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东莞某中学高一下学期第一次月考数学试题含答案


东莞某中学高一下学期 3 月月考试题
命题人: 谢金臣 申题人:陈青 2012.3.8

一.选择题(本大题共 10 个小题,每题 5 分,共 50 分。)
1、 Sin

4? =( 3



(A) ?

3 2

(B) -

>
1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

2、 已知角 ? 的终边经过点( 3 , ?1 ),则角 ? 的最小正值是( (A)

) (D)

2? 3
2 2

(B)

11? 6

(C)

5? 6


3? 4

3、 方程 x ? y ? 4mx ? 2 y ? 5m ? 0 表示圆的条件是( (A)

1 ? m ?1 4

(B) m ? 1

(C) m ?

1 4

(D) m ?

1 或m ?1 4

4、已知

sin ? ? 2 cos? ? ?5, 那么tan? 的值为( 3 sin ? ? 5 cos?
(B)2 (C)



(A)-2

23 16

(D)- )

23 16

5、自点 A(?1,4)作圆( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线,则切线长为(

(A)

5

(B) 3
2 2

(C) 10

(D) 5 )

6、若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( (A) ? 1 (B) ? 2
0

(C) 1

(D) ? 1 )

7、若点 P(m, n)( n ? 0) 为 600 角终边上的一点,则

m 等于( n
3 3

(A) ?

3 3

(B)

3

(C)

(D) ? 3

8、设 A?3,3,1? , B?1,0,5? , C ?0,1,0 ? , AB 的中点为 M ,则 CM ? (



(A)

53 4

(B)

53 2

(C)

53 2

(D)

13 2

1

9、已知角 ? 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 ? 的终边在( ) (A) x 轴上;
2

(B) y 轴上;
2

(C)直线 y ? x 上;

(D)直线 y ? ? x 上

10、从原点向圆 x ? y ? 12 y ? 27 ? 0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( ) (B)2π (C)4π (D)6π

(A)π

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。)
11、与 2010 终边相同的最小正角为 12、已知α 是第二象限的角, tan(? ? ? ) ?
0

,最大负角为 ______________。

1 ,则 cosα = ______ 2

___。

13、已知圆 x ? y ? kx ? 2 y ? ?k ,当该圆的面积最大时,圆心坐标为
2 2 2



14、若 cos( ? ? ) ? m ,则 sin(

?

?
3

6

??) ?

; cos(

5? ??) ? 6



2

三、解答题(本大题共 6 个题,共 80 分。)
15、(本题满分 12 分)(1)一扇形的圆心角为 72 ,半径等于 20cm ,求扇形的弧长和面 积; (2) 已知 sin(? ? ? ) ?
0

cos( ? ? ) ? cos( ? 2? ) ? 4 的值. ? ,求 cos? [cos(? ? ? ) ? 1] cos? cos( ? ? ) ? cos( ? 2? ) ? ? 5

16、 (本题满分 12 分) (1)已知角的终边在射线 y ? 2 x( x ? 0) 上,求 sin? ? cos? 的值。 (2)已知角的终边上有一个点 P(?

4 3 cos? , ) ,且 ? 0 ,求 sin? ? cos? 的值。 5m 5m tan ?

17、本题满分 14 分) ( 已知两圆 x ? y ? 2 x ? 10 y ? 24 ? 0 和 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0
2 2 2 2

(1)判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在的直线方程;(3)求公共弦的长。

3

18 、 ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 c o s? ? ? ) ? c o s ( (
2 c o s ? ? s in2 ?

3? 1 ? ? ? ? ) ? ? ,且 ? ? ? , 求 值 : 2 8 4 2

19、(本题满分 14 分) 已知点 M (?3,4) 和圆 O : x ? y ? 4 ,动点 N 在圆 O 上运动,
2 2

以 OM , ON 为两边作平行四边形 MONP ,求点 P 的轨迹。

20、(本题满分 14 分)已知圆 C : x ? y ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 (1)若直线 l 过点 A(3,0) ,
2 2 2 且被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设直线 l : mx ? (m ? 1) y ? 4m ,

1 m?R ,问直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么? 2

4

东莞市第一中学 3 月月考试题(高一数学) 参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B

二、填空题 11、 210 0 ; ? 150 0 三、解答题 15、解:(1) 设这个扇形的弧长为 l ,面积为 S,因为 72 0 ? 所以 12、 ?

2 5 5

13、(0,-1)

14、 m ; ? m

2? ......................................(4 分) ? 20 ? 8? (cm) 5 1 ......................................... ( 6 (cm 2 ) S ? ? 8? ? 20 ? 80? 2 l?
4 5
................... (8 分)

2? 5

.....................(2 分)

分) (2 ) 由 得 sin ? ? ? 4 5 ? cos? cos? 原式= ? cos? (? cos? ? 1) cos? (? cos? ) ? cos?

s i n?( ? ? ) ?

= =

2 1 1 = ? 1 ? cos? 1 ? cos? 1 ? cos2 ?

................... (12 分)

(10 分)

2 25 ? . 4 2 8 (? ) 5

...................

16、解:(1)在角的终边 y ? 2 x( x ? 0) 上任取一点 (?1,?2) ,.....................(2 分) 则: r ?

5

.....................(3 分)

由三角函数定义知: sin ? ?

?2 5

co? ? s

?1 5

.....................(5 分)

sin ? ? cos? ? ?
(2)因为 P(?

3 5

??

