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2014-2015学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学(2)(函数1)


2014-2015 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(二) (函数 1)
命题人:黄润华 学校:江西师大附中 审题人:孙建民 学校:南昌市教研室 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f (?

1) ? g (1) ? 2, f (1) ? g (?1) ? 4 ,则 g (1) 等于 A.4 B .3 C .2 D.1 2.函数 y ? x ln(1 ? x) 的定义域为 A.(0,1) B.(0,1] 3.若函数 y ? ax 与 y ? ? C.[0,1) D.[0,1]

b 在 (0,??) 上都是减函数,则 y ? ax2 ? bx 在 (0,??) 上 x
D.先减后增

A.单调递减 B.单调递增 C.先增后减 4.下列函数中,在 (?1,1) 内有零点且单调递增的是 A. y ? log 2 ( x ? 2) B. y ? 2 ? 1
x

1 3 D. y ? ? x 2 a ? b ? c 5.若 ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c)的两个零点
C. y ? x 2 ? 分别位于区间 A. ( a, b) , (b, c ) B. (??, a) , ( a, b) C. (b, c ) , (c, ??) D. (??, a) , (c, ??)

6.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 在 ( ??, a ) 上是增函数,且函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数, 当 x1 ? a, x2 ? a ,且 x1 ? a ? x2 ? a 时,有 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 7.设函数 g ( x) ? x 2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) ? f ( x2 )

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x), ,则 f ( x) 的值域是 ? g ( x) ? x, x ? g ( x) 9 9 9 ? ?) A. [? , 0] (1, ??) B. [0, C. [? , ??) D. [? , 0] (2, ??) 4 4 4 8.已知函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3) , y ? f ( x ? 1) 的图像关于 )? 点 (1,0) 对称,且 f (1) ? 4 ,则 f (2015 A.0 B. ? 4 C. ? 8 D. ? 16 9.函数 y ? f ( x) , x ? D ,若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使


f ( x1 ) f ( x2 ) ? C ,则称函数 f ( x) 在 D 上的几何平均数为 C . 已知 f ( x) ? x3 , x ? [1, 2] ,则函数 f ( x) 在 [1, 2] 上的几何平均数为
B .2 C .4
2

A. 2

D. 2 2

10.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300m 的 内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x (单位: m )的取值范围是 A. [15,20] B. [12,25] C. [10,30] D. [ 20,30]

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题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上. 11.若 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为 12.已知函数 f ( x) 是定义在 (??, 0)



(0, ??) 上的奇函数,在 (0, ??) 上单调递减,且

1 f ( ) ? f (? 3 ) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 的根的个数为 . 2 13.若存在正数 x 使 2 x ( x ? a) ? 1成立,则 a 的取值范围是 . 4x 14.若函数 f ( x ) ? 2 在区间 (m,2m ? 1) 上是单调递增函数,则 m 的取值范围是 . x ?1 15.若函数 y ? f ( x) 的值域是 [1,3] ,则函数 F ( x) ? 1 ? 2 f ( x ? 3) 的值域是 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤. 16.已知 f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 0, ?2 ? x, x ? 0. (1)求 f [ g (2)] 和 g[ f (2)] 的值; (2)求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] 的表达式.

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17. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 且对任意 a, b ? R , 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) . 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立, f (3) ? ?3. (1)证明:函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y ? f ( x) 是奇函数; (3)试求函数 y ? f ( x) 在 [m, n](m, n ? N * ) 上的值域. .

18 .已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) .若 f(x) 为奇函数,且当

0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?

1 1 x ,求使 f ( x) ? ? 在区间 [0,2014] 上的所有 x 的个数. 2 2

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19.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x ,恒有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) . 当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? x 2 . (1)求证: f ( x ) 是周期函数; (2)当 x ? [2, 4] 时,求 f ( x ) 的解析式; (3)计算 f (0) ? f (1) ? f (2) ? L ? f (2014) .

高三数学(二)第 4 页 共 6 页

20. (1)已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,且当 x ? R 时, f (m ? x) ? f (m ? x) 恒成 立,求证 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? m 对称; (2)若函数 y ? log 2 | ax ? 1| 的图象的对称轴是 x ? 2 ,求非零实数 a 的值.

高三数学(二)第 5 页 共 6 页

2 21.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 4 ? 2b ? b 2 ? x , g ( x) ? ? 1 ? ( x ? a ) (a, b ? R).

(1)当 b ? 0 时,若 f ( x ) 在 (??,2] 上单调递减,求 a 的取值范围; (2) 求满足下列条件的所有整数对 ( a, b) : 存在 x0 , 使得 f ( x0 )是f ( x) 的最大值, g ( x0 )是g ( x) 的最小值.

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2014-2015 学年度南昌市新课标高三第一轮复习训练题

数学(二)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 A 6 A 7 D 8 B 9 D 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分 11. (?1 , ? ?) 12. (??, ?1) (0, ??) 13. (?1, ? ?) 14.(-1,0] 15. [?5, ? 1] 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,∴f[g(2)]=f(1)=0,g[f(2)]=g(3)=2. (2)当 x≥0 时,g(x)=x-1,? f[g(x)]=(x-1)2-1=x2-2x; 当 x<0 时, g(x)=2-x,? f[g(x)]=(2-x)2-1=x2-4x+3;

? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? f [ g ( x)] ? ? 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 0. 当 x≥1 或 x ? ?1 时,f(x)≥0,? g[f(x)]=f (x)-1=x2-2; 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,? g[ f ( x)] ? 2 ? f ( x) ? 3 ? x 2 .
? x 2 ? 2, x ? 1或x ? ?1, ? g[ f ( x)] ? ? 2 ? 3 ? x ,?1 ? x ? 1. 17. (1)证明:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1), 故 f(x)是 R 上的减函数. (2)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立, ∴可令 a=-b=x,则有 f(x)+f(-x)=f(0). 又令 a=b=0,则有 f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 从而任意的 x ? R ,f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x).? y ? f ( x) 是奇函数. (3)解:? y ? f ( x) 是 R 上的单调递减函数,? y ? f ( x) 在 [m, n] 上也是减函数, 故 f(x)在 [m, n] 上的最大值 f(x)max=f(m),最小值 f(x)min=f (n). ? f (n) ? f [1 ? (n ? 1)] ? f (1) ? f (n ? 1) ? ? ? nf (1) ,同理 f(m)=mf(1). 又 f(3)=3f(1)=-3,? f (1) ? ?1, ? f (m) ? ?m, f (n) ? ?n. ? y ? f ( x) 在 [m, n] 上的值域为 [?n,?m]. 18. 解:当 0≤x≤1 时, f ( x ) ?

1 1 1 x ,设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1,∴ f (? x) ? (? x) ? ? x 2 2 2 1 1 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴ ? f ( x ) ? ? x ,即 f ( x ) ? x . 2 2 1 ? f ( x) ? x(?1 ? x ? 1). 2
1 又设 1<x<3,则-1<x-2<1. ∴f(x-2)= (x-2). 2 又

f ( x ? 2) ? ? f (2 ? x) ? ? f [(? x) ? 2] ? ?[? f (? x)] ? ? f ( x) ,? ? f ( x) ?

1 ( x ? 2). 2

高三数学(二)第 7 页 共 6 页

? 1 x,?1 ? x ? 1, ? 1 ? f ( x) ? ? ( x ? 2)(1 ? x ? 3) .? f ( x) ? ? 2 1 2 ?? ( x ? 2),1 ? x ? 3. ? 2 1 由 f ( x ) ? ? ,解得 x ? ?1 . 2
又∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),

? f ( x) 是以 4 为周期的周期函数.? f ( x) ? ?
令 0 ? 4n ? 1 ? 2014 ,则

1 的所有 x ? 4n ? 1(n ? Z ) . 2

1 2015 ?n? (n ? Z ). , 又? n ? Z ,?1 ? n ? 503 4 4 1 ] 上共有 503 个 x 使 f ( x) ? ? . ∴在 [0,2014 2 19.解: (1)? f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,? f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x). ? f ( x) 是周期为 4 的周期函数. (2)当 x ?[?2,0] 时, ? x ? [0,2] ,由已知得 f (? x) ? 2(? x) ? (? x) 2 ? ?2 x ? x 2 . 又 f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ? ?2 x ? x 2 ,? f ( x) ? x 2 ? 2 x. 又当 x ? [2,4] 时, x ? 4 ?[?2,0] ,? f ( x ? 4) ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? 4). 又 f ( x) 是周期为 4 的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. ? 当 x ? [2,4] 时, f ( x) ? x 2 ? 6x ? 8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又 f ( x) 是周期为 4 的周期函数, f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) ? ? ? f(2 008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. 又 f(2012)+f (2013) ? f (2014) ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? 1 ,

? f (0) ? f (1) ? f (2) ?

? f (2014) ? 1.

20.解: (1)设 P(x0,y0)是 y=f(x)图象上任意一点,则 y0=f(x0). 又 P 点关于 x=m 的对称点为 P′,则 P′的坐标为(2m-x0,y0). 又 f(x+m)=f(m-x), 得 f(2m-x0)=f[m+(m-x0)]=f[m-(m-x0)]=f(x0)=y0. 即 P′(2m-x0,y0)在 y=f(x)的图象上.∴y=f(x)的图象关于直线 x=m 对称. (2)对定义域内的任意 x,有 f(2-x)=f(2+x)恒成立. ∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立,即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立. 又? a ? 0 ,? 2a ? 1 ? 0 ,? a ?

21.解: (1)当 b ? 0 时, f ? x ? ? ax2 ? 4 x , 若 a ? 0 , f ? x ? ? ?4 x ,则 f ? x ? 在 (??,2] 上单调递减,符合题意;
? a ? 0, ? 若 a ? 0 ,要使 f ? x ? 在 (??,2] 上单调递减,必须满足 ? 4 ? 2, ? ? 2a ∴ 0 ? a ? 1 .综上所述, a 的取值范围是 [0,1] .

1 . 2

(2)若 a ? 0 , f ? x ? ? ?2 4 ? 2b ? b2 x ,则 f ? x ? 无最大值,故 a ? 0 ,∴ f ? x ? 为二次函数,

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? a ? 0, 要使 f ( x) 有最大值,必须满足 ? 即 a ? 0 且1 ? 5 ? b ? 1 ? 5 , 2 ?4 ? 2b ? b ? 0,
2 此时, x0 ? 4 ? 2b ? b 时, f ? x ? 有最大值.又 g ? x ? 取最小值时, x0 ? a , a
2 2 依题意,有 4 ? 2b ? b ? a ? Z ,则 a 2 ? 4 ? 2b ? b 2 ? 5 ? ? b ? 1? , a ∵ a ? 0 且 1 ? 5 ? b ? 1 ? 5 ,∴ 0 ? a2 ? 5 ? a ? Z? ,得 a ? ?1 ,此时 b ? ?1 或 b ? 3 .

∴满足条件的整数对 ? a, b ? 是 ? ?1, ? 1? , ? ?1, 3? .

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