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江西玉山一中2013届高三第一学期期末联考文科数学试卷


江西玉山一中2013届高三第一学期期末联考试卷 文
1? i







一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.在复平面内,复数 2 ? i
(i

为虚数单位)对应的点位于(



A.第一

象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若有样本容量为2012的样本平均数为8,方差为3.现样本中又加入一个新数 据8,此时样本容量为2013,平均数为 x ,方差为 S ,则(
2 A. x ? 8, S ? 3 2 B. x ? 8, S ? 3 2 C. x ? 8, S ? 3

2


2 D. x ? 8, S ? 3

3.下列关于命题的说法正确的是(



2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:”若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”

B.“ A ? ? ”是“ A ? B ? ? ”的充分不必要条件
2 C . 命 题 “ 存 在 x ? R , 使 得 x ? x ?1 ? 0 ” 的 否 定 是 “ 对 任 意 x ? R , 均 有 2 x ? x ? 1 ? 0 ”D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

x

2

4.已知某圆锥曲线 4 A.12

?

y

2

?1

m

的离心率为2,则实数 m 的值为( D.8



B.-12

C. ? 12

5.在等差数列 { a n } 中, 2 ( a1 ? a 3 ? a 5 ) ? 3( a 7 ? a 9 ) ? 4 8,则此数列的前10项的和
S 10 ?



) A.10 B.20
2?

C.40
2 5 ?2 2

D.80
3? 3 10 ?3 3 10 , 4? 4 17 ?4 4 17 ,….若

6.观察下列各式:
9? m n ?9 m

5 ,

n ,则 n ? m ? (



A.43 B.57 C.73 D.91 7. 一个算法的程序框图如右图所示,若该程序输出
9

的结果是 1 0 ,则判断框中应填入的条件是(



第 1 页 共 9 页

A. i ? 8

B. i ? 9

C. i ? 10

D. i ? 11

? f ( x ) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ( ab ? 0) 的图像向左平移 6 个单位后得到的图像 8. 若函数

对应的函数是奇函数,则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为( A. 30
?



B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

9.一个几何体的三视图如图所示,是该几何体的体积为(
2 1



A.2

B.1

C. 3

D. 3

?y≤ 4 ? ?x ? y ≤ 0 ? x≥ m ( y ? 4 ) 10.已知点 P ( x , y ) 是平面区域 ?

内一个任意一个动点,点 A (1, ? 1) , O 为坐 标原点,设 | O P ? ? O A | ( ? ? R ) 的最小值为
M
??? ? ??? ?

,若 M



2

恒成立,则实数 m 的取值范围是(
1 1 ( ?? , ? ] ? [ , ?? ) 3 5 B. [? 1


, ?? ) [? 1 2 , ?? )

A.

[?

1 1 , ] 3 5

C.

3

D.

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
x 11.设曲线 y ? xe 在点 (0, 0) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ?



| 12.若关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x |? |a ? 1 解集为空集,则实数 a 的取值范围





13. 已知点 P 是正方形 ABCD 内一动点,则点 P 到正方形各顶点的距离都不小于 1的概率为 .

2 2 14.若直线 ax ? by ? 2 ab ? 0 ( a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 的周长,

则 a ? 2 b 的最小值为



15. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足: ①对任意的实数 x , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ) 成立;②当 x ? [0,1] 时, f ( x ) ? 2 ? | 4 x ? 2 | 。若关于 x 的方程 f ( x ) ? k ( x ? 1) 恰有5 个实根,则实数 k 的取值范围是 .
第 2 页 共 9 页

三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16. ( 12 分 ) 在 锐 角 三 角 形 ABC 中 , a , b , c 分 别 为 角 A , B , C 的 对 边 , 已 知
m ? ( b ? c , a ), n ? ( b , 0) , p ? (cos A , ? cos C ) ,且 ( m ? n ) ? p .
y ? 2 sin B ? cos(
2

?
3

(1)求角 A 的大小; (2)求函数

? 2B)

的值域.

17.(12分)在等差数列 { a n } 中, a 2 ? a 7 ? ? 23 , a 3 ? a 8 ? ? 29 . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设数列 { a n ? bn } 是首项为1,公比为 c 的等比数列,求 {bn } 的前 n 项和 S n .

18.(12分)已知集合 M ? {? 1,1, 2} , N ? {? 1,1, 2} , P ? { ? 1,1, 2} 。从集合 M , N , P 中 各取一个元素分别记为 a , b , c ,设方程 a , b , c . (1)求方程 C 表示焦点在 x 轴上的双曲线的概率; (2)求方程 C 表示椭圆或双曲线的概率.

第 3 页 共 9 页

19.(12分)如图所示,平面 PAD ? 平面 ABCD , ABCD 为正方形, P A ? A D , 且 PA ? AD ? 2 , E , F , G 分别为线段 PA , PD , CD 的中点. (1)求证: BC ∥平面 EFG ; (2)求三棱锥 E ? AFG 的体积; (3) 在线段 BC 上是否存在一点 M , 使得 MF ? AG ?若存在, M 在什么位置, 点 若不存在,请说明理由.

