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求轨迹方程的常用方法(教师)


求轨迹方程的常用方法
知识梳理:
(一)求轨迹方程的一般方法: 1. 待定系数法:如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、 抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨 迹方程,也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法:如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点 P 满

足的等量关系易于建立,则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系,再用点 P 的 坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。 3. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量 t,以此量作为参变数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 x=f(t) ,y=g (t) ,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F(x,y)=0。 4. 代入法(相关点法) :如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的,而该点的 运动规律已知, (该点坐标满足某已知曲线方程) ,则可以设出 P(x,y) ,用(x,y)表示 出相关点 P'的坐标,然后把 P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程。 5.几何法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等) , 可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。 6:交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常 通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去 两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程) ,该法经常与参数法并用。 (二)求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点 P 的运动规律,即 P 点满足 的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。 ?x ? f (t ) 2. 轨迹方程既可用普通方 程F ( x, y) ? 0表示, 又可用参数方程 (t为参数) ? ? y ? g (t ) 来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, (即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上) , 又要检验是否丢解。 (即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示) ,出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端 情形。 4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。

课前热身:
1. P 是椭圆

x2 y2 ? =1 上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为 M,则 PM 中点的轨迹 9 5

中点的轨迹方程为: ( )

4 2 y2 ?1 A、 x ? 9 5
【答案】 :B

x2 4 2 ? y ?1 B、 9 5

x2 y2 ? ?1 C、 9 20

x2 y2 ? D、 =1 36 5

x2 4 2 【解答】 :令中点坐标为 ( x, y ) ,则点 P 的坐标为( x,2 y) 代入椭圆方程得 ? y ? 1 ,选 B 9 5
2. 圆心在抛物线 y 2 ? 2 x( y ? 0) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是 ( A C )

x2 ? y2 ? x ? 2y ?

1 ?0 4

B D

x2 ? y2 ? x ? 2y ?1 ? 0
x2 ? y2 ? x ? 2y ? 1 ?0 4

x2 ? y2 ? x ? 2y ?1 ? 0

【答案】 :D 【解答】 : 令圆心坐标为 (

a2 a2 1 , a ) , 则由题意可得 a ? ? , 解得 a ? 1 , 则圆的方程为 2 2 2

x2 ? y2 ? x ? 2y ?

1 ? 0 ,选 D 4

3: 一动圆与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 C: x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆 心 M 的轨迹是: A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支 【答案】 :D 【解答】令动圆半径为 R,则有 ?

?| MO |? R ? 1 ,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选 D。 ?| MC |? R ? 1
( )

4: 点 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上运动,则点 M(2x0,y0)的轨迹是 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 y 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的双曲线 D. 焦点在 X 轴上的双曲线 【答案】 :A

x ? ? x ? 2 x0 x2 ? x0 ? ? y 2 ? 1 ,选 【解答】 :令 M 的坐标为 ( x, y), 则 ? ?? 2 代入圆的方程中得 4 y ? y 0 ? ? ? y0 ? y
A

【互动平台】
一:用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一, 求符合某种条件的动点轨迹方 程, 其实质就是利用题设中的几何条件,通过坐标互化将其转化为寻求变量之间 的关系, 在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时,要特别注意圆锥曲线的定义在求轨 迹中的作用, 只要动点满足已知曲线定义时,通过待定系数法就可以直接得出方 程。 例 1 :已知 ?ABC 的顶点 A , B 的坐标分别为( -4 , 0 ) , (4,0) , C 为动点,且满足

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B ? sin A ? sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满足椭 4 4 sin B ? sin A ?
圆的定义。令椭圆方程为

x2 a
'2

?

y2 b
'2

? 1 , 则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 , 则 轨 迹 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭圆(不含左,右顶点) 。 25 9

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
(1) (2) (3) (4) 圆:到定点的距离等于定长 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离) 到定点与定直线距离相等。

【变式 1】 : 1:已知圆 的圆心为 M1, 圆 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解:设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得: 。 ,

的圆心为 M2,



∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。

故所求轨迹方程为
2:一动圆与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 C: x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆

心 M 的轨迹是: A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支
【解答】令动圆半径为 R,则有 ?

?| MO |? R ? 1 ,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选 D。 ?| MC |? R ? 1

二:用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2: 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程? 解 设 M 点的坐标为 ( x, y ) 由平几的中线定理:在直角三角 形 AOB 中,OM=

1 1 AB ? ? 2a ? a, 2 2

? x 2 ? y 2 ? a, x 2 ? y 2 ? a 2

M 点的轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆周.

