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2012年北京市东城区高三一模数学(理)试题Word版带答案


北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(一) (理科)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若 a , b ? R , i 是虚数单位,且 a ? (b ? 2)i ? 1 ? i ,则 a ? b 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

/>(2)若集合 A ? {0 , m 2 } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是“ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

? y ? x ? 1, ? (3)若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ? y ? 0, ?
(A) ?

7 2

(B) ?2

(C) 1

(D)

5 2

(4)右图给出的是计算

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? 的一个程序框图, 2 4 6 8 100

其中判断框内应填入的条件是 (A) i ? 50 (B) i ? 50 (C) i ? 25 (D) i ? 25

(5) 某小区有排成一排的 7 个车位, 现有 3 辆不同型号的车需要停放, 如果要求剩余的 4 个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 (A)16 (A ) ? 3 (B)18 (B) ?3 (C)24 (C) ?3 3 (D)32 (D) ?3 3 (6)已知 x , y , z ? R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等比数列,则 xyz 的值为 C

(7)在直角梯形 ABCD 中,已知 BC ∥ AD , AB ? AD , AB ? 4 , BC ? 2 , AD ? 4 ,若 P 为 CD 的 中点,则 PA ? PB 的值为 (A) ?5 (8)已知函数 f ( x) ? ? 取值范围是 (A) ? ??,1? (B) ? ?? ,1? (C) ? 0,1? (D) ?0, ? ?? (B) ?4 (C) 4 (D) 5

??? ? ??? ?

? 2 ? 1,
?x

x ? 0,

? f ( x ? 1), x ? 0.

若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是

? 2

.


(10)在极坐标系中,圆 ? ? 2 的圆心到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 2 的距离 为 . ;



(11)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是
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0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3

-1-

若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.

AB 是⊙ O 的直径, (12) 如图, 直线 DE 切⊙ O 于点 D , 且与 AB 延长线交于点 C , 若 CD ?
则 ? ADE =
2

CB ? 1 , 3,
D

. ;经过此抛物线的焦点是和点 M (1,1) ,且
A

E

(13)抛物线 y ? x 的准线方程为

与准线相切的圆共有 个. (14) 如图, 在边长为 3 的正方形 ABCD 中, 点 M 在 AD 上, 正方形 ABCD 以 AD 时针旋转 ? 角(0 ≤ ? ≤

O

B

C

为 轴逆

? ) 到 AB1C1D 的位置 , 同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动 到点 D , 3 ???? ? ????? ???? ? 1 ,记点 Q 在面 ABCD 上 MN1 ? DC1 ,点 Q 在 MN1 上,在运动过程中点 Q 始终满足 QM ? cos ? ? ???? ? ???? C 的射影为 Q0 ,则在运动过程中向量 BQ0 与 BM 夹角 ? 的正切的最大值为 . N1
1

B1 Q

D

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算 步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x)2 ? 2sin 2 2x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移 到的,当 x ?[ 0 ,
A

M

Q0

C

B

? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得 8

? ]时,求 y ? g ( x) 的最大值和最小值. 4

(16) (本小题共 13 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80% ,二等品率为 20% ;乙产品的一等品率为

90% ,二等品率为 10% .生产 1 件甲产品,若是一等品,则获利 4 万元,若是二等品,则亏损 1 万元;生
产 1 件乙产品,若是一等品,则获利 6 万元,若是二等品,则亏损 2 万元.两种产品生产的质量相互独立. (Ⅰ)设生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润为 X (单位:万元) ,求 X 的分布列; (Ⅱ)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率.

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(17) (本小题共 13 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足

AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置,使二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角,连结

A1B , A1P .(如图 2)
(Ⅰ)求证: A1 E ⊥平面 BEP ; (Ⅱ)求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小.
A

E

A1

F

E F

B

P

C

B

P

C

图1

图2

(18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex ? 3e 2 ln x ? b 在 ( x0 ,0) 处的切线斜率为零. 2

(Ⅰ)求 x0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x) ≥ 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x) ? f ?( x) ?

a 有最小值 m ,且 m ? 2e ,求实数 a 的取值范围. x

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-3-

(19) (本小题共13分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率是 ,其左、右顶点分别为 A1 , A2 , B 为短轴的端 2 2 a b

点,△ A 1 BA2 的面积为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) F2 为椭圆 C 的右焦点,若点 P 是椭圆 C 上异于 A 1P , A2 P 与直线 x ? 4 1 , A2 的任意一点,直线 A 分别交于 M , N 两点,证明:以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于点 F2 .

(20) (本小题共 14 分) 若 对 于 正 整 数 k , g (k ) 表 示 k 的 最 大 奇 数 因 数 , 例 如 g (3) ? 3 , g (10) ? 5 . 设

Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ?? g (2n ) .
(Ⅰ)求 g (6) , g (20) 的值; (Ⅱ)求 S1 , S2 , S3 的值; (Ⅲ)求数列 ?Sn ? 的通项公式.

