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三角函数及解三角形知识总结

时间:2012-06-03


三角函数
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 ? 为第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

? ? ? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?

?

?

? ? ? ?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

?

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来 ? 是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. l 6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r
? 180 ? ? 57.3? . 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 180 ? ?
?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

?

?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点 的距离是 r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1
sin ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?
2 2 2 2

y P T v O M A x

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数
y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩

短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不

变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长 (缩短) 到原来的 得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

1

?

倍 (纵坐标不变) ,

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所

有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 ,
y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:
①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相: ? ? 2?

?.
函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:

最大值为 ymax ,则 ? ?
函 质 数 y ? sin x



y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
?k ? ??
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,
ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

R

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?

既无最大值也无最小 值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2? 周 期 性 奇 奇函数 偶 性 单 ? ?? ? 调 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? 2 2? ? 性

?

偶函数

奇函数



? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ?

上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ?
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2

? k? , 0 ?? k ? ? ?











? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

无对称轴

16、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

17、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos 2? ) . 2



cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2



sin 2 ? ?

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

18、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

解三角形
1、正弦定理:在 ???C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ???C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
圆的半径,则有 4、余弦定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab
2 2 2 ?

6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

常考题型
? 1.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的
函数解析式是( ).
2

A. y ? cos 2 x B. y ? 2cos x

y ? 1 ? sin(2 x ?

?
4

)

C.

2 D. y ? 2sin x

2.已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻 交点的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 (A) (B)
[k? ?

?
12

, k? ?

5? ], k ? Z 12

[ k? ?

5? 11? , k? ? ], k ? Z 12 12

(C) (D)

[ k? ? [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z 3 6 6 , k? ? 2? ], k ? Z 3

?

?

3.若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x , A.1 C. 3 ? 1 B. 2 D. 3 ? 2

0? x?

?
2 ,则 f ( x) 的最大值为(



4. 函 数

y ? cos( 2? x

?
6

? 2 ) ' ' 的图象 F 按向量 a 平移到 F , F 的函数解析式为

? y ? f ( x) ,当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于
A.(? B.( ?

?
?
6

, ?2) , 2)

C.( , ?2) 6 D.( , 2) 6

?

6

?

5 已知函数

f ( x) ? sin( x ? ?

?
4

)(x? R? ? 0) , 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x) ? cos x的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象 ?

? A 向左平移 8 个单位长度 ? B 向右平移 8 个单位长度 ? C 向左平移 4 个单位长度 ? D 向右平移 4 个单位长度
6.已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 的定义域为 R , (1)当 ? ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;

(2)若 ? ? (0, ? ) ,且 sin x ? 0 ,当 ? 为何值时, f ( x) 为偶函数.
?? ? ? ? ? ??? ? ? ? B 满足 2cos 2B ? 8cos B ? 5 ? 0, ,若 BC ?a ,CA ? b 且 a, b 7.已知△ABC 的内角 ? ? ? ? ? ? a ? 3, b ? 5 a, b 的夹角.求 sin( B ? ? ) 。 b 满足: a ? ? ?9 , ,? 为

0? x?

?

8.已知

? 5 ? , sin( ? x) ? , cos( ? x) 4 4 13 求 4 的值。

cos 2 x

f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3a cos 2 x ?

9.已知函数 (1)写出函数的单调递减区间;

3 a ? b (a ? 0) 2

x ?[0, ] 2 , f ( x) 的最小值是 ?2 ,最大值是 3 ,求实数 a, b 的值. (2)设

?

10. 若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的值是(
0

) D
3

A

4 3
y?

B

?4 3

C

?4 3

11 函数 A B C D

sin x cos x tan x ? ? sin x cos x tan x

的值域是(



?? 1,0,1,3? ?? 1,0,3? ?? 1,3? ?? 1,1?
?
1
1 ? cos 2 , cos 2? , 2 中,其值必为正

12. 若 ? 为第二象限角,那么 sin 2? , 的有( )

cos

A B C D

0个

1个 2个
3个
sin ? ? m, ( m ? 1)

?
,2

13. 已知
m

?? ??

,那么 tan? ? (



A

1? m2
? m 1? m2

?

m 1? m2
? 1? m2 m
s in? ? 1 ? cos2 ? cos?

B

C

D

14. ( A

2 若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则 1 ? s in ?

的值等于



2

B

?2

C

?2 或 2

D

0

15.

已知 tan ? ? 3 ,
? 1? 3 2

? ?? ?

3? 2 ,那么 cos? ? sin? 的值是(



A

B

?1? 3 2 1? 3 2 1? 3 2

C

D

16.若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴,顶点为坐标原点,点 P(-4,3)为其终边上 一点,则 cosα 的值为( 4 A.5 3 4 3 B.-5 C.-5 D.± 5 ) )

? 17.若函数 f(x)=asinx-bcosx 在 x= 3 处有最小值-2,则常数 a、b 的值是(

A.a=-1,b= 3 B.a=1,b=- 3 C.a= 3,b=-1 D.a=- 3,b=1 18.已知 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) ? 3 sin( 3x ? ? ) 为偶函数,则 ? 可以取的一个值为 ( π A.6 π B.3 π C.-6 π D.-3 )


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