面积 S= 12 .

? [例2] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y =k(x-1).试讨论实数k的取值范围,使 得直线l与双曲线有两个公共点;直线l与 双曲线有且只有一个公共点;直线l与双 曲线没有公共点.

? 解析:由

? 消去y,得 ? (1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) ? (1)当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双 曲线的渐近线平行,方程化为2x=5.故此 时方程(*)只有一个实数解,即直线与双 曲线相交,且只有一个公共点.如图,交 点在双曲线右支上.

(2)当 1-k2≠0,即 k≠± 时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)· 1 (- k2-4)=4(4-3k2).
?4-3k2>0, ? ①? ?1-k2≠0, ?

2 3 2 3 即- 3 <k< 3 且 k≠± 时,方程(*) 1

有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个公共点.
?4-3k2=0, ? ②? ?1-k2≠0, ?

2 3 即 k=± 3 时,方程(*)有两个相同

的实数解, 即直线与双曲线相切.

?4-3k2<0, ? ③? ?1-k2≠0, ?

2 3 2 3 即 k<- 3 或 k> 3 时,方程(*)无实

数解, 即直线与双曲线没有公共点. 2 3 2 3 综上所述,当- 3 <k< 3 ,且 k≠± 时, 1 直线 l 与双曲线有两个公共点; 2 3 当 k=± 或 k=± 3 时, 1 直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; 2 3 2 3 当 k<- 3 或 k> 3 时, 直线 l 与双曲线没有公共点.

? 点评:直线与双曲线有且只有一个公共点 时,应考虑直线与双曲线相切和直线与双 曲线的渐近线平行两种情形.

x2 y2 斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b 右焦点,且与双曲线的左右两支分别相交,则双曲线的 离心率 e 的取值范围是( A.e< 2 C.1<e< 5 )

B.1<e< 3 D.e> 5

解析:依题意,结合图形分析可知,双曲线的一条渐 b b 近线的斜率 必大于 2,即 >2,因此该双曲线的离心率 e a a a2+b2 c = = = a a
?b? 1+?a?2> ? ?

5,选 D.

答案:D

[例 3]

x2 y2 (2010· 辽宁)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右 a b

焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直 → 线 l 的倾斜角为 60° → =2FB. ,AF (1)求椭圆 C 的离心率; 15 (2)如果|AB|= 4 ,求椭圆 C 的方程.

分析:(1)由直线 l 过焦点 F 和倾斜角 60° 可写出 l 的 → → 方程,与椭圆方程联立得消去 x(或 y),考虑AF=2FB,可 得 yA=-2yB(或 xA=-2xB),因此解方程求出两根,代入 上述关系式消去 b,可求出离心率. (2)由|AB|= b. 1 1+k2|y1-y2|,利用(1)的结果可解出 a,

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2. ?y= 3?x-c? ? 2 联立?x y2 ?a2+b2=1 ? 得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0.

- 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2 → → 因为AF=2FB,所以-y1=2y2. 3b2?c+2a? - 3b2?c-2a? 即 =2· . 2 2 2 2 3a +b 3a +b c 2 得离心率 e=a=3.

(2)因为|AB|=

1 2 4 3ab2 15 1+3|y2-y1|,所以 · 2 2= 4. 3 3a +b

c 2 5 5 15 由a=3得 b= 3 a.所以4a= 4 ,得 a=3,b= 5. x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

? 已知椭圆的焦点为F1(-3,0)、F2(3,0), 且与直线x-y+9=0有公共点,则其中 长轴最短的椭圆方程为________.

x2 y2 解析:解法 1:设椭圆方程为 2+ 2 =1,与直线 x a a -9 -y+9=0 联立并消去 y 得: (2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0, 根据题意,Δ=(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)≥0, 解得 a2≥45 或 a2≤9. ∵a2>9,∴a2≥45,∴amin=3 5. x2 y2 此时椭圆的方程为45+36=1.

解法 2:设直线与椭圆公共点为 P,则|PF1|+|PF2|= 2a,由长轴最短知,问题可转化为在直线 x-y+9=0 上 求一点 P,使 P 到两定点 F1、F2 距离之和为最小. 点 F1(-3,0)关于直线 x-y+9=0 的对称点为 Q(-9, 6),则 F2Q 与直线 x-y+9=0 的交点即为 P 点,且 2a= |PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=6 5,∴a=3 5. x2 y2 又 c=3,∴b2=a2-c2=36,∴椭圆方程为 + = 45 36 1.

? 点评:解法1是利用直线与圆有公共点时, Δ≥0求解;解法2利用椭圆的定义作等价 转化,要细细揣摩其思想方法,请再练习 下题:

已知双曲线焦点 F1(- 2,0),F2( 2,0)且与直线 x +y-1=0 相交.则实轴最长的双曲线方程为________.

