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2015-2016学年四川绵阳南山中学高二(下)期中考试数学(理)试题(解析版)

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2015-2016 学年四川绵阳南山中学高二(下)期中考试 数学(理)试题
一、选择题 1.命题“若 p 则 q ”的逆命题是( ) A. 若 q 则 p B. 若 ?p 则 ?q D.若 p 则 ?q

C. 若 ?q 则 ?p

【答案】A 【解析】试题分析:逆命题,即将原命题的条件与结论分别作为结论与条件构成新的命 题,即为

逆命题,所以“若 p 则 q ”的逆命题是若 q 则 p ,即本题正确选项为 A. 【考点】原命题与逆命题. 2.设命题 P : ?n ? N , n2 ? 2n , 则?P为 ( A. ?n ? N , n2 ? 2n D. ?n ? N , n ? 2
2 n


2 n

B. ?n ? N , n ? 2

C. ?n ? N , n2 ? 2n

【答案】C 【解析】 试题分析: 根据否命题的定义, 即既否定原命题的条件, 又否定原命题的结论, 存在的否定为任意,所以命题 P 的否命题应该为 ?n ? N , n2 ? 2n ,即本题的正确选项 为 C. 【考点】原命题与否命题. 3. 已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? , 下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是 (

? ?? ? 3?



?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?
D. ? 5, ?

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3?

2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

? ?

5? ? ? 3 ?

【答案】D 【解析】试题分析:极坐标 (5,

?

(5, 2 k? ? 可为

?
3

5 5 5 5 ) 的直角坐标为 ( , 3) ( , 3) ,而 的极坐标又 3 2 2 2 2

) ,观察选项可知 D 正确,此时 k ? ?1 .所以本题正确选项为 D.

【考点】极坐标与直角坐标. 4.设 x ? R ,则“ x ? A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A
2

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的( 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【 解 析 】 试 题 分 析 : 2 x ? x ?1 ? (2 x ?1)(x ? 1) , 当 x ?

1 时 , 恒 有 2

2x 2 ? x ?1 ? (2x ?1)(x ? 1) ? 0 , 即 x ?

1 2 是 2x ? x ? 1 ? 0 的 充 分 条 件 , 当 2

第 1 页 共 9 页

2x 2 ? x ?1 ? (2x ?1)(x ? 1) ? 0 时,有 x ?
必要条件,综上所述本题正确选项为 A. 【考点】充分条件与必要条件.

1 1 或x ? ?1 , x ? 是 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的不 2 2

5.已知 a1 , a2 ? (0,1) 记 M ? a1 ? a2 , N ? a1 ? a2 ?1 则 M 与N 的大小关系是(



A. M ? N B. M ? N C. M ? N D.不确定 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 利 用 求 差 法 可 比 较 代 数 式 的 大 小 ,

M ? N ? a1a2 ? a1 ? a2 ? 1 ? (a1 ?1)(a2 ?1) , 因 为 a1 , a2 ? (0,1) , 所 以 (a1 ? 1)(a2 ? 1) ? 0 ,也即 M ? N ,所以本题正确选项为 C.
【考点】代数式大小比较. 6.曲线 y ? x ? 3x ? 1在点 (1, ?1) 处的切线方程为(
3 2

) C. y ? ?4 x ? 3

A. y ? 3x ? 4 D. y ? 4 x ? 5 【答案】B

B. y ? ?3x ? 2

【解析】 试题分析: 函数的导函数为 y? ? 3x ? 6 x , 由导数的性质可知曲线在点 (1, ?1)
2

处 切 线 的 斜 率 为 k ? ?3 , 再 由 点 斜 式 可 求 得 切 线 方 程 为

y ? 1 ? ?3( x ? 1) ? y ? ?3x ? 2 ,故本题的正确选项为 B.
【考点】导数的运用. 7.函数 f ?x ? ? ?x ? 3?e 的单调递增区间是(
x

) C.(1,4)

A. ?? ?,2? D. ?2,??? 【答案】D

B.(0,3)

