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2016年普通高等学校全国统一考试理科数学试题及答案 Word


2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.

/>第 Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
(1)已知 z ? (m ? 3) ? (m ? 1)i 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是
1? (A) ? ?3 , 3? (B) ? ?1 ,

(C) ?1, +? ?

? 3? (D) ? -? ,

【解析】A ∴ m ? 3 ? 0 , m ? 1 ? 0 ,∴ ?3 ? m ? 1 ,故选 A.

(2)已知集合 A ? {1 , 2 , 3} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,x ? Z} ,则 A ? B ? (A) ?1?
1, 2, 3? (C) ?0 ,

(B) {1,2}
1 ,2 , 3} (D) {?1 ,0 ,

【解析】C

x ? Z? , B ? x ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 , x ? Z ? ?x ?1 ? x ? 2 ,
1? ,∴ A ? B ? ?0 , 1, 2, 3? , ∴ B ? ?0 ,

?

?

故选 C.

? ? ? ? ? (3)已知向量 a ? (1, m) , b=(3, ?2) ,且 (a ? b) ? b ,则 m=

(A) ?8 【解析】D

(B) ?6

(C)6

(D)8

-1-

? ? a ? b ? ?4, m ? 2? ,
? ? ? ? ? ? ∵ (a ? b) ? b ,∴ (a ? b) ? b ? 12 ? 2(m ? 2) ? 0

解得 m ? 8 , 故选 D.

(4)圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 的圆心到直线 ax ? y ? 1 ? 0 的距离为 1,则 a= (A) ? 【解析】A 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0 化为标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 4? ? 4 ,
2 2

4 3

(B) ?

3 4

(C) 3

(D)2

4? , d ? 故圆心为 ?1,

a ? 4 ?1 a ?1
2

? 1 ,解得 a ? ? ,

4 3

故选 A.

(5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24 (B)18 (C)12 (D)9 【解析】B

E ? F 有 6 种走法, F ? G 有 3 种走法,由乘法原理知,共 6 ? 3 ? 18 种走法
故选 B. (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π

-2-

【解析】C 几何体是圆锥与圆柱的组合体, 设圆柱底面圆半径为 r ,周长为 c ,圆锥母线长为 l ,圆柱高为 h . 由图得 r ? 2 , c ? 2πr ? 4π ,由勾股定理得: l ? 22 ? 2 3

?

?

2

?4,

1 S表 ? πr 2 ? ch ? cl ? 4 π ? 16 π ? 8π ? 28 π , 2
故选 C.

(7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移 (A) x ? (C) x ?
kπ π ? ? k ? Z? 2 6

π 个单位长度,则平移后图象的对称轴为 12

(B) x ? (D) x ?

kπ π ? ? k ? Z? 2 6

kπ π ? ? k ? Z? 2 12 【解析】B

kπ π ? ? k ? Z? 2 12

π? ? 平移后图像表达式为 y ? 2sin 2 ? x ? ? , 12 ? ? π? π kπ π ? 令 2 ? x ? ? ? kπ + ,得对称轴方程: x ? ? ? k ? Z? , 12 ? 2 ? 2 6

故选 B.

(8) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图, 若输入的 x ? 2 , n ? 2 ,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s ?

-3-

(A)7 (B)12 (C)17 (D)34 【解析】C 第一次运算: s ? 0 ? 2 ? 2 ? 2 , 第二次运算: s ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 , 第三次运算: s ? 6 ? 2 ? 5 ? 17 , 故选 C.

?π ? 3 (9)若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin 2? = ?4 ? 5

(A) 【解析】D

7 25

(B)

1 5

(C) ?

1 5

(D) ?

7 25

7 ?? ? 3 ?π ? ? 2? π ∵ cos ? ? ? ? ? , sin 2? ? cos ? ? 2? ? ? 2cos ? ? ? ? ? 1 ? , 25 ?4 ? 5 ?2 ? ?4 ?

故选 D.