解析: 设直线与双曲线交点为 P, 则||PF1|-|PF2||=2a, 由实轴最短知,问题转化为在直线 x+y-1=0 上求一点 P,使 P 到两定点 F1、F2 距离之差最大,点 F1(- 2,0) 关于直线 x+y-1=0 对称点为 M(1,1+ 2),则直线 F2M 与直线 x+y-1=0 交点即为 P 点,且 2a=||PF1|-|PF2|| 6 =||PM|-|PF2||=|MF2|= 6,∴a= 2 ,又 c= 2,∴b2= 1 x2 y2 2,故所求双曲线的方程为 3 - 1 =1. 2 2

? [例4] (2010·湖南)过抛物线x2= 2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛 物线交于A、B两点,A、B在x轴上的正 射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为 12 ,则p=________.

分析:画出示意图可见,梯形的面积可用 A(x1,y1), 1 B(x2,y2),(x2>x1)的坐标表示为2(y1+y2)(x2-x1),因此可 设出直线方程与抛物线方程联立消去 x(或 y), 依据根与系 数关系产生 x1+x2,y1+y2,x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2, 因而解方程可求出 p.

p 解析:抛物线的焦点为 F(0,2),过焦点斜率为 1 的直 p 线方程为 y=x+2,设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1),由题意 可知 y1>0,y2>0. p ? ?y=x+ 2 消去 y 得,x2-2px-p2=0.由韦达定理 由? ?x2=2py ? 得:x1+x2=2p,x1x2=-p2. 1 所以梯形 ABCD 的面积为 S=2(y1+y2)(x2-x1)

1 1 = (x1+x2+p)(x2-x1)= ×3p ?x1+x2?2-4x1x2 2 2 1 = ×3p 4p2+4p2=3 2p2. 2 所以 3 2p2=12 2,又 p>0.所以 p=2.

答案:2

? 抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:y=x+ m相交于A,B两点,线段AB的中点横坐 标为5,又抛物线C的焦点到直线l的距离 为 ,则m=________.

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0, y0).
?y2=2px ? 由? ?y=x+m ?

消去 y 得,x2+2(m-p)x+m2=0.

由根与系数的关系得, x1+x2=2(p-m),x0=p-m, ∴p-m=5.① 又抛物线 C
?p ? 的焦点?2,0?到直线 ? ?

l 的距离为

?p ? ? +m? ?2 ?

2

= 2.

即|p+2m|=4② ? 14 ?p=2 ?p= 3 ? 由①、②得,? ,或? ?m=-3 ? ?m=-1 3 ? 经检验,两组解均合题意.

.

? [例5] 如图,某隧道设计为双向四车道, 车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米, 隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看 成半个椭圆形状.

? (1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱 宽l是多少? ? (2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设 计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道 的土方工程量最小? ? (半个椭圆的面积公式为S= lh,柱体体 积为:底面积乘以高. 本题结果均精确到 0.1米)

解析:(1)如图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5),椭 x2 y2 圆方程为a2+b2=1. 44 7 将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程得,a= 7 , 88 7 此时 l=2a= ≈33.3.因此隧道的拱宽约为 33.3 7 米.

x2 y2 112 4.52 (2)由椭圆方程 2+ 2=1,得 2 + 2 =1. a b a b 112 4.52 2×11×4.5 因为 2 + 2 ≥ , a b ab π πab 99π 即 ab≥99,且 l=2a,h=b,所以 S= lh= ≥ . 4 2 2 112 4.52 1 当 S 取最小值时,有 2 = 2 = , a b 2 9 2 得 a=11 2,b= 2 此时 l=2a=22 2≈31.1,h=b≈6.4. 故当拱高约为 6.4 米、拱宽约为 31.1 米时,土方工程 量最小.

? [例6] (2010·福建)已知中心在坐标原点 O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其 右焦点.

? (1)求椭圆C的方程;
? (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线 l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离 等于4?若存在,求出直线l的方程;若不 存在,说明理由. ? 分析:(1)由椭圆经过点A和已知两焦点坐

x2 y2 解析: (1)解法一: 依题意, 可设椭圆 C 的方程为a2+b2 =1(a>b>0),且可知左焦点为 F ′(-2,0).
?c=2 ? 从而有? ?2a=|AF|+|AF ? ?c=2, ? 解得? ?a=4. ?

′|=3+5=8,

x2 y2 又 a2=b2+c2, 所以 b2=12, 故椭圆 C 的方程为 + 16 12 =1.

x2 y2 解法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为 a2 + b2 = 1(a>b>0),且有: ?4 9 ? 2+ 2=1, ?a b ?a2-b2=4. ? 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去).从而 a2=16. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12

3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2 ? 3 ?y=2x+t, 由? 2 x y2 ? + =1 ?16 12

消去 y,得 3x2+3tx+t2-12=0.

∵直线 l 与椭圆 C 有公共点, ∴△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3.

另一方面, 由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得

|t| = 9 4+1

4,∴t=± 13. 2 ∵± 13?[-4 3,4 3], 2 ∴符合题意的直线 l 不存在.