【解析】 :试题分析:原函数的导函数为 f ?( x) ? ( x ? 3)e ? e ? ( x ? 2)e ,令导函数
x x x

为零,即 f ?( x) ? ( x ? 2)e ? 0 ? x ? 2 ,当 x ? 2时,f ?( x) ? ( x ? 2)e ? 0 ,此时函
x x

数为增函数,当 x ? 2时,f ?( x) ? ( x ? 2)e ? 0 ,此时函数为减函数,可知原函数的单
x

调区间为 ?2,??? ,故本题的正确选项为 D. 【考点】导数的运用. 8.用数学归纳法证明“ 1 ? 2 ? 2 ? .... ? 2
2 n?1

? 2n ?1(n ? N * ) ”的过程中,第二步假设


n ? k 时等式成立,则 n ? k ? 1 时应得到(

第 2 页 共 9 页

A. 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 1 B. 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2k ?1 ? 2k ? 2k ? 1 ? 2k C. 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ?1 ?1 D. 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2k ? 2k ?1 ? 2k ? 1 ? 2k ?1 【答案】B 【解析】试题分析:由数学归纳法可知第二步的 n?k 时,应该有

1 ? 22 ? 23 ? ......? 2k ? 2k ?1 ? 1 1 ? 22 ? 23 ? ......? 2k ?1 ? 2k ?2 ? 1
1?
2 k ?







n ? k ?1










有 即

2 ?

3

k

?

2 ?

2

k

.

?

?

1

? 2k ?1 ? 1,观察选项,本题的正确选项为 B.
【考点】数学归纳法. 9.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则代数式 (1 ? xy )(1 ? xy) 有(
2 2



A.最小值 C.最小值

1 和最大值 1 2 1 3 和最大值 2 4

B.最小值 1 D.最小值
3 和最大值 1 4

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 已 知 条 件 可 假 设 x ? c o ts ,y ?si n t , t ?[0,2? ) , 则

1 1 (1 ? xy)(1 ? xy) ? 1 ? ( xy)2 , 因 为 ( xy ) 2 ? (sin t cos t ) 2 ? ( sin 2t ) 2 ? sin 2 2t , 由 2 4 1 1 3 t ?[0,2? ) 可知 ( xy ) 2 ? sin 2 2t ? [0, ] ,所以有 (1 ? xy )(1 ? xy ) ? [0, ] .故本题的 4 4 4
正确选项为 D. 【考点】参数法的运用. 【思路点睛】 观察代数式 (1 ? xy)(1 ? xy) ? 1 ? ( xy) ,只要求得 xy 的取值范围即可求得
2

(1 ? xy)(1 ? xy) 最值,因为 ( x, y ) 在圆上,所以可用参数法求得 xy 的取值范围,同样也
可令 xy ? k ? y ?

k k 2 2 即反比例函数 y ? 与圆 x ? y ? 1 有交点,并在存在交点时求 x x

得 k 的取值范围,便可求得 (1 ? xy )(1 ? xy) 的范围. 10.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则 函数 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( )

第 3 页 共 9 页

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】A 【解析】试题分析:由导函数的性质可知,只有导函数的零点可能为函数的极值点,由 图可知函数有 4 个极值点,若极值点为极小值点,则导函数在该点附近左侧的函数值为 负,右侧的函数值为正,即导函数图象在极值点两的侧得图象,左侧附近在横轴下方, 右侧附近在横轴上方,由图可知仅有一个点符合条件,故本题的正确选项为 A. 【考点】函数的极值点. 11. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的一个极值点是 x ? 1 , 则 9 a ? 3b 的最小值是 ( A.10 【答案】C 【解析】试题分析:函数的导函数为 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? b ,函数存在极值点 x ? 1 , 由 导 函 数 性 质 可 知 该 点 为 导 函 数 的 零 点 , 所 以 有 2a ? b ? 3 , 则 B. 2 3 C. 6 3 D. 4 6 )

9a ? 3b ? 32a ? 3b ? 32a ? 33?2a ? 6 3 ,当且仅当 a ?

