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2011年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学


2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)



学(文科)

2011.4

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)

填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的, 答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.复数 z ? a ? bi ? a, b?R ? 的实部记作 Re ? z ? ? a ,则 Re ?

? 1 ? ?? ? 2?i?
D. ?

A.

2 3

B.

2 5

C. ?

1 5

1 3

2.函数 y ? 1 ? 2x 的定义域为集合 A ,函数 y ? ln ? 2x ? 1? 的定义域为集合 B ,则 A ? B ? A. ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

C. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

D. ? , ?? ?

?1 ?2

? ?

3.已知向量 a = ?1,2? , b = ? x,4? ,若 b ? 2 a ,则 x 的值为 A. 2 B.4
n

C. ?2

D. ?4

4.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ?1? A. ?55 B. ?5

? n ? 1? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a10 ?
C.5 D.55

1 的概率为 3 17 7 2 A. B. C. 18 9 9 1 1 6.设 a , b 为正实数,则“ a ? b ”是“ a ? ? b ? ”成立的 a b
5.在区间 ? 0,1? 内任取两个实数,则这两个实数的和大于 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 数学(文科)试题 A C.充要条件 第 1 页 共 14 页

D.

1 18

D.既不充分也不必要条件

7.已知 f1 ? x? ? sin x ? cos x , fn?1 ? x ? 是 fn ? x ? 的导函数,即 f 2 ? x ? ? f1? ? x ? , f3 ? x ? ? f 2? ? x ? ,?,

f n ?1 ? x ? ? f n? ? x ? , n ? N* ,则 f2011 ? x ? ?
A. sin x ? cos x B. sin x ? cos x C. ? sin x ? cos x D. ? sin x ? cos x 8.一条光线沿直线 2 x ? y ? 2 ? 0 入射到直线 x ? y ? 5 ? 0 后反射,则反射光线所在的直线方程为 A. 2 x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 2 y ? 9 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 2 y ? 7 ? 0

9.点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 内一点,且满足 AP ? 1 棱 AB 的距离为 A.

??? ?

? 3 ??? 1 ???? 2 ???? AB ? AD ? AA1 ,则点 P 到 4 2 3

5 6

B.

3 4
2

C.

13 4

D.

145 12

10.如果函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ? a ? 0 ? 没有零点,则 a 的取值范围为 A. ? 0,1? B. ? 0,1? ?

?

2, ??

?

C. ? 0,1? ? ? 2,???

D. 0, 2 ? ? 2,???

?

?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.若 tan ? ?

1 ?? ? ,则 tan ? ? ? ? 的值为 2 4? ?



2 12.若关于 x 的不等式 m ? x ?1? ? x ? x 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,则实数 m 的值为

?

?



13.将正整数12分解成两个正整数的乘积有 1 ? 12 , 2 ? 6 , 3 ? 4 三种,其中 3 ? 4 是这三种分解中,两数
* 差的绝对值最小的, 我们称 3 ? 4 为12的最佳分解. p ? q p ? q且p, q ? N 是正整数 n 的最佳分解 当

?

?

时,我们规定函数 f ? n ? ? ② f ? 24 ? ?

p 3 1 ,例如 f ?12 ? ? .关于函数 f ? n ? 有下列叙述:① f ? 7 ? ? , 4 7 q
(填入所有正确的序号) .

3 4 9 , f ? 28 ? ? , f ?144 ? ? ③ ④ .其中正确的序号为 8 7 16

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)在梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? 2 , BC ? 5 ,点 E 、 F 分别在 AB 、

CD 上,且 EF ? AD ,若

AE 3 ? ,则 EF 的长为 EB 4



15.坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2, ( 线 l 的极坐标方程为 ... . 数学(文科)试题 A

? ?

??

? ? ,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 3 ,则直 6?

第 2 页 共 14 页

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学 生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记 忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 听觉 记忆 能力 偏低 中等 偏高 超常 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 偏高 5 3 0 1 超常 1

b
1 1

a
2

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能 力为中等或中等以上的概率为

2 . 5

(1)试确定 a 、 b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 1 人,求此人听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的 概率.

17. (本小题满分12分) 如图1,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60 方向的 B 处,且与岛屿 A 相距12 海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔 船甲同时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度; 西 (2)求 sin ? 的值.
?