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北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (5)C (2)A (6)C (3)A (7)D (4)B (8)A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?x ? (0, ), tan x ? sin x

? 2

(10) 2 (13) x ? ?

(11)84



(12) 60

?

1 4

2

(14)

6 12

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin 2 x
2 2

? sin 4 x ? cos 4 x

? ? 2 sin(4 x ? ) , 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ?

????6 分

? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] ?1 8 4
???10 分

? . 2

????8 分

? ? 2 sin(4 x ? ) ? 1 . 4
因为 0 ? x ?

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

????11 分

当 4x ? 当 4x ?

? ? 3? ? ,即 x ? 时, g ( x) 取最大值 2 ? 1 ; 4 2 16 ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 0 . 4 4
????13 分

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题设知, X 的可能取值为 10 , 5 , 2 , ?3 . ????2 分

P( X ? 10) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 , P( X ? 2) ? 0.8 ? 0.1 ? 0.08 ,
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P( X ? 5) ? 0.2 ? 0.9 ? 0.18 , P( X ? ?3) ? 0.2 ? 0.1 ? 0.02 .
-5-

????6 分

由此得 X 的分布列为:

X

10
0.72

5
0.18

2

?3
0.02

P

0.08
????8 分

(Ⅱ)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件. 由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ?

14 , 5
????10 分

? 又 n ? N 且 n ? 4 ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 .

512 ) 625 答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192 .
3 所求概率为 P ? C4 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192 .(或写成

????13 分
A

(17) (共 13 分) (Ⅰ)证明:取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,
? 所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.

E

D

F

又因为 AE ? ED ? 1 , 所以 EF ? AD .

????2 分
B P C

所以在图 2 中有 A1E ? EF , BE ? EF .????3 分 所以 ?A 1EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角. 又二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, 所以 A1E ? BE . 又因为 BE ? EF ? E , 所以 A1E ⊥平面 BEF ,即 A1E ⊥平面 BEP .

图1

????5 分

????6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 A1E ⊥平面 BEP , BE ? EF ,如图,以 E 为原点, 系 E ? xyz ,则 E (0 , 0 , 0) , A1 (0 , 0 ,1) , B(2 , 0 , 0) , F (0, 3 , 0) . 在图1中,连结 DP .
E

z A1

建立空间直角坐标

CF CP 1 ? ? , 因为 FA PB 2
所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

F B x P C y

1 BE ? DE . 2

所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 EF ∥ DP ,且 EF ? DP . 故点 P 的坐标为(1, 3 ,0).
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图2

所以 A1B ? (2 , 0 , ? 1) , BP ? (?1, 3,0) , EA1 ? (0 , 0 ,1) .????8 分

???? ?

??? ?

???? ?

???? ? ? A B ? 1 ? n ? 0, 不妨设平面 A1 BP 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? ? BP ? n ? 0.
? ?2 x ? z ? 0, 令 y ? 3 ,得 n ? (3 , 3 , 6) . ????10 分 ? ? x ? 3 y ? 0. ???? ? ???? n ? EA1 6 3 ????? ?? ? 所以 cos? n, EA1 ? ? . ????12 分 2 | n || EA1 | 1? 4 3
即? 故直线 A 1E 与平面 A 1 BP 所成角的大小为 (18) (共 14 分) (Ⅰ)解: f ?( x) ? x ? 2e ?

? . 3

????13 分

3e2 . x

????2 分

由题意有 f ?( x0 ) ? 0 即 x0 ? 2e ? 得 f (e) ? 0 即

3e2 .?4 分 ? 0 ,解得 x0 ? e 或 x0 ? ?3e (舍去) x0
????5 分

1 2 1 e ? 2e 2 ? 3e 2 ln e ? b ? 0 ,解得 b ? ? e 2 . 2 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 2 e2 x ? 2ex ? 3e2 ln x ? ( x ? 0) , 2 2

f ?( x ) ? x ? 2e ?

3e2 ( x ? e)( x ? 3e) ? ( x ? 0) . x x

在区间 (0, e) 上,有 f ?( x) ? 0 ;在区间 (e, ??) 上,有 f ?( x) ? 0 . 故 f ( x ) 在 (0, e) 单调递减,在 (e, ??) 单调递增, 于是函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值是 f (e) ? 0 . 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ≥ 0 恒成立. (Ⅲ)解: F ( x) ? f ?( x) ? ????9 分 ????10 分

a a ? 3e2 ? x? ? 2e ( x ? 0) . x x

当 a ? 3e 2 时,则 F ( x) ? x ?

a ? 3e2 ? 2e ? 2 a ? 3e2 ? 2e ,当且仅当 x ? a ? 3e2 时等号成立, x
????13 分

故 F ( x) 的最小值 m ? 2 a ? 3e2 ? 2e ? 2e ,符合题意;

当 a ? 3e 2 时,函数 F ( x) ? x ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数,不存在最小值,不合题意;
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当 a ? 3e 2 时, 函数 F ( x) ? x ?

a ? 3e2 ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数, 不存在最小值, 不合题意. x
????14 分

综上,实数 a 的取值范围是 (3e2 , ??) .