3 3 , b ? 时,不等式可取等号, 4 2

所以本题的正确选项为 C. 【考点】函数的极值点,重要不等式. 【思路点睛】根据导函数的性质,函数的极值点,为导函数的零点,所以可先求得导函 数 , 由 导 函 数 的 零 点 便 可 确 定 a , b 的 关 系 2a ? b ? 3 , 因 为

9a ? 3b ? 32a ? 3b ? 32a?b ? 27 ,所以考虑利用重要不等式来求得 9 a ? 3b 的最小值,再利
用重要不等式求最值时,一定要注意,不等式能否取到等号.
' 12 . 设 函 数 f ( x) 是 奇 函 数 f ( x)( x ? R) 的 导 函 数 , f (?1) ? 0, 当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( x f' ( x )? f( x ? ) ,则使得 0
A. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??) 【答案】B 【解析】试题分析:根据已知条件可构造函数 g ( x ) ? B. (??, ?1) ? (0,1)

) C. (??, ?1) ? (?1, 0)

f ( x) ,则 g ( x) 为偶函数,由 x xf ?( x ) ? f ( x) f (?1) ? 0, 可知 g (-1) ? g (1) ? 0 可求得导函数 g ?( x) ? , 因为当 x ? 0 时, x2

xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,则当 x ? 0 时,g ?( x) ? 0 ,所以在区间 (?1,0) ? (0,1)

第 4 页 共 9 页

上 有 g ( x) ? 0 , 在 区 间 (??,-1) ? 上 有 g ( x) ? 0 , 又 f ( x) ? xg( x) , 可 知 ( 1, ? ?)

f ( x ) ? 0的解集应该为 (??, ?1) ? (0,1) ,所以本题的正确选项为 B.
【考点】导函数的运用,函数的奇偶性. 【思路点睛】若直接解不等式 f ( x) ? 0 ,因不知道 f ( x) 的单调性,所以较难求解,根 据条件 xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 可构造一个新函数 g ( x ) ?

f ( x) ,这样结合 f ( x) 为奇函数便 x

可得到 g ( x) 的单调区间及零点,从而得到 g ( x) 函数值分别为正数与负数的区间,进而 便可求得 f ( x) ? 0 的取值范围.

二、填空题

?x ? 1 ? 0 y ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
【答案】 3



?x ? 1 ? 0 ? 【解析】 试题分析: 不等式组 ? x ? y ? 0 所表示的可行域的顶点为 (1,1), (1,3), (2,2) , ?x ? y ? 4 ? 0 ?
因为目标函数 y ? kx 为过原点的直线,且目标函数总是在可行域的顶点处取得最值, 将可行域的三个顶点为分别代入目标函数可求得 k 的值为 1或3 ,所以最大值为 3 . 【考点】线性约束. 14.求值

?

e

1

2 dx ? x



【答案】 2 【解析】试题分析:因为 (ln x )? ?
e 2 1 e ,所以 ? dx ? 2 ln x 1 ? 2(ln e ? ln 1) ? 2 . 1 x x

【考点】定积分计算. 15.在下面等号右侧两个分数的分母处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和 最小, 1 ?

1 [ ]

?

9 [ ]

则这两个自然数分别为





12 【答案】 4,
【解析】试题分析:令 1 ?

1 9 9x ? ?y? ,因为 x , y 都为自然数,所以可对 x 进行 x y x ?1

取 值 , 且 x ? 1 必 须 能 够 被 9 整 除 , 即 x 只 能 取 2,4,10 然 后 求 y :

x ? 2, y ? 18 ? x ? y ? 20;

x ? 4, y ? 12 ? x ? y ? 16;

第 5 页 共 9 页

x ? 10, y ? 90 ? x ? y ? 100; 显然两自然数最小为 16 ,此时两自然数分别为 4,12 .
【考点】函数的运用. 【思路点睛】本题解题关键在于所需填的两个数字都为自然数,所以可先根据关系式

1?