北 C

?
B

60?

A



18. (本小题满分14分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? 55 , S20 ? 210 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

南 图1

an * ,是否存在 m 、 k ? k ? m ? 2, k , m ? N ? ,使得 b1 、bm 、bk 成等比数列.若存在, an ?1

求出所有符合条件的 m 、 k 的值;若不存在,请说明理由.

数学(文科)试题 A

第 3 页 共 14 页

19. (本小题满分14分)

B C 一个几何体是由圆柱 ADD1 A 和三棱锥 E ? ABC 组合而成, A 、 、 在圆 O 的圆周上, (主) 点 其正 1

AB 视图、(左) 侧 视图的面积分别为 10 和 12, 如图 2 所示, 其中 EA ? 平面ABC ,AB ? AC , ? AC ,
AE ? 2 .
(1)求证: AC ? BD ; (2)求三棱锥 E ? BCD 的体积. E C A1
1

E

E

O B

A

A1

O

A

A

D1
1

D D1
正 (主) 视图

D 侧(左)视图

图2 20. (本小题满分14分) 对定义域分别是 F 、 G 的函数 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) ,规定:

? f ? x ? ? g ? x ? , 当x ? F 且x ? G, ? 函数 h ? x ? ? ? f ? x ? , 当x ? F 且x ? G, ? 当x ? F 且x ? G. ?g ? x? ,
已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? alnx ? a?R ? .
2

(1)求函数 h ? x ? 的解析式; (2)对于实数 a ,函数 h ? x ? 是否存在最小值,如果存在,求出其最小值;如果不存在,请说明理由.

21. (本小题满分14分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O : x2 ? y 2 ? b2 (其中原点 O 为圆心) ,过双曲线上 2 a b

一点 P ? x0 , y0 ? 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B . (1)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ,求双曲线离心率 e 的取值范围;
?

(2)求直线 AB 的方程; (3)求三角形 OAB 面积的最大值. 数学(文科)试题 A 第 4 页 共 14 页

2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力, 1. 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的 分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 A 6 C 7 D 8 D 9 A 10 C

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.3 15. ? sin ? 12.2 13.①③ 14.

23 7

4? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 或 ? cos ? ? ? ? ? 1 或 ? sin ? ? ? ? ? 1 或 3? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 3 ? ?3 ? ? ?6 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查概率与统计的概念,考查运算求解能力等. ) 解: 由表格数据可知视觉记忆能力恰为中等, (1) 且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 ?10 ? a ? 人. 记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A , 则 P( A) ?

10 ? a 2 ? , ???????????????????????????????4 分 40 5

解得 a ? 6 . ????????????????????????????????????5 分 因为 32 ? a ? b ? 40 ,所以 b ? 2 . 答: a 的值为 6, b 的值为 2.?????????????????????????????7 分 (2)由表格数据可知,听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生有 ?11 ? b? 人, 由(1)知,b ? 2 ,即听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 13 人. ?????????9 分 记“听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 B , 则 P ? B? ?

11 ? b 13 ? . 40 40 13 .???????12 分 40

答:听觉记忆能力恰为中等,且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率为 数学(文科)试题 A 第 5 页 共 14 页

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力等. ) 解: (1)依题意, ?BAC ? 120? , AB ? 12 , AC ? 10 ? 2 ? 20 , ?BCA ? ? .?????????2分 在△ ABC 中,由余弦定理,得 北 C

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ????????4分 ? 122 ? 202 ? 2 ?12 ? 20 ? cos120? ? 784 .
解得 BC ? 28 .?????????????????????6分

BC ? 14 海里/小时. 2 答:渔船甲的速度为 14 海里/小时.?????????????7分
所以渔船甲的速度为
? (2)方法1:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , ?BAC ? 120 , BC ? 28 ,

西

?
B

60?

A





?BCA ? ? ,
由正弦定理,得

AB BC ? .??????????????????????????9分 sin ? sin120?
?

即 sin ? ?

AB sin120 ? BC

12 ?