…,x n , y1 , y2 , …, yn , (10) 从区间 ? 0 , 1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x 2 , 构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ? ,…,? xn , yn ? ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到
的圆周率 ? 的近似值为 (A)
4n m

(B)

2n m

(C)

4m n

(D)

2m n

-4-

【解析】C
2, ??? , n ? 在如图所示方格中,而平方和小于 1 的点均在 由题意得: ? xi ,yi ? ? i ? 1,

如图所示的阴影中

π 4m 由几何概型概率计算公式知 4 ? m ,∴ π ? ,故选 C. n 1 n

(11)已知 F1 , F2 是双曲线 E: sin ?MF2 F1 ? (A) 2 【解析】A

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点,点 M 在 E 上, MF1 与 x 轴垂直, a 2 b2

1 ,则 E 的离心率为 3

(B)

3 2

(C) 3

(D)2

2 2 F1 F2 F F sin M 1 2 ? ? 3 ? 2. 离心率 e ? ,由正弦定理得 e ? MF2 ? MF1 MF2 ? MF1 sin F1 ? sin F2 1 ? 1 3

故选 A.

(12)已知函数 f ? x ?? x ? R ? 满足 f ? ? x ? ? 2 ? f ? x ? ,若函数 y ?
m

x ?1 与 y ? f ? x ? 图像的交点 x

为 ? x1 ,y1 ? , ? x2 ,y2 ? ,?, ? xm ,ym ? ,则 ? ? xi ? yi ? ? (
i ?1



(A)0 【解析】B

(B)m

(C)2m

(D)4m

1? 对称, 由 f ? x ? ? 2 ? f ? x ? 得 f ? x ? 关于 ? 0 ,

而y?

x ?1 1 1? 对称, ? 1 ? 也关于 ? 0 , x x

∴对于每一组对称点 xi ? xi ' ? 0 yi ? yi '=2 ,

-5-

∴ ? ? xi ? yi ? ? ? xi ? ? yi ? 0 ? 2 ?
i ?1 i ?1 i ?1

m

m

m

m ? m ,故选 B. 2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题为选考题,考生根据要求作答.
5 4 (13) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A ? , cos C ? , a ? 1 , 13 5

则b ? 【解析】
21 13



5 4 ∵ cos A ? , cos C ? , 13 5
sin A ? 3 12 , sin C ? , 5 13 63 , 65

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?

由正弦定理得:

b a 21 ? 解得 b ? . sin B sin A 13

(14) ? , ? 是两个平面,m,n 是两条线,有下列四个命题: ①如果 m ? n , m ? ? , n∥? ,那么 ? ? ? . ②如果 m ? ? , n∥ ? ,那么 m ? n . ③如果 a∥? , m ? ? ,那么 m∥? . ④如果 m∥ n , ?∥? ,那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等. 【解析】②③④

(15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看 了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡 片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3) 由题意得:丙不拿(2,3) , 若丙(1,2) ,则乙(2,3) ,甲(1,3)满足, 若丙(1,3) ,则乙(2,3) ,甲(1,2)不满足,

-6-

故甲(1,3) , (16)若直线 y ? kx ? b 是曲线 y ? ln x ? 2 的切线,也是曲线 y ? ln ? x ? 1? 的切线, b ? 【解析】 1 ? ln2
y ? ln x ? 2 的切线为: y ?
1 ? x ? ln x1 ? 1 (设切点横坐标为 x1 ) x1
1 x2 x ? ln ? x2 ? 1? ? x2 ? 1 x2 ? 1



y ? ln ? x ? 1? 的切线为: y ?

1 ?1 ? x ? x ?1 ? 1 2 ∴? ?ln x ? 1 ? ln ? x ? 1? ? x2 1 2 ? x2 ? 1 ?

解得 x1 ?

1 2

x2 ? ?