1 9 9x ,由 x , y 都为自然数,所以可对 x 进行取值, ? ,得到 y 关于 x 的函数 y ? x ?1 x y

其中要注意 x, x ? 1 互为质数,所以 9 必须要能够整除 x ? 1 ,即 x 的取值为 2,4,10 ,分 别求得 y ,再求得 x ? y 的最小值,便可确定这两个自然数. 16 .已知曲线 y ? x ? ln x 在点 (1,1) 处的切线与曲线 y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1 相切,则

a?
【答案】 8



【解析】试题分析:函数 y ? x ? ln x 在 (1,1) 处的导数为 y?
2

x ?1

? 1?

1 ? 2 ,所以切 x x ?1

线方程为 l : y ? 2 x ? 1 ;曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1 的导函数的为 y? ? 2ax ? a ? 2 ,因

1 l 与该曲线相切,可令 y? ? 2ax ? a ? 2 ? 2 ? x1 ? ? ,a ? 0 ,当 a ? 0 时,曲线为直 2 1 1 a (- , ? ), 线,与直线 l 平行,不符合题意;当 x ? ? 时,代入曲线方程可求得切点 2 2 4 代入切线方程即可求得 a ? 8 .
【考点】导函数的运用. 【方法点睛】求曲线在某一点的切线,可先求得曲线在该点的导函数值,也即该点切线 的斜率值,再由点斜式得到切线的方程,当已知切线方程而求函数中的参数时,可先求 得函数的导函数,令导函数的值等于切线的斜率,这样便能确定切点的横坐标,再将横 坐标代入曲线(切线)得到纵坐标得到切点坐标,并代入切线(曲线)方程便可求得参 数. 三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 4 ? x ? 8 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,对任意实数 x 都有 f ( x) ? m ? f (? x) 恒成立,求实数 m 的取 值范围. 【答案】 (1) 2 ; (2) ? ??, 4? . 【解析】试题分析: (1)先将函数转化为绝对值不等式 x ? a ? 6 ,再分情况取绝对值, 求出不等式的解,再结合已知不等式解集列等式求解即可; (2)可令

?

?

? ( x) ? f ? x ? ? f ? ?x ? ,分情况去绝对值求得 ? ( x) 的最小值,从而求得 m 的取值范围.
试题解析: (1)由 f ( x) ? 6 得, x ? a ? 6 第 6 页 共 9 页

??6 ? x ? a ? 6 ,即 a ? 6 ? x ? a ? 6 。
? a ? 6 ? ?4, 且a ? 6 ? 8? a ? 2
(2)由(1)知 f ? x ? ? x ? 2 ,令 ? ( x) ? f ? x ? ? f ? ? x ? , 则

??2 x, x ? ?1 ?? ? x ? 的最小值为 4, ? ? ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 ? ?4, ?1 ? x ? 1 ? 2 x, x ? 1 ?

故实数 m 的取值范围是 ? ??, 4? 【考点】解不等式,函数的最值.
2 2 18 . 设 p : 实 数 x 满 足 x ? 4ax ? 3a ? 0 , 其 中 a ? 0 , 命 题 q : 实 数 x

满足

? x2 ? x ? 6 ? 0 , ? ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8? 0 .
(1)若 a ? 1 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) 2 ? x ? 3 ; (2) 1 ? a ? 2 .
2 2 【解析】试题分析: ( 1 ) p : 解不等式 x ? 4ax ? 3a ? 0 便可求得

x 的取值范围

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 可求得 x 的取值范围 A ? ?x a ? x ? 3a? , q : 解 不 等 式 组 ? 2 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.
(1) p ? q 为真,则直接求 A ? B 即可求得实数 x 的取值范围; (2) B ? ?x 2 ? x ? 3?,

?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 CR A 是 CR B 的真子集,根据集合的关系便可求得实
数 a 的取值范围.
2 2 试题解析:由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a

由?

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0

(1)当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .若 p ? q 为真, 则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 ( 2 ) ?p 是 ?q 的充分不必要条件即: q 是 p 的充分不必要条件, ? q ? p , 且

p? ? q,
设 A ? x 2 ? x ? 3 , B ? x a ? x ? 3a ,则 A

?

?

?

?

B,

则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 【考点】命题的关系,集合的关系.