3 2 ?3 3. 28 14

答: sin ? 的值为

3 3 .??????????????????????????????12 分 14

方法2:在△ ABC 中,因为 AB ? 12 , AC ? 20 , BC ? 28 , ?BCA ? ? , 由余弦定理,得 cos ? ?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 .??????????????????????9分 2 AC ? BC

202 ? 282 ? 122 13 ? . 即 cos ? ? 2 ? 20 ? 28 14
3 3 ? 13 ? 因为 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 14 ? 14 ?
2 2

答: sin ? 的值为

3 3 .??????????????????????????????12 分 14

数学(文科)试题 A

第 6 页 共 14 页

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识,考查方程思想以及运算求解能力. ) 解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d .???????????????1 分 2

10 ? 9 ? ?10a1 ? 2 d ? 55, 由已知,得 ? ???????????????????????????3 分 ? 20 ?19 ?20a ? d ? 210. ? 1 ? 2
?2a ? 9d ? 11, ?a ? 1, 即? 1 解得 ? 1 ????????????????????????????5 分 ?d ? 1. ?2a1 ? 19d ? 21.
所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? n ( n ? N? ) .????????????????????????6 分 (2)假设存在 m 、 k ? k ? m ? 2, m, k ?N? ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列, 则 bm2 ? b1bk .???????????????????????????????????7 分 因为 bn ? 所以 b1 ?

an n ,???????????????????????????????8 分 ? an ?1 n ? 1
1 m k , bm ? , bk ? . 2 m ?1 k ?1
2

所以 ?

k ? m ? 1 .?????????????????????????????9 分 ? ? ? ? m ?1 ? 2 k ?1
2m 2 .????????????????????????????10 分 ? m 2 ? 2m ? 1

整理,得 k ?

以下给出求 m , k 的三种方法:
2 方法 1:因为 k ? 0 ,所以 ?m ? 2m ? 1 ? 0 .?????????????????????11 分

解得 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2 .?????????????????????????????12 分 因为 m ? 2, m ? N ,
*

所以 m ? 2 ,此时 k ? 8 . 故存在 m ? 2 、 k ? 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.?????????????????14 分

2m 2 ? m .???????????????????11 分 方法 2:因为 k ? m ,所以 k ? ? m 2 ? 2m ? 1

数学(文科)试题 A

第 7 页 共 14 页

m2 ? 1 2m ? 1 ? 0 ,即 2 ? 0. 即 2 m ? 2m ? 1 m ? 2m ? 1
解得 ?1 ? m ? 1 ? 2 或 1 ? m ? 1 ? 2 . ????????????????????????12 分 因为 m ? 2, m ? N* , 所以 m ? 2 ,此时 k ? 8 . 故存在 m ? 2 、 k ? 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.?????????????????14 分

2m 2 ? 2 .?????????????????11 分 方法 3:因为 k ? m ? 2 ,所以 k ? ? m 2 ? 2m ? 1


m2 2m 2 ? 2m ? 1 ? 1 ? 0 ,即 2 ?0. m 2 ? 2m ? 1 m ? 2m ? 1
1? 3 1? 3 或 ? m ? 1 ? 2 .???????????????????12 分 2 2

解得 1 ? 2 ? m ?

因为 m ? 2, m ? N* , 所以 m ? 2 ,此时 k ? 8 . 故存在 m ? 2 、 k ? 8 ,使得 b1 、 bm 、 bk 成等比数列.?????????????????14 分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查锥体体积,空间线线、线面关系,三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以 及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. ) (1)证明:因为 EA ? 平面ABC , AC ? 平面ABC ,所以 EA ? AC ,即 ED ? AC . 又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ? BD .????????????????????????4 分 (2)解:因为点 A 、 B 、 C 在圆 O 的圆周上,且 AB ? AC ,所以 BC 为圆 O 的直径. 设圆 O 的半径为 r ,圆柱高为 h ,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

1 ? ?2rh ? 2 r ? 2 ? 10, ? ????????????????6 分 ? ?2rh ? 1 ? 2r ? 2 ? 12. ? ? 2

E C A1
1

O B

A

? r ? 2, 解得 ? ? h ? 2.