20.(13分)设椭圆 右两个焦点,且

C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0)

3 P (1, ) 2 , F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、 过点

???? ??? ? ? ???? ? PF2 ? ( PF 1 ? PF2 ) ? 0

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M , N 两点,若
AM , AN 的斜率 k1 , k 2 满足 k1 ? k 2 ? ? 1 ,求直线 l 的方程.

第 4 页 共 9 页

21.(14分)已知函数

f ( x) ?

1 2

x ? ( a ? 3) x ? ln x
2



(1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调递增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 有两个极值点,求实数 a 的取值范围; (3)在函数 f ( x ) 的图像上是否存在不同两点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,线段 A B 的中
? 点的横坐标为 x 0 , 直线 A B 的斜率为 k , k ? f ( x 0 ) 成立?若存在, 有 请求出的值;

若不存在,请说明理由.

玉山一中2013届高三第一学期期末联考 文科数学参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. DBDBC C CADC

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
1?

?
4

9

4

11.1

12. a ? ? 1或 a ? 3

?k ?

4 3

或 k ??

4 5

13.

14. 2

15. 7

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答必须写出必要的演算或推理过程. u r r u r ( m ? n ) ? p 得 (2 b ? c ) cos A ? a cos C ? 0 , 16.解: (Ⅰ)由
由正弦定理得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0
sin B ? 0 , 得 A ?

?
3 ----------------6分

? 2 sin B cos A ? sin B ? 0 , Q B、 A ? (0, ? ) ,
y ? 1? 1 2 co s 2 B ? 3 2 sin 2 B ? sin (2 B ?

?
6

) ?1

(Ⅱ)

---------------------------------8分由B、

? ? ?0 ? B ? 2 ? 2? ? ?0 ? ?B? 3 2 C为锐角,则 ?
?

?

?
6

? B?

?
2

?
6

? 2B ?

?
6

?

5?

? 1 3 ? sin(2 B ? ) ? ( ,1] y ? ( , 2] 6 , 6 2 2 ,所以值域为 ------------12分

第 5 页 共 9 页

17.解:(Ⅰ)设等差数列 依题意 所以

{a n }

的公差是 d . ,从而 d ? ? 3 .---------------2分

a3 ? a8 ? ( a 2 ? a 7 ) ? 2 d ? ? 6

a 2 ? a 7 ? 2 a1 ? 7 d ? ? 23 {a n }
的通项公式为

,解得

a1 ? ? 1

. ------------------4分

所以数列 (Ⅱ)由数列 得

a n ? ? 3n ? 2

.-----------------------5分

{ a n ? bn }

是首项为 1 ,公比为 c 的等比数列, ,即

a n ? bn ? c

n ?1

? 3n ? 2 ? bn ? c

n ?1



所以 所以

bn ? 3n ? 2 ? c

n ?1

.---------------------------------------7分
2 n ?1

S n ? [1 ? 4 ? 7 ? ? ? (3 n ? 2)] ? (1 ? c ? c ? ? ? c

)

?

n (3 n ? 1) 2

? (1 ? c ? c ? ? ? c
2

n ?1

)
.--------------------8分

从而当 c ? 1 时,

Sn ?

n (3 n ? 1) 2

?n?

3n ? n
2

2 1? c
n

;-------------------10分

当 c ? 1 时,

Sn ?

n (3 n ? 1) 2

?

1 ? c .----------------------------12分

L 18. 解:a、 b 、c 所有可能的取法有:( ? 1, ? 1, ? 1), ( ? 1, ? 1,1), ( ? 1, ? 1, 2) ,( ? 1,1, ? 1) , L ,

(2, 2, ? 1), (2, 2,1), (2, 2, 2) ,共27种,------------------------------------------3分

(1)其中表示焦点在x轴上的双曲线的有: (1, ? 1,1), (2, ? 1,1), ( ? 1,1, ? 1), ( ? 1, 2, ? 1),
(1, ? 1, 2), (2, ? 1, 2) 共6种,故方程C 表示焦点在x轴的上双曲线的概率为:
P1 ? 6 27 ? 2 9 ;-----------------------------------------------------7分

(2)其中不表示椭圆也不表示双曲线的有: ( ? 1, ? 1, ? 1), ( ? 1, ? 1,1), ( ? 1, ? 1, 2),
(1, 1, ? 1 ) , ( 1 , 1 , 1 ) ,( ( 1 ,21,, 21)), , ( ? , 1 , 1, ? 2
11 27

1 )?, ( (22, ,22, , 1 )),, ( 2 ,共11种,故方程 1 2, 2)
16 27 ---------------------12分

P2 ? 1 ?

?

