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2015高考数学优化指导第3章 第1节


第三章 导数及其应用

数学(文用)

第三章 导数及其应用

第一节

导数的概念及其运算

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数学(文用)<

br />
第三章 导数及其应用

1.了 解 导 数 概 念 的 实 际 背 景 . 2. 通 过 函 数 图 象 直 观 理 解 导 数 的 几 何 意 义 . 考 3. 能 根 据 导 数 的 定 义 求 函 数 y=c(c 为 常 数 ),y= 纲 1 x,y= x,y=x2,y=x3,y= x的 导 数 . 要 能 利 用 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 和 导 数 的 四 则 求 4. 运 算 法 则 求 简 单 函 数 的 导 数 , 能 求 简 单 复 合 函 数 (仅 限 于 形 如 f(ax+b)的 复 合 函 数 )的 导 数 .

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第三章 导数及其应用

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第三章 导数及其应用

一、导数的概念
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

f?x2?-f?x1? 函数 y = f(x) 从 x1 到 x2 的平均变化率为 ____________ ,若 x2-x1 Δy Δx Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为___.

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第三章 导数及其应用

2.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 ( 1 ) 定义
Δy lim =Δ lim Δx→0 Δx x→0 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率______________
f?x0+Δx?-f?x0? Δx ______________ 为函数 y=f(x)在 x=x0 处 的 导 数 , 记 作 f′(x0) f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim x→0 或 y′|x=x0,即 f′(x0)=Δ lim =Δ __________________. Δx x→0 Δx

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第三章 导数及其应用

(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)

(x0,f(x0)) 处的 ______________ 切线的斜率 . ( 瞬时速度就是位 上点 _____________
移 函 数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) 相 应 地 , 切 线 方 程 为

y-y0=f′(x0)(x-x0) . ____________________
3.函数f(x)的导函数

f?x+Δx?-f?x? lim Δx→0 Δx 称函数f′(x)=____________________ 为f(x)的导函数.

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第三章 导数及其应用

二、基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c为常数) 导函数 0 f′(x)=___ αxα-1 f′(x)=______ cos x f′(x)=______ sin x f′(x)=- ______ axln a f′(x)=______ ex f′(x)=______ 1 xln a f′(x)=______ 1 f′(x)=____ x
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f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x
f(x)=ax f(x)=ex f(x)=loga x

f(x)=ln x

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第三章 导数及其应用

三、导数的运算法则 1.[f(x)± g(x)]′= f′(x)±g′(x) 2.[f(x)· g(x)]′=

. f′(x)g(x)+f(x)g′(x)



f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? 2 ? ? g [ ? x ? ] 3.? ?′=______________________ (g(x)≠0). g ? x ? ? ?

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第三章 导数及其应用

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1.f′(x0)与f′(x)表示的意义相同.( ) ) ) ) 2.求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( 只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线.( 4.若f(x)=t3+2tx-x2,则f′(x)=3t2+2x.( 的.( )

3 .曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点,与曲线

5.曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”是相同

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第三章 导数及其应用

【答案及提示】 1.× 2.× f′(x0)表示导函数 y=f′(x)在x=x0时的函数值,是 求f′(x0)时,应先求f′(x),再求f′(x0);或利用定义

一个数,而y=f′(x)是一个函数,故不正确.
直接求f′(x0),故不正确.

3.√ 由曲线切线的定义知正确.
4 .× 2x,错误. 5 .× “在点 P 处的切线”说明 P 为切点,且点 P 在曲 线上;“过点P的切线”说明点P不一定在曲线上,即使在曲 由于是对x求导,而t 是常数,故应为f′(x)=2t-

线上,也不一定为切点.故结论不正确.
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第三章 导数及其应用

1 .如图,函数 y = f(x) 的图象在点 P 处的切线方程是 y =
-x+8,则f(5)+f′(5)=________.

解析: 2

由导数的几何意义知 f′(5) =- 1 ,又点 P 在切

线上,所以f(5)=-5+8=3,因此f(5)+f′(5)=3-1=2.
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第三章 导数及其应用

2.已知f(x)=x2+3xf′(2),则f′(2)=________.