D1
1

D

所以 BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 .???????????????????????????8 分 数学(文科)试题 A 第 8 页 共 14 页

以下给出求三棱锥 E ? BCD 体积的两种方法: 方法 1:由(1)知, AC ? 平面 EBD ,

1 S ?EBD ? CA .????????????????????????10 分 3 因为 EA ? 平面ABC , AB ? 平面ABC , 所以 EA ? AB ,即 ED ? AB .
所以 VE ? BCD ? VC ? EBD ? 其中 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 AB ? AC , AB ? AC ? 2 2 ,

1 1 ? ED ? AB ? ? 4 ? 2 2 ? 4 2 .???????????????????13 分 2 2 1 16 所以 VE ? BCD ? ? 4 2 ? 2 2 ? .?????????????????????????14 分 3 3 方法 2:因为 EA ? 平面ABC , 1 1 1 所以 VE ? BCD ? VE ? ABC ? VD ? ABC ? S ?ABC ? EA ? S ?ABC ? DA ? S ?ABC ? ED .???????10 分 3 3 3
所以 S?EBD ? 其中 ED ? EA ? DA ? 2 ? 2 ? 4 ,因为 AB ? AC , AB ? AC ? 2 2 , 所以 S?ABC ? 所以 VE ? BCD

1 1 ? AC ? AB ? ? 2 2 ? 2 2 ? 4 .???????????????????13 分 2 2 1 16 ? ? 4 ? 4 ? .????????????????????????????14 分 3 3

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查分段函数、导数、函数的单调性和最值等基础知识,考查分类讨论思想,以及运算求解 能力和推理论证能力等. ) 解: (1)因为函数 f ? x ? ? x 的定义域 F ? ? ??, ??? ,函数 g ? x ? ? a ln x 的定义域 G ? ? 0, ??? ,
2

? x 2 ? a ln x, ? 所以 h ? x ? ? ? 2 ?x , ?
2

x ? 0, x≤0.

??????????????????????????4 分

(2)当 x≤0 时,函数 h ? x ? ? x 单调递减, 所以函数 h ? x ? 在 ? ??,0? 上的最小值为 h ? 0? ? 0 . ????????????????????5 分 当 x ? 0 时, h ? x ? ? x ? a ln x .
2 2 若 a ? 0 ,函数 h ? x ? ? x 在 ? 0,??? 上单调递增.此时,函数 h ? x ? 不存在最小值.?????6 分

若 a ? 0 ,因为 h? ? x ? ? 2 x ?
2

a 2x2 ? a ? ? 0 ,?????????????????????7 分 x x

所以函数 h ? x ? ? x ? a ln x 在 ? 0,??? 上单调递增.此时,函数 h ? x ? 不存在最小值.?????8 分 数学(文科)试题 A 第 9 页 共 14 页

? a ?? a? 2 ? x ? ? ?? x ? ? ? 2 ?? 2? 2 x2 ? a 若 a ? 0 ,因为 h? ? x ? ? ,??????????????9 分 ? ? x x
所以函数 h ? x ? ? x ? a ln x 在 ? 0, ?
2

? ? ?

? ? a? a ? 上单调递减,在 ? ? , ?? ? 上单调递增.此时,函数 h ? x ? ? ? ? 2? 2 ? ?

的最小值为 h ? ?

? ? ?

a? ? .???????????????????????????????10 分 2? ?

因为 h ? ?

? ? ?

a? a a a a ? a? a? ? a ?? ?????????11 分 ? ? ? ? a ln ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? , 2? 2 2 2 2 ? 2? 2? ? 2 ?? ? ? ? ? ? a? a? ?≥0 ,当 a ? ?2e 时, h ? ? ? ? 0 .??????????13 分 ? ? 2? 2? ? ?

所以当 ?2e≤a ? 0 时, h ? ?

综上可知,当 a ? 0 时,函数 h ? x ? 没有最小值;当 ?2e≤a≤0 时,函数 h ? x ? 的最小值为 h ? 0? ? 0 ; 当 a ? ?2e 时,函数 h ? x ? 的最小值为 h ? ?

? ? ?

a? a? ? a ?? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? .???????????14 分 ? 2? 2? ? 2 ??

21. (本小题满分14分) (本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及 分类讨论思想与创新意识等. ) 解: (1)因为 a ? b ? 0 ,所以
?

c b ? 1 ,所以 e ? ? a a

a 2 ? b2 ?b? ? 1 ? ? ? ? 2 .???????1 分 a ?a?
2

由 ?APB ? 90 及圆的性质,可知四边形 PAOB 是正方形,所以 OP ?