3 5 5

.....................(6 分)

? 当 m<0 时, ? 是第四象限角, 当 m>0 时, ? 是第二象限角。

4 3 , ) 是 ? 终边上的一点, 5m 5m

5

又?

? ? 是第三象限角或第四象限角, ? 是第四象限角, m<0 ? 故
分)

cos? ? 0 ? cos? ? 0, tan? ? 0或 cos? ? 0, tan? ? 0 tan ?
..............(8

?

r ? (?

4 2 3 1 ) ? ( )2 ? ? 5m 5m m

..........................................(9 分)

3 3 sin ? ? 5m ? ? 5 1 ? m 4 4 cos? ? 5m ? 1 5 ? m ?

.................................(11 分)

3 4 1 sin ? ? cos? ? ? ? ? 5 5 5.

......................................(12 分)

C ( C ( 17、解: 将两圆化为标准方程, 1 : x ? 1) ? ( y ? 5) ? 50 , 2 : x ? 1) ? ( y ? 1) ? 10 (1)
2 2 2 2

则圆 C1 的圆心为(1,-5),半径为 r1 ? 5 2 圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径为 r2 ? 10 又? .....................................(4 分)

C1C 2 ? 2 2 , r1 ? r2 ? 5 2 ? 10 , r1 ? r2 ? 5 2 ? 10 .
.....................(5 分)

? r1 ? r2 ? C1C2 ? r1 ? r2
? 两圆相交

.........................(6 分)

(2)将两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程是 x ? 2 y ? 4 ? 0 ......(9 分) (3)由(2)知圆 C1 的圆心(1,-5)到直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的距离

1 ? 2 ? (?5) ? 4
d=

1 ? (?2) 2

?3 5
........................................(12 分)
2

2 ? 公共弦的长 l = 2 r1 ? d ? 2 50 ? 45 ? 2 5 ...............................(14 分)

3? 1 cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? ? ? 2 8 18、解:?

?

c o ? ?s i n ? s ?

1 8

....................(4 分)

6

? (cos? ? sin ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? 1 ? 3 .............................(6 分)

4

4

?
? 4

?? ?

?
2
? cos ? ? sin ?

? ? ? c o s ? s i n ? 0 ...............(8 分)

?

cos? ? sin ? ? ?

3 2

...............(10 分)

而 (cos? ? sin ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? 且 cos? ? sin ? ? 0

1 5 ? 4 4
5 2
...............(12 分)

所以 cos? ? sin ? ?

所以 cos ? ? sin ? ? ? ?
2 2

? ? ?

3? 5 15 ?? ? 2 ?? 4 2 ?

.....................................(14

分) 19、解: (1)设 P( x, y)

? MONP 是平行四边形,? 对角线互相平分。......................(2 分)
......................(6 分) ......................(10 分)
2 2

? M (?3,4) ,所以 N ( x ? 3, y ? 4)

因为,点 N 在圆 O: x ? y ? 4 上,

? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 即为点 P 的轨迹方程。
? 直线 OM 的方程为: y

又因为点 P 、 O 、 M 不能在一条直线上,所以点 P 不在直线 OM 上。

4 ?? x 3 4 ? y?? x ? 联立方程: ? 3 ?( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ?

9 21 ? ? ?x ? ? 5 ?x ? ? 5 得: ? 或 ? ......................(12 分) 12 28 ?y ? ? y? 5 5 ? ?
9 12 ? 点 P 的 轨 迹 方 程 为 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ( 除 去 两 点 : (? , ) 和 5 5 (? 21 28 , ) ) 5 5
? 点 P 的轨迹是一个以 (?3,4) 为圆心,2 为半径的圆。除去两点: (? 9 , 12 ) 和

5 5

(?

21 28 , ) 5 5
................................................(14

分) 20、解:(1) 若直线 l 的斜率存在,设为 k 。 则过点 A(3,0) 的直线可以设为: y ? k ( x ? 3) ............................(1 分)

7

圆方程 x ? y ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 可以化为: ( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4
2 2

所以圆心为: C (4,?2) ,半径为 2 . 由于弦长为 2 3 ,所以由垂径定理, 得:圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 结合点到直线距离公式,得:

...........................(2 分)

22 ? (

2 3 2 ) ? 1 ,........................... (3 分) 2
解得: k ? ?

k?2 k 2 ?1

?1

3 。 ...................(4 分) 4

所以

(9(

所以,直线 l 的方程为: y ? ?

3 ( x ? 3) 4

化简得:3x ? 4 y ? 9 ? 0 . ..........(5 分)

若直线 l 的斜率不存在,则过点 A(3,0) 的直线可以设为: x ? 3 。 此时圆心 C (4,?2) 到它的距离等于 1,符合题意。. ............................(7 分) ................................(8 分) 3x ? 4 y ? 9 ? 0 1 (2) 若直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧, 则直线 l 所对的圆心角为 2 和 所以所求直线方程为:x ? 3

120 0
................................(10 分)

1 由圆的性质可知,弦心距 d = r = 1 2 2 4m ? 2(m ? 1) ? 4m 所以 ? 1. 2 2 2 m ? m ?1

................................(11 分) ...............................(12 分)

?

?

即 2(m 2 ? 1) ?

m2 ? m2 ? 1

?

?

2

所以: 3m ? 5m ? 3 ? 0
4 2

而此方程无解,

................................(13 分)

所以直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 分)

1 的两段圆弧。 2

...................(14

8


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