1 2

∴ b ? ln x1 ? 1 ? 1 ? ln 2 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , S7 ? 28 .记 bn ? ?lg an ? ,其中 ? x ? 表示不超过

x 的最大整数,如 ?0.9? ? 0 , ?lg 99? ? 1 . (Ⅰ)求 b1 , b11 , b101 ; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 1 000 项和. 【解析】⑴设 ?an ? 的公差为 d , S7 ? 7a4 ? 28 ,

∴ a4 ? 4 ,∴ d ?

a4 ? a1 ? 1 ,∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . 3

∴ b1 ? ?lg a1 ? ? ?lg1? ? 0 , b11 ? ?lg a11 ? ? ?lg11? ? 1 , b101 ? ?lg a101 ? ? ?lg101 ? ? 2 . ⑵记 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 T1000 ? b1 ? b2 ? ??? ? b1000
? ?lg a1 ? ? ?lg a2 ? ? ??? ? ?lg a1000 ? .

当 0 ≤ lg an ? 1时, n ? 1,2 ,???,9 ;
11,? ? ? ,99 ; 当 1 ≤ lg an ? 2 时, n ? 10 , 101,? ? ? ,999 ; 当 2 ≤ lg an ? 3 时, n ? 100 ,
-7-

当 lg an ? 3 时, n ? 1000 . ∴ T1000 ? 0 ? 9 ? 1? 90 ? 2 ? 900 ? 3 ?1 ? 1893 .

(18) (本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年 度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 保 费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a
≥5

2a

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 概 率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10
≥5

0.05

(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (Ⅱ)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60% 的概率; (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A ,
P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? (0.30 ? 0.15) ? 0.55 .

⑵设续保人保费比基本保费高出 60% 为事件 B ,
P ( B A) ? P ( AB ) 0.10 ? 0.05 3 ? ? . P ( A) 0.55 11

⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X .

X P
平均保费

0.85 a 0.30

a
0.15

1.25 a 0.20

1.5a
0.20

1.75 a 0.10

2a 0.05

EX ? 0.85 ? 0.30 ? 0.15a ? 1.25a ? 0.20 ? 1.5a ? 0.20 ? 1.75a ? 0.10 ? 2a ? 0.05 ?0.25 a5? 0a . 1? 5 a 0 .? 25 a ? 0.3 a0 ?. 1 7 a 5? 0a .1 , 1.23

∴平均保费与基本保费比值为 1.23 .

(19) (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB ? 5 , AC ? 6 ,点 E,F 分别在 AD,
-8-

CD 上, AE ? CF ?

5 ,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△ D?EF 的位置 OD? ? 10 . 4

(I)证明: D?H ? 平面 ABCD; (II)求二面角 B ? D ?A ? C 的正弦值.

【解析】⑴证明:∵ AE ? CF ? ∴

5 , 4

AE CF ? , AD CD

∴ EF ∥ AC . ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴ AC ? BD , ∴ EF ? BD , ∴ EF ? DH , ∴ EF ? D?H . ∵ AC ? 6 , ∴ AO ? 3 ; 又 AB ? 5 , AO ? OB , ∴ OB ? 4 , ∴ OH ?

AE ? OD ? 1 , AO

∴ DH ? D?H ? 3 , ∴ OD? ? OH ? D ' H , ∴ D ' H ? OH . 又∵ OH I EF ? H , ∴ D' H ? 面 ABCD . ⑵建立如图坐标系 H ? xyz .
2 2 2

-9-

B ?5 , 0, 0 ? , C ?1, 3, 0? , D ' ? 0 , 0, 3? , A ?1, ? 3, 0? ,

uu u r uuur uuu r AB ? ? 4 , 3, 0? , AD ' ? ? ?1, 3, 3? , AC ? ? 0 , 6, 0? , u r 设面 ABD ' 法向量 n1 ? ? x ,y ,z ? ,

? ? ? ??? ? ?x ? 3 ? ?4 x ? 3 y ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? 由 ?? 得 ,取 ? ? ???? ? ? ? y ? ?4 , ? x ? 3 y ? 3 z ? 0 ? n ? AD ? 0 ? ? ?z ? 5 ? 1 ?
u r ∴ n1 ? ?3 , ? 4, 5? . u u r 同理可得面 AD ' C 的法向量 n2 ? ?3 , 0, 1? ,

u r u u r n1 ? n2 9?5 7 5 ? ∴ cos? ? u , r u u r ? 25 n1 n2 5 2 ? 10
∴ sin ? ?
2 95 . 25