2b .
2

c a 2 ? b2 b 2 6 ?b? ? 1? ? ? ? 因为 OP ? 2b ? a ,所以 ? ,所以 e ? ? .?????3 分 a a a 2 2 ?a?
故双曲线离心率 e 的取值范围为 ?

? 6 ? , 2 ? .??????????????????????4 分 ? ? 2 ?

(2)方法 1:因为 PA2 ? OP2 ? OA2 ? x02 ? y02 ? b2 ,
2 2 2 所以以点 P 为圆心, PA 为半径的圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x0 ? y0 ? b .???5 分 2 2

因为圆 O 与圆 P 两圆的公共弦所在的直线即为直线 AB ,?????????????????6 分

? x 2 ? y 2 ? b2 , ? 所以联立方程组 ? ??????????????????7 分 2 2 2 2 2 ?? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x0 ? y0 ? b . ?
数学(文科)试题 A 第 10 页 共 14 页

消去 x 2 , y 2 ,即得直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b2 .??????????????????8 分 方法 2:设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? ,已知点 P ? x0 , y0 ? , 则 k PA ?

y0 ? y1 y , kOA ? 1 ?其中x1 ? x0 , x1 ? 0? . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 ? ? ?1 .????????????????5 分 x0 ? x1 x1

因为 PA ? OA ,所以 kPAkOA ? ?1 ,即 整理得 x0 x1 ? y0 y1 ? x12 ? y12 .

因为 x12 ? y12 ? b2 ,所以 x0 x1 ? y0 y1 ? b2 .???????????????????????6 分 因为 OA ? OB , PA ? PB ,根据平面几何知识可知, AB ? OP . 因为 kOP ?

y0 x ,所以 k AB ? ? 0 .???????????????????????????7 分 x0 y0
x0 ? x ? x1 ? . y0

所以直线 AB 方程为 y ? y1 ? ? 即 x0 x ? y0 y ? x0 x1 ? y0 y1 .

所以直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b2 .????????????????????????8 分 方法 3:设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,已知点 P ? x0 , y0 ? , 则 k PA ?

y0 ? y1 y , kOA ? 1 ?其中x1 ? x0 , x1 ? 0? . x0 ? x1 x1 y0 ? y1 y1 ? ? ?1 .????????????????5 分 x0 ? x1 x1

因为 PA ? OA ,所以 kPAkOA ? ?1 ,即 整理得 x0 x1 ? y0 y1 ? x12 ? y12 .

因为 x12 ? y12 ? b2 ,所以 x0 x1 ? y0 y1 ? b2 .??6 分 这说明点 A 在直线 x0 x ? y0 y ? b2 上. ????7 分 同理点 B 也在直线 x0 x ? y0 y ? b2 上. 所以 x0 x ? y0 y ? b2 就是直线 AB 的方程. ??8 分 (3)由(2)知,直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b ,
2

y A

P

O B

x

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

b2 x0 2 ? y0 2



数学(文科)试题 A

第 11 页 共 14 页

2b x0 2 ? y0 2 ? b2 b4 因为 AB ? 2 OA ? d ? 2 b ? 2 , ? x0 ? y0 2 x0 2 ? y0 2
2 2 2

b 1 所以三角形 OAB 的面积 S ? ? AB ? d ? 2

3

x0 2 ? y0 2 ? b 2 . ??????????????10 分 x0 2 ? y0 2

以下给出求三角形 OAB 的面积 S 的三种方法: 方法 1:因为点 P ? x0 , y0 ? 在双曲线 所以

x2 y 2 ? ? 1 上, a 2 b2

2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 2 ? 2 ? 1 ,即 y0 ? ? x0 2 ? a 2 ? . 2 2 a a b

? b2 ? 2 2 2 2 设 t ? x0 ? y0 ? b ? ?1 ? 2 ? x0 ? 2b ? a ? b , ? a ?
2 2 2

所以 S ? 因为 S ? ?

b3t .?????????????????????????????????11 分 t 2 ? b2

?b3 ? t ? b ?? t ? b ?

?t

2

? b2 ?