? 点评:求圆锥曲线的标准方程可以用定义 法,也可以用待定系数法,两种方法比 较.定义法计算简单,但不易想到,待定 系数法计算量大.但方法易于掌握,是常 规方法.对于探究性问题,都是先假设存 在.若真的存在,则一定能确定参数的

x2 y2 (2010· 天津)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率 e 3 = ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 2 (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上, → QB → 且QA· =4.求 y0 的值.

c 3 解析:(1)由 e=a= 2 ,得 3a2=4c2,再由 c2=a2- b2,得 a=2b. 1 由题意可知2×2a×2b=4,即 ab=2.
?a=2b, ? 解方程组? ?ab=2, ?

得 a=2,b=1,

x2 2 所以椭圆的方程为 4 +y =1.

(2)由(1)可知 A(-2,0),设 B 点的坐标为(x1,y1),直 线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2). ?y=k?x+2?, ? 2 于是 A、B 两点的坐标满足方程组?x +y2=1. ?4 ? 由方程组消去 y 并整理得, (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 由根与系数关系得,-2x1= 2, 1+4k

2-8k2 4k ∴x1= 2,从而 y1= 2. 1+4k 1+4k 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为
? 8k2 2k ? ? ? - 2, 2 ?. ? 1+4k 1+4k ? ?

以下分两种情况讨论: ①当 k=0 时, B 的坐标为(2,0), 点 线段 AB 的垂直平 → → → 分线为 y 轴, 于是QA=(-2, 0), =(2, 0), → · -y QB -y 由QA QB =4,得 y0=± 2. 2

②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 8k2 ? 2k 1? ? ? y- 2 ?. 2=- ?x+ k? 1+4k ? 1+4k 6k 令 x=0,解得 y0=- 2. 1+4k → → 由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0). → QB → QA· =-2x1-y0(y1-y0) 6k ? -2?2-8k2? 6k ? 4k ? ? = + 2+ 2? 1+4k2 1+4k2?1+4k 1+4k ? ?

4?16k4+15k2-1? = =4, 2 2 ?1+4k ? 14 2 14 整理得 7k =2,故 k=± 7 ,所以 y0=± 5 .
2

2 14 综上,y0=± 2或 y0=± 2 . 5

? 一、选择题 ? 1.(2010·青岛市质检)已知抛物线x2=ay 的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点, 则a=( ) ? A.1 B.4 C.8 D.16 双曲线 y2-x2=2 的上焦点 F(0,2), [解析] ? [答案] C a
∴ =2,∴a=8. 4

x2 y2 2.(2010· 福建莆田市质检)与椭圆 2+ 2=1 有公共 13 12 5 焦点,且离心率 e= 的双曲线方程为( 4 x2 y2 A.42-32=1 x2 y2 C.32-42=1 x2 y2 B.132-52=1 x2 y2 D.132-122=1 )

[答案] A

[解析]
2

椭圆中 a2=132, 2=122, 2=a2-b2=132 b ∴c

5 c -12 =25,∴双曲线中 c=5,又 e= = ,∴a=4, 4 a ∴b2=c2-a2=9,故选 A.

x2 y2 3.(2010· 马鞍山质检)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)、双 a b x2 y2 曲线 2- 2=1 和抛物线 y2=2px(p>0)的离心率分别为 e1、 a b e2、e3,则( A.e1e2>e3 C.e1e2<e3 ) B.e1e2=e3 D.e1e2≥e3

[答案] C

[解析]

a2-b2 对于椭圆 c= a2-b2,∴e1= a ,对

a2+b2 于双曲线 c= a2+b2,∴e2= a , a4-b4 ∴e1e2= a2 =
?b? 1-?a?4, ? ?

?b? ∵a>b>0,∴0<?a?4<1,∴e1e2<1=e3. ? ?

二、填空题 π 4.(09· 上海)过点 A(1,0)作倾斜角为 的直线,与抛物 4 线 y2=2x 交于 M、N 两点,则|MN|=________.

[解析]

π 设过 A(1,0)且倾斜角为4的直线方程为 y=x

-1,代入 y2=2x 得 x2-4x+1=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2) 有 x1 + x2 = 4 , x1x2 = 1 , ∴ |MN| = 1+k2 |x1 - x2| = k2+1· ?x1+x2?2-4x1x2= 2· 16-4=2 6.

x2 y2 5. (2010· 上海松江区模考)已知圆 C 过双曲线 - = 9 16 1 的一个顶点和一个焦点,且圆心 C 在此双曲线上,则圆 心 C 到双曲线中心的距离是________.

[解析]

双曲线中, a=3, b=4, c=5, ∴顶点(± 3,0),

焦 点 (± , 由 条 件 知 , 直 线 x = ± 与 双 曲 线 交 点 5,0) 4
? 4 7? ? ? 4,± ?为⊙C ?± 3 ? ?

的圆心, 4
2

∴所求距离为 d=

?4 7? ? ?2 16 +? = . 3 3 ? ? ?


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