【点评】此题中找到了 OM=

1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有 2

下列几种情况: 1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2)列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设 条件列出等式,得出其轨迹方程。 3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其 数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 : 动点 P (x,y) 到两定点 A (-3, 0) 和B (3, 0) 的距离的比等于 2 (即 求动点 P 的轨迹方程?
2 2 【解答】∵|PA|= ( x ? 3) ? y , | PB |?

| PA | ? 2) , | PB |

( x ? 3) 2 ? y 2

代入

( x ? 3) 2 ? y 2 | PA | ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4( x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 2得 2 2 | PB | ( x ? 3) ? y

化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4 为半径的圆.

三:用参数法求曲线轨迹方程
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

【解析】 分析 1:从运动的角度观察发现,点 M 的运动是由直线 l1 引发的,可设出 l1 的斜率 k 作为参数,建立动点 M 坐标(x,y)满足的参数方程。 解法 1:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k(x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则直线 l 2的方程为 y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 ? l1与x轴交点 A的坐标为 (2 ? , 0), k

2 l 2 与y轴交点 B的坐标为 (0, 4 ? ), k
∵M 为 AB 的中点,

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y ? ? 2 k ?
消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 分析 2:解法 1 中在利用 k1k2=-1 时,需注意 k1、k2 是否存在,故而分情形讨论,能 否避开讨论呢?只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性:

| MP |?

1 | AB | 2

解法 2:设 M(x,y) ,连结 MP,则 A(2x,0) ,B(0,2y) , ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形

由直角三角形的性质 ,| MP |?

1 | AB | 2

1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? · (2 x) 2 ? (2 y ) 2 2
化简,得 x+2y-5=0,此即 M 的轨迹方程。 分析 3: :设 M(x,y) ,由已知 l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即 可列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上,由 M 为 AB 的中点, 易找出它们的坐标之间的联系。 解法 3:设 M(x,y) ,∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0) ,B(0,2y) 。 又 l1,l2 过点 P(2,4) ,且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB,从而 kPA·kPB=-1,

4?0 4 ? 2y ,k PB ? 2 ? 2x 2?0 4 4 ? 2y ? · ? ?1,化简,得 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ? 2x 2 而k PA ?
注意到 l1⊥x 轴时,l2⊥y 轴,此时 A(2,0) ,B(0,4) 中点 M(1,2) ,经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。

【点评】 1)解法 1 用了参数法,消参时应注意取值范围。解法 2,3 为直译法,运用了 kPA·kPB 1 =-1, | MP |? | AB | 这些等量关系。 。 2
用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角 度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变

量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式 3】过圆 O:x2 +y2= 4 外一点 A(4,0) ,作圆的割线,求割线被圆截得的弦 BC 的 中点 M 的轨迹。 解法一: “几何法” 设点 M 的坐标为(x,y),因为点 M 是弦 BC 的中点,所以 OM⊥BC, 2 2 2 所以|OM | +|MA| =|OA| , 即(x2 +y2)+(x -4)2 +y2 =16 2 2 化简得: (x-2) + y =4................................① 由方程 ① 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1,所以点 M 的轨迹方程为 (x-2)2+ y2 =4 (0≤x<1) 。所以 M 的轨迹是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 解法二: “参数法” 设点 M 的坐标为(x,y) ,B(x1,y1),C(x2,y2)直线 AB 的方程为 y=k(x-4), 2 由直线与圆的方程得(1+k )x2 -8k2x +16k2-4=0...........(*), 由点 M 为 BC 的中点,所以 x=

x1 ? x2 4k 2 ? ...............(1) , 2 1? k 2

又 OM ⊥ BC ,所以

k=

y .................(2)由方程(1) (2) x 1 ,所以 x<1. 3

消去 k 得(x-2)2+ y2 =4,又由方程(*)的△≥0 得 k2 ≤

所以点 M 的轨迹方程为(x-2)2+ y2 =4 (0≤x<1)所以 M 的轨迹是以(2,0)为圆心, 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。

四:用代入法等其它方法求轨迹方程

x2 y2 0)为定点, 求线段AB的中点M的 例 4. 点B是椭圆 2 ? 2 ? 1上的动点,A (2a, a b
轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点 A、B、M,其中 A 为定点,而 B、M 为动点,且点 B 的运动是 有规律的,显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的,可见 M、B 为相关点,故采用相关点法求 动点 M 的轨迹方程。 【解析】设动点 M 的坐标为(x,y) ,而设 B 点坐标为(x0,y0) 则由 M 为线段 AB 中点,可得

? x 0 ? 2a ?x ? ? x 0 ? 2 x ? 2a ? 2 ?? ? ? y0 ? 2 y ? y0 ? 0 ? y ? ? 2
即点 B 坐标可表为(2x-2a,2y)