C表示椭圆或双曲线的概率为:

19..c(1)证明: Q E , F 分别是线段PA、PD的中点, ? EF // AD .
第 6 页 共 9 页

又∵ABCD为正方形,∴BC//AD,∴BC//EF。 又 Q BC ? 平面EFG,EF ? 平面EFG, ∴BC//平面EFG----------------------------4分 (2)∵平面PAD⊥平面ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥平面PAD, 即GD⊥平面AEF。 又∵EF//AD, PA ⊥AD,∴EF⊥AE。 又
Q AE ? EF ? 1 3 1 2 1 2 ? ?1?1?1 ? 1 6 . A D ? 1, C D ? 1 2 C D ? 1, . ? V E ? A F G ? V G ? A E F ? 1 3 ? S ?AEF ? 1 2 CD ?

-------------------------------------------------------------------------8分

(3)存在,点M在点B处时. 取AD中点H,则由F为PD中点知 FH // PA ,? FH ? 平面ABCD 又正方形ABCD中,H为AD中点,G为CD中点,由平面几何知识可得 BH ? AG , 所以
BF ? AG 即 MF ? AG --------------------------------------------------12分
uuu uuu uuu r r r P F1 ? ( P F1 ? P F2 ) ? 0

20. 解: (1)由



PF1 ? F1 F2

?c ? 1 ? 2 3 ?b ? 2 ? a 2 解得 a ? 2, b ? 3 ∴?

x

2

?

y

2

?1

∴椭圆的方程为 4

3

-----------------------------------------------------------5分
k1 ? k 2 ? 0

(2)若直线 l 斜率不存在,显然

不合题意;

则直线l的斜率存在。--------------------------------------------------------------------6分
M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y 2 ) 设直线 l 为 y ? k ( x ? 1) ,直线l和椭交于 , 。

将 y ? k ( x ? 1) 代入 3 x ? 4 y ? 12中得到 :
2 2

(3 ? 4 k ) x ? 8 k x ? 4 k ? 12 ? 0
2 2 2 2

第 7 页 共 9 页

由韦达定理可知:
k AM ? k AN ? y1

2 ? 8k x1 ? x 2 ? ? 2 ? 3 ? 4k ? 2 ? x x ? 4 k ? 12 2 ? 1 1 3 ? 4k ?

-----------------------------------------8分
? x2 ? 1 x2 ? 2 )


? k [ 2 ? 3( 1 x1 ? 2

x1 ? 2
? 1

?

y2 x2 ? 2

? k(

x1 ? 1 x1 ? 2

x2 ? 2

)]

----------------------------------------------------------10分
x1 ? x 2 ? 4

1

而 x1 ? 2
?

?

1 x2 ? 2
2

?

x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4
2

8 k ? 4 (3 ? 4 k ) 4 k ? 12 ? 16 k ? 4 ( 3 ? 4 k )
2 2 2
2

?

2k ? 1
2

3k

2

从而

k A M ? k A N ? k (2 ? 3 ?

2k ? 1 3k
2

)??

1 k

? ?1

求得 k ? 1

故所求直线MN的方程为: y ? x ? 1. ------------------------------------------------------13分
f (x) ? x ? a ? 3 ?
/

1 x

( x ? 0).

22.解: (1)∵

∴若函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上递增,

则 f ( x ) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即
/

a ? ?(x ?

1 x

)?3

对 x ? 0 恒成立,

而当 x ? 0 时,

?(x ?

1 x

) ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 1.

∴实数 a 的取值范围为 a ? 1 ------------4分
, ( x ? 0)

f ?( x ) ? x ? a ? 3 ?

1 x

?

x ? ( a ? 3) x ? 1
2

(2)∵
2

x

∴方程 x ? ( a ? 3) x ? 1 ? 0 在 x ? (0, ?? ) 上有两个不相等的实根 记 f ( x ) ? x ? ( a ? 3) x ? 1, x ? (0, ?? ) ,
2

? ? ? ( a ? 3) 2 ? 4 ? 0 ? ? a?3 ?0 ?? 2 ? ? f (0) ? 0 则?

∴ a ? 1 --------------------------------------------------9分
0 ? x1 ? x 2 .
第 8 页 共 9 页

(3)假设存在,不妨设

1 k ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 2

x1 ? ( a ? 3) x1 ? ln x1 ?
2

1

2 x1 ? x 2

x 2 ? ( a ? 3) x 2 ? ln x 2
2

ln ? x 0 ? ( a ? 3) ?

x1 x2 .
f ? ( x 0 ) ? x 0 ? ( a ? 3) ? 1 x0

x1 ? x 2


x1 x2 ? 2 x1 ? x 2

ln

x1 x2 ? 1 x0

2 ln x1 x2 ?

x1 x2 x1 x2

?2 ?1

ln



k ? f ?( x 0 )
t ? x1 x2



x1 ? x 2

,即 x1 ? x 2

,即

(*)





u ( t ) ? ln t ?

2t ? 2 t ?1

( 0 ? t ? 1 ),---------------------------------------------11分

u ?( t ) ?

( t ? 1)

2 2



t ( t ? 1)

>0.∴ u ( t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, ∴ u ( t ) ? u (1) ? 0 ,
k ? f ?( x 0 )

∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴ 因此,满足条件的
x0

不存在.-------------------------------------------------------------------14分

第 9 页 共 9 页


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