第 7 页 共 9 页

19.已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) . 4 9 ? y ? 2 ? 2t
o

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与 最小值. 【答案】 (I) 2 x ? y ? 6 ? 0 ; (II)

22 5 2 5 , . 5 5

2 【解析】试题分析: ( I )利用 co s ? ? sin2 ? ? 1 ,所以可以得到曲线的参数方程

? x ? 2 cos? , ? ? (0,2? ] ,将直线的参数方程中的 t 消掉便可得到直线的普通方程; ? ? y ? 3 sin?
(II) 因为 PA 与直线 l 夹角为 30 , 可先求得点 P 到直线的距离, 再由三角函数求得 PA 的长度,从而确定最小值与最大值. 试题解析: (I)曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (II)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

d?

5 d 2 5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 ,则 | PA |? ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 , 0 5 sin 30 5
4 .当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值, 3

其中 ? 为锐角.且 tan ? ?

最大值为

22 5 ;当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值, 5 2 5 5

最小值为

【考点】参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,三角函数的运用. 【方法点睛】由普通方程转化为参数方程,要根据方程的情形适当选择合适的参数及其
2 2 关系式,对于圆锥曲线经常选择三角函数来作为参数,所以利用 cos ? ? sin ? ? 1得

到椭圆的参数方程 ?

? x ? a cos? ,而对于参数方程转化为普通方程,关键在于通过适当 y ? b sin ? ?
o

的运算将其中的参数消掉.对于求 | PA | 得最值,因为 PA 与直线 l 夹角为 30 ,所以可 先利用三角函数由点到直线的距离求得 | PA | 关于 ? 的函数,从而确定其最值. 20.已知函数 f ( x) ? e ? ln( x ? m) .
x

第 8 页 共 9 页

(I)设 x ? 0 是 f ( x) 的极值点,求 m 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 . 【答案】 (I) m ? 1 , f ? x ? 在 ? ?1,0? 单调递减,在 ? 0, ??? 单调递增; (II)证明见解 析.
x 【解析】 试题分析: (I) 先求得函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m) 的导函数 f ?( x) ? e ?

1 , x?m

由极值点的概念可知 f ?(0) ? 0 ,便可求得 m ? 1 ,分别令 f ?( x) ? 0, f ?( x) ? 0, 便可求 得函数的单调区间: ( II )因为 ln(x ? m) ? ln(x ? 2) ? - ln(x ? m) ? ? ln(x ? 2) ,即

f ( x) ? e x ? ln(x ? m) ? e x ? ln(x ? 2) , 所 以 只 要 证 得 e x ? l n ( x ? 2) ? 0 即 可 证 得
f ( x) ? 0 .
' x x 试题解析:(I) ? f ( x) ? e ? ln( x ? m) ? f ( x ) ? e ?

1 x?m

由 x ? 0 是 f ( x) 的极值点得? f (0) ? 0 ,所以 m ? 1 。
'
' x x 于是? f ( x) ? e ? ln( x ? 1) ,定义域为 (?1, ??) , f ( x) ? e ? ' x 函数 f ( x) ? e ?

1 。 x ?1

1 ' 在 (?1, ??) 单调递增,且 f (0) ? 0 。 x ?1

因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增。 (II)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m=2 时,f(x) >0.
x 当 m=2 时, 函数 f′(x)= e ?

1 在(-2, +∞)单调递增. 又 f′(-1)<0, f′(0) x?2

>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 e 0 =
x

1 ,ln(x0+2)=-x0, x0 ? 2

? x0 ? 1?2 1 故 f(x)≥f(x0)= +x0= >0.综上,当 m≤2 时,f(x)>0。 x0 ? 2 x0 ? 2
【考点】导函数的运用与函数的最值. 【方法点睛】函数的极值点满足条件:导函数在极值点处的函数值必须为零,因此可先 令导函数为零,求得可能极值点,再由导函数的函数值的正负确定函数的单调区间,从 而确定极值点;而对于不等式的恒成立问题,可将其转化为函数的最值问题,即首先将 不等式转化为函数, 再由函数的单调性求得最值, 有最值的取值范围确定不等式恒成立.

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