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k (k ? 0) 的直线交 E 于 A, t 3

M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当 t ? 4 , AM ? AN 时,求△AMN 的面积; (II)当 2 AM ? AN 时,求 k 的取值范围. 【解析】 ⑴当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 0? , ? ? 1 ,A 点坐标为 ? ?2 , 4 3

则直线 AM 的方程为 y ? k ? x ? 2? .

- 10 -

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 3 联立 ? 4 并整理得, 3 ? 4k x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 ? y ? k ? x ? 2? ?

?

?

解得 x ? ?2 或 x ? ?

8k 2 ? 6 12 8k 2 ? 6 2 AM ? 1 ? k ? ? 2 ? 1? k2 ? ,则 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 3 ? 4k
2

? 1? AN ? 1 ? ? ? ? ? AM ? AN 因为 ,所以 ? k?

12 ? 1? 3 ? 4 ? ?1 ? ? ? k?
2

? 1? k2 ?

12 3k ? 4 k

因为 AM ? AN , k ? 0 ,
1? k2 ? 12 12 ? 1? k2 ? 2 4 ,整理得 ? k ? 1? 4k 2 ? k ? 4 ? 0 , 3 ? 4k 3k ? k

所以

?

?

4k 2 ? k ? 4 ? 0 无实根,所以 k ? 1 .

所以 △ AMN 的面积为

1 1? 12 ? 144 2 AM ? ? 1 ? 1 ? . ? ? 2 2? 3? 4? 49

2

⑵直线 AM 的方程为 y ? k x ? t ,

?

?

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 3 联立 ? t 并整理得, 3 ? tk x ? 2t tk x ? t k ? 3t ? 0 ?y ? k x ? t ?

?

?

?

?

解得 x ? ? t 或 x ? ?

t tk 2 ? 3 t , 3 ? tk 2

2 所以 AM ? 1 ? k ?

t tk 2 ? 3 t 6 t ? t ? 1? k2 ? 2 3 ? tk 3 ? tk 2
6 t

所以

AN ? 1 ? k 2 ?

3k ?

t k

因为 2 AM ? AN
2 ? 1? k2 ? 6 t 6 t 6k 2 ? 3k ? 1? k2 ? 2 . t ,整理得, t ? 3 3 ? tk 3k ? k ?2 k

所以

因为椭圆 E 的焦点在 x 轴,所以 t ? 3 ,即

6k 2 ? 3k ? k 2 ? 1? ? k ? 2? ? 0 ? 3 ,整理得 k3 ? 2 k3 ? 2

解得 3 2 ? k ? 2 .

- 11 -

(21) (本小题满分 12 分) (I)讨论函数 f (x) ?
x?2 x e 的单调性,并证明当 x ? 0 时, ( x ? 2)ex ? x ? 2 ? 0; x?2

(II)证明:当 a ? [0,1) 时,函数 g ? x ? = 求函数 h(a) 的值域. 【解析】⑴证明: f ? x ? ?

ex ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g ? x ? 的最小值为 h(a) , x2

x?2 x e x?2
? x2e x ?? ? ? x ? 2 ?2 ?

? x?2 4 f ?? x? ? ex ? ? ? x ? 2 ? x ? 2 ?2 ?

∵当 x ? ? ?? , ? 2? ? ? ?2 , ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ∴ f ? x ? 在 ? ?? , ? 2? 和? ?2 , ? ? ? 上单调递增 ∴ x ? 0 时,

x?2 x e ? f ? 0? = ? 1 x?2

∴ ? x ? 2? e x ? x ? 2 ? 0 ⑵ g?? x? ?
?

?e

x

? a ? x 2 ? 2 x ? e x ? ax ? a ? x4

x ? xe x ? 2e x ? ax ? 2a ? x4

?