2



所以当 0 ? t ? b 时, S ? ? 0 ,当 t ? b 时, S ? ? 0 . 所以 S ?

b3t 在 ? 0,b ? 上单调递增,在 ?b, ??? 上单调递减.??????????????12 分 t 2 ? b2
2

当 a ? b ? b ,即 b ? a ?
2

2b 时, S最大值 ?

b3 ? b 1 2 ? b ,?????????????13 分 b2 ? b2 2

当 a ? b ? b ,即 a ?
2 2

2b 时, S最大值 ?

?

b3 ? a 2 ? b 2 a 2 ? b2
2

? ?b

?
2

b3 a 2 ? b 2 . a2

综上可知,当 b ? a ?

2b 时, S最大值
2 2

b3 a 2 ? b 2 1 2 ? b ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? .???14 分 2 a2

b 3t b3 方法 2:设 t ? x0 ? y0 ? b ,则 S ? 2 .????????????????11 分 ? b2 t ? b2 t? t
2
2 x0 2 y0 2 b 2 x0 ? a 2b 2 x2 y 2 2 因为点 P ? x0 , y0 ? 在双曲线 2 ? 2 ? 1 上,即 2 ? 2 ? 1 ,即 y0 ? ? x0 2 ? a 2 ? . 2 a b a a b

所以 t ?

? b2 ? x0 2 ? y0 2 ? b 2 ? ?1 ? 2 ? x0 2 ? 2b 2 ? a 2 ? b 2 . ? a ?
数学(文科)试题 A 第 12 页 共 14 页

令 g ?t ? ? t ?

b2 b2 ? t ? b ?? t ? b ? ,则 g ? ? t ? ? 1 ? 2 ? . t t t2

所以当 0 ? t ? b 时, g ? ? t ? ? 0 ,当 t ? b 时, g ? ? t ? ? 0 .

b2 所以 g ? t ? ? t ? 在 ? 0,b ? 上单调递减,在 ?b, ??? 上单调递增.?????????????12 分 t
当 a ? b ? b ,即 b ? a ?
2 2

2 时, S最大值 b

b3 1 ? ? b 2 ,??????????????13 分 2 b 2 b? b

当 a ? b ? b ,即 a ?
2 2

2b 时, S最大值 ?

b3 a 2 ? b2 ? b2 a 2 ? b2

?

b3 a 2 ? b 2 . a2

综上可知,当 b ? a ?

b3 a 2 ? b 2 1 2b 时, S最大值 ? b 2 ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? .???14 分 2 a2
b3 t ? b 2 ?1? 1 ? b3 ?b 2 ? ? ? .?????????????11 分 t ?t ? t
2

方法 3:设 t ? x02 ? y02 ,则 S ? 因为点 P ? x0 , y0 ? 在双曲线 所以 t ? x0 ? y0 ? ?1 ?
2 2

2 x2 y2 b 2 x0 ? a 2b 2 x2 y 2 2 ? 2 ? 1 上,即 02 ? 02 ? 1 ,即 y0 ? ? x0 2 ? a 2 ? . a2 b a2 a b

? ?

b2 ? 2 2 x ? b ? a2 . 2 ? 0 a ?
2 2

1 ? 1 ? 令 g ? u ? ? ?b u ? u ? ?b ? u ? 2 ? ? 2 , 2b ? 4b ?
2 2

所以 g ? u ? 在 ? ??,

? ?

1 ? ? 1 ? 上单调递增,在 ? 2 , ?? ? 上单调递减.????????????12 分 2 ? 2b ? ? 2b ?
1 ? t ? 1? ?, a2 ?

因为 t ? a ,所以 u ? ? ? 0, 当

1 1 1 1 2 1 ? 1 ? ? 2 ,即 b ? a ? 2b 时, ? g ? u ? ? max ? g ? 2 ? ? 2 ,此时 S最大值 ? b3 ? ? b . 2 ? ? 2b a 2b 2 ? 2b ? 4b
????????????13 分



2 2 b3 a 2 ? b 2 1 1 ? 1 ? a ?b ? 2 ,即 a ? 2b 时, ? g ? u ? ? max ? g ? 2 ? ? ,此时 S最大值 ? . ? ? 2b 2 a a4 a2 ?a ?

综上可知,当 b ? a ?

b3 a 2 ? b 2 1 2b 时, S最大值 ? b 2 ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? .???14 分 2 a2
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