又 ? 点B( x0,y 0 )在椭圆

x2 y2 ? ? 1上 a2 b2

x y ? 02 ? 02 ? 1 a b

2

2

(2 x ? 2a) 2 (2 y) 2 从而有 ? 2 ? 1, a2 b

4( x ? a) 2 4 y 2 整理, 得动点M的轨迹方程为 ? 2 ?1 a2 b

【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系
【变式 4】如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满 足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
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y
B Q

R A

o

P

x

【解析】 : 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| AB 的中点,依垂径定理 在 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
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又因为 R 是弦

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又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即 x2+y2-4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x2+y2-4x-10=0,得

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x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

(

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2
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整理得 【备选题】

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x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
2 2

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已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双曲线相交于

A,B 两点. O 为坐标原点) (I)若动点 M 满足 F ,求点 M 的轨迹方程; 1M ? F 1A ? F 1B ? FO 1 (其中
(II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA · CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存 在,请说明理由. 解:由条件知 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 解法一: (I)设 M ( x,y) ,则 则 F ,y) , F1 A ? ( x1 ? 2,y1 ) , 1M ? ( x ? 2

F1B ? ( x2 ? 2,y2 ), FO ? (2, 0) ,由 F1M ? F1 A ? F1B ? FO 1 1 得
? x ? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, 即? ? ? y1 ? y2 ? y ? y ? y1 ? y2
于是 AB 的中点坐标为 ?

? x?4 y? , ?. ? 2 2?

y y1 ? y2 y y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, ,即 y1 ? y2 ? ? ? x ?8 x1 ? x2 x ? 4 ? 2 x ? 8 2
2 2 2 又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y12 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 4) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . x ?8

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 所以点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . (II)假设在 x 轴上存在定点 C (m, 0) ,使 CA.CB 为常数. 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .
2 2 2 2 2 2

4k 2 4k 2 ? 2 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 2 , k ?1 k ?1
于是 CA.CB ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) ? ? 4k 2 ? m 2 k 2 ?1 k 2 ?1

2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 k ?1 k ?1
因为 CA.CB 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA.CB = ?1 . 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) , (2, ? 2) ,

此时 CA.CB ? (1, 2 ).( 1,? 2 ) ? ?1 . 故在 x 轴上存在定点 C (1 , 0) ,使 CA.CB 为常数. 解法二: (I)同解法一的(I)有 ?

? x1 ? x2 ? x ? 4, ? y1 ? y2 ? y

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) . 代入 x2 ? y 2 ? 2 有 (1 ? k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? (4k 2 ? 2) ? 0 . 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 x1 ? x2 ?

4k 2 . k 2 ?1

? 4k 2 ? 4k . y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? ? 4? ? 2 ? k ?1 ? k ?1
由①②③得 x ? 4 ?

4k 2 .???????????????????④ k 2 ?1

y?

4k .??????????????????????????⑤ k 2 ?1

当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得,

x?4 ? k ,将其代入⑤有 y

x?4 4 y ( x ? 4) y y? ? .整理得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 . 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 2 y 4?
当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, 0) ,满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (8, 0) ,也满足上述方程. 故点 M 的轨迹方程是 ( x ? 6) ? y ? 4 .
2 2

(II)假设在 x 轴上存在定点点 C (m, 0) ,使 CA.CB 为常数,

4k 2 4k 2 ? 2 当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有 x1 ? x2 ? 2 ? 1 , x1 x2 ? 2 . k k ?1
以上同解法一的(II) .

【误区警示】

1.错误诊断
【例题 5】 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) ,且三角形周长为 16,求点 A 的 轨迹方程。 【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10,满足椭圆的定义。令椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

则由定义可知 a ? 5, c ? 3 ,则 b ? 4 ,得轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 25 16

【错因剖析】ABC 为三角形,故 A,B,C 不能三点共线。 【正确解答】ABC 为三角形,故 A,B,C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点 (5,0).(?5,0) ,

即轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5) 25 16

2.误区警示
1:在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,因此,在求 出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,将其剔除;另 一方面,又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外,要将其“捉拿归案” 。 2:求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直接法等方 法的选择。 3:求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。

【课外作业】 【基础训练】
2 2 1:已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) 给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x ? y ? 3 ;

5 4

5 4

③ (

x2 x2 ? y 2 ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 ,在曲线上存在点 P 满足 | MP |?| NP | 的所有曲线方程是 2 2
B ②④ C ①②③ D ②③④

) A ①③ 【答案】:D

【 解答 】 : 要使得曲线上存在 点 P 满足 | MP |?| NP | , 即要使得曲线 与 MN 的中垂线

y ? ?2 x ? 3 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选 D
2.两条直线 x ? m y ? 1 ? 0 与 m x ? y ? 1 ? 0 的交点的轨迹方程是 【解答】:直接消去参数 m 即得(交轨法): x ? y ? x ? y ? 0
2 2

.