? x ? 2? ? ?

x?2 x ? ?e ? a? ?x?2 ? x3

a ? ?0 , 1?

由(1)知,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 使得

x?2 x ? e 的值域为 ? ?1, ? ? ? ,只有一解. x?2

t ?2 t ? e ? ?a , t ? ? 0 ,2? t?2

当 x ? (0, t ) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调减;当 x ? (t , ??) 时 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调增
h?a? ? et ? a ? t ? 1? t2 et ? ? t ? 1? t?2 t ?e et t?2 ? t2 t?2

?

记 k ?t ? ?

et ? t ? 1? et ,在 t ? ? 0 , 2? 时, k ? ? t ? ? ? 0 ,∴ k ? t ? 单调递增 2 t?2 ?t ? 2?

? 1 e2 ? ∴ h ? a ? ? k ?t ? ? ? , ? . ?2 4 ?

- 12 -

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (II)若 AB ? 1 ,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

【解析】 (Ⅰ)证明:∵ DF ? CE ∴ Rt△DEF ∽ Rt△CED ∴ ?GDF ? ?DEF ? ?BCF
DF CF ? DG BC

∵ DE ? DG , CD ? BC ∴
DF CF ? DG BC

∴ △GDF ∽ △BCF ∴ ?CFB ? ?DFG ∴ ?GFB ? ?GFC ? ?CFB ? ?GFC ? ?DFG ? ?DFC ? 90? ∴ ?GFB ? ?GCB ? 180? . ∴B,C,G,F 四点共圆. (Ⅱ)∵E 为 AD 中点, AB ? 1 , ∴ DG ? CG ? DE ?
1 , 2

∴在 Rt△ GFC 中, GF ? GC , 连接 GB , Rt△BCG≌Rt△BFG ,

1 1 1 ∴ S四边形BCGF ? 2S△BCG =2 ? ?1? = . 2 2 2

- 13 -

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ? x ? 6? ? y 2 ? 25 .
2

(I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;
? x ? t cos ? (II)直线 l 的参数方程是 ? (t 为参数) ,l 与 C 交于 A、B 两点, AB ? 10 ,求 l ? y ? t sin ?

的斜率. 【解析】解:⑴整理圆的方程得 x2 ? y 2 ? 12 ? 11 ? 0 ,

? ? 2 ? x2 ? y 2 ? 由 ? ? cos ? ? x 可知圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 12? cos? ? 11 ? 0 . ? ? sin ? ? y ?
⑵记直线的斜率为 k ,则直线的方程为 kx ? y ? 0 ,
? 10 ? ? 25 ? ? 由垂径定理及点到直线距离公式知: ? 2 ? ? , 2 1? k ? ? ?6k
2



5 15 36k 2 90 2 . ? ,整理得 k ? ,则 k ? ? 3 3 1? k2 4

(24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? (I)求 M; (II)证明:当 a, b ? M 时, a ? b ? 1 ? ab .
1 1 ? x ? ,M 为不等式 f ? x ? ? 2 的解集. 2 2

1 1 1 1 【解析】解:⑴当 x ? ? 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? ?2x ,若 ?1 ? x ? ? ; 2 2 2 2
1 1 1 1 当 ? ≤ x ≤ 时, f ? x ? ? ? x ? x ? ? 1 ? 2 恒成立; 2 2 2 2

当x?

1 1 时, f ? x ? ? 2x ,若 f ? x ? ? 2 , < x ? 1 . 2 2

综上可得, M ? ?x | ?1 ? x ? 1? . ⑵当 a , b ? ? ?1, 1? 时,有 a2 ? 1 b2 ? 1 ? 0 , 即 a 2b2 ? 1 ? a 2 ? b2 , 则 a 2b2 ? ?2ab ? 1 ? a 2 ? 2ab ? b2 , 则 ? ab ? 1? ? ? a ? b? ,
2 2

?

??

?

- 14 -

即 a ? b ? ab ? 1 , 证毕.

- 15 -


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