(19) (共 13 分)

(Ⅰ)解:由已知

? c 1 ? a ? 2, ? ? ? ab ? 2 3, ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ? ?

????2 分

解得 a ? 2 , b ? 3 .

????4 分

故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

????5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 A 1 ? ?2,0? , A 2 ?1,0? . 2 ? 2,0 ? , F 设 P x0 , y0

?

?? x

0

2 2 ? ?2 ? ,则 3x0 ? 4 y0 ? 12 .

于是直线 A 1P 方程为 y ?

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得 yM ? 0 ; x0 ? 2 x0 ? 2
????7 分

所以 M ( 4,

6 y0 2 y0 ) ,同理 N ( 4, ). x0 ? 2 x0 ? 2

所以 F2 M ? ( 3,

?????

???? ? 6 y0 2 y0 ) , F2 N ? ( 3, ). x0 ? 2 x0 ? 2
6 y0 2 y0 ) ? ( 3, ) x0 ? 2 x0 ? 2 6 y0 2 y0 ? x0 ? 2 x0 ? 2
2

所以 F2 M ? F2 N ? ( 3,

????? ???? ?

? 9?

2 3 ?12 ? 3 x0 ? 12 y0 ? 9? 2 ? 9? 2 x0 ? 4 x0 ?4 2 9 ? x0 ? 4? 2 x0 ?4

? 9?

? 9?9 ? 0 .
????9 分

所以 F2 M ? F2 N ,点 F2 在以 MN 为直径的圆上.
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设 MN 的中点为 E ,则 E (4,

4 y0 ( x0 ? 1) ). x0 2 ? 4

????10 分

又 F2 E ? (3,

???? ?

???? ? 4 y0 ( x0 ? 1) , ) F P ? ? x0 ? 1, y0 ? , 2 x0 2 ? 4
2 4 y0 4 y0 ( x0 ? 1) ? x0 ?1? ) ? x ? 1, y ? 3 x ? 1 ? ? ? ? ? 0 0 0 2 2 x0 ? 4 x0 ?4

所以 F2 E ? F2 P ? (3,

???? ? ???? ?

? 3 ? x0
所以 F2 E ? F2 P .

?12 ? 3x ? ? x ?1 ?
?
2 0 2 x0 ?4

0

? 1?

? 3 ? x0 ? 1? ? 3 ? x0 ? 1? ? 0 .

????12 分

因为 F2 E 是以 MN 为直径的圆的半径, E 为圆心, F2 E ? F2 P , 故以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于右焦点. ????13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) g (6) ? 3 , g (20) ? 5 . ????2 分 (Ⅱ) S1 ? g (1) ? g (2) ? 1 ? 1 ? 2 ;

S2 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 6 ;
S3 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? g (5) ? g (6) ? g (7) ? g (8) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1? 5 ? 3 ? 7 ? 1 ? 22 .
????6 分 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)不难发现对 m ? N ,
?

有 g (2m) ? g (m) .

????8 分

所以当 n ? 2 时, Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ?? g (2n ?1) ? g (2n )

? [ g (1) ? g (3) ? g (5) ? ? ? g (2n ?1)] ? [ g (2) ? g (4) ? ?? g (2n )] ? [1 ? 3 ? 5 ? ?? (2n ?1)] ? [ g (2 ?1) ? g (2 ? 2) ? ?? g (2 ? 2n?1 )]
? (1 ? 2n ? 1) ? 2n?1 ? [ g (1) ? g (2) ? ? ? g (2n?1 )] 2
????11 分
?

? 4n?1 ? Sn?1
于是 Sn ? Sn?1 ? 4n?1 , n ? 2 , n ? N .

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所以 Sn ? (Sn ? Sn?1 ) ? (Sn?1 ? Sn?2 ) ? ? ? (S2 ? S1 ) ? S1

? 4n?1 ? 4n?2 ? ? ? 42 ? 4 ? 2

4(1 ? 4n ?1 ) 4n 2 ? ? 2 ? ? , n ? 2 , n ? N? . 1? 4 3 3
又 S1 ? 2 ,满足上式,
? 所以对 n ? N , S n ?

????13 分

1 n (4 ? 2) . 3

????14 分

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