3: 已 知 圆 的 方 程 为 (x-1)2+y2=1, 过 原 点 O 作 圆 的 弦 0A , 则 弦 的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 是 . 【 解 答 】 : 令 M 点 的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 A 的 坐 标 为 (2 x,2 y) , 代 入 圆 的 方 程 里 面 得: ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 ( x ? 0) 4

4: 当参数 m 随意变化时,则抛物线 y ? x 2 ? ?2m ? 1?x ? m2 ? 1 的顶点的轨迹方程为 ___________。 【分析】 : 把所求轨迹上的动点坐标 x, y 分别用已有的参数 m 来表示, 然后消去参数 m, 便可得到动点的轨迹方程。

1? 5? ? ? 【解答】 :抛物线方程可化为 ? x ? m ? ? ? y ? ? m ? ? ? ? 2? 4?
它的顶点坐标为 x ? ? m ? 消去参数 m 得: y ? x ?

2

1 5 ,y ? ?m ? 2 4

3 4

故所求动点的轨迹方程为 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 。 5:点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x ? 5 ? 0的距离小 1,则点 M 的轨迹方程为 ____________。 【分析】 :点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x ? 5 ? 0 的距离小 1,意味着点 M 到 点 F(4,0)的距离与它到直线 x ? 4 ? 0的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M 的轨 迹方程。 【解答】 :依题意,点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 x ? ?4 的距离相等。则点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点、 x ? ?4 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 y ? 16x 。
2

6:求与两定点 O O1 ,0 、A 3,0 距离的比为 1:2 的点的轨迹方程为_________

?

?

?

?

【分析】:设动点为 P,由题意 关系式。

PO PA

?

1 ,则依照点 P 在运动中所遵循的条件,可列出等量 2

【解答】 :设 P x,y 是所求轨迹上一点,依题意得

?

?

PO PA

?

1 2

由两点间距离公式得:

x2 ? y2

? x ? 3?

2

? y2

?

1 2

化简得: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 7 抛物线 y 2 ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C 在抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程。 【分析】 :抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ?1 , 0? 。设△ABC 重心 P 的坐标为 ( x,y ) ,点 C 的坐标为 ( x1,y1 ) 。其中 x1 ? 1

【解答】 :因点 P x,y 是重心,则由分点坐标公式得: x ?

?

?

x1 ? 2 y ,y ? 1 3 3

即 x1

? 3x ? 2,y1 ? 3 y

2 由点 C x1 ,y1 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,得: y1 ? 4 x1

?

?

将 x1 ? 3x ? 2,y1 ? 3 y 代入并化简,得: y ?
2

4? 2? ? x ? ? ( x ? 1) 3? 3?

【能力训练】
8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( MN 中点的横坐标为 ,求此双曲线方程。 ,0),直线 y=x-1 与其相交于 M、N 两点,

【解答】:设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 。将 y=x-1 代入方程整理得 a2 b2


由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 解得 a ? 2, b ? 5 。
2 2

x1 ? x 2 2a 2 a2 2 , ? ?? 。 又有 2 2 2 2 2 3 a ?b a ?b

, 联立方程组,

∴此双曲线的方程为



9.已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x=3 的距离之和等于 4,求点 P 的轨迹方程。

【解答】:设点 P 的坐标为(x,y),则由题意可得



2 2 2 2 (1)当 x≤3 时,方程变为 ( x ? 1) ? y ? 3 ? x ? 4, ( x ? 1) ? y ? x ? 1 ,化简得

y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) 。
2 2 2 2 (2)当 x>3 时,方程变为 ( x ? 1) ? y ? x ? 3 ? 4, ( x ? 1) ? y ? 7 ? x ,化简得



故所求的点 P 的轨迹方程是



10.过原点作直线 l 和抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 6 交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。
【解答】:由题意分析知直线 l 的斜率一定存在,设直线 l 的方程 y=kx。把它代

入抛物线方程 ,得 。因为直线和抛物线相交,所 以△>0,解得 x ? (??,?4 ? 2 6 ) ? (?4 ? 2 6,??) 。 设 A( ),B( ),M(x,y),由韦达定理得 。

由 又

消去 k 得



,所以 x ? (??,? 6 ) ? ( 6,??) 。

∴点 M 的轨迹方程为 y ? 2x 2 ? 4x, x ? (??,? 6 ) ? ( 6,??) 。

【创新应用】
11.一个圆形纸片,圆心为 O,F 为圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于 P,则 P 的轨迹是( ) A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆 【答案】 :A 【解答】 :由对称性可知||PF|=|PM|,则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R(R 为圆的半径) ,则 P 的轨 迹是椭圆,选 A。


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