解析: - 2

f′(x) = 2x + 3f′(2) ,令 x = 2 ,得 f′(2) = 4 +
)

3f′(2),解得f′(2)=-2. 3.(课本习题改编)函数y=x3·ax的导数是( A.(3+xln a)x2ax C.(3+ln a)xax B.(3+ln a)x3ax D.(3+ln a)ax

解析:选A ∵y=x3·ax, ∴y′=(x3·ax)′=(x3)′ax+x3(ax)′ =3x2ax+x3·axln a

=(3+xln a)x2ax.选A.

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第三章 导数及其应用

4.(2013·大纲全国高考)已知曲线y=x4+ax2+1在点(-
1,a+2)处切线的斜率为8,则a=( A.9 C.-9 解析:选 D B.6 D.-6 由题意知 y′|x=-1 =(4x3 +2ax)|x=- 1=- 4- )

2a=8,解得a=-6,故选D.

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第三章 导数及其应用

5.(2014·郑州模拟)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相
切于点A(1,2),则ab=( A.-8 C.-1 解析: 选 A ) B.-6 D.5 由题意得 y = kx + 1 过点 A(1,2) , ∴ 2 = k +

1,即k=1.∵曲线y′=3x2+a,又∵直线y=kx+1与曲线相切 于点(1,2),∴y′=k,且y′|x=1=3+a,即1=3+a, ∴ a=- 2及切点(1,2),代入曲线方程 y =x3 + ax + b,可

解得b=3.∴ab=(-2)3=-8.故选A.

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第三章 导数及其应用

导数的概念及应用

(1)若函数 y=f(x)在区间(a, b)内可导, 且 x0∈(a, f?x0+h?-f?x0-h? b),则lim 的值为( h→0 h A.f′(x0) C.-2f′(x0) )

B.2f′(x0) D.0

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第三章 导数及其应用

f?x0+h?-f?x0? 解析:选 B 由题意知 f′(x0)=lim . h→0 h 故 lim h→0 f?x0+h?-f?x0-h? = lim h→0 h f?x0+h?-f?x0? + lim h→0 h

f?x0-h?-f?x0? =2f′(x0),故选 B. -h

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第三章 导数及其应用

( 2 ) 用导数的定义,求函数 y= x的导数.

Δy 解:Δ lim =liΔm x→0 x→0 Δx

x+Δx- x Δx

? x+Δx- x?? x+Δx+ x? =Δ lim x→0 Δx? x+Δx+ x? =Δ lim x→0 = 1 2 x . 1 x+Δx+ x

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第三章 导数及其应用

【互动探究】 本例( 1 ) 中,若 f(x)=l n x+20 1 4 ,x0=e,其他条件不变, f?x0+h?-f?x0-h? 求lim 的值. h→0 h
解:∵f(x)=l n x+2 014, 1 ∴f′(x)= x. 1 ∴f′(x0)=f′( e ) = e. f?x0+h?-f?x0-h? 2 由例( 1 ) 知lim = =2f′(x0)=e . h→0 h

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第三章 导数及其应用

1.用导数的定义求 y=f(x)在 x=x0 处 的 导 数 的 步 骤 . ( 1 ) 求函数值的增量 Δy=f(x+Δx)-f(x); Δy f?x+Δx?-f?x? ( 2 ) 求函数的平均变化率Δx= ; Δx ( 3 ) 取 极 限 , 得 导 数 f?x+Δx?-f?x? Δy f′(x0)=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→0 Δx

2. 利 用 导 数 的 定 义 求 函 数 在 某 一 点 处 的 导 数 , 其 关 键 是 Δy 约去 中分子、分母趋近于零的因式. Δx

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第三章 导数及其应用

4 1.利用定义求函数 y=x2的导数.
4Δx?2x+Δx? 4 4 解:Δy= - 2=- 2 , ?x+Δx?2 x x ?x+Δx?2 2x+Δx Δy ∴ =-4·2 , Δx x ?x+Δx?2
? 2x+Δx ? Δy 8 ? ? -4·2 ∴Δ lim =Δ lim 2?=- 3. x→0 Δx x→0 ? x x ? x + Δ x ? ? ?

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第三章 导数及其应用

导数的运算

(1)(2013· 江西高考 ) 设函数 f(x) 在 (0 ,+ ∞ ) 内可 导,且f(ex)=x+ex,则f′(1)=________.

解析:2 设 t=ex,则 x=ln t,∴f(t)=ln t+t,∴f′(t) 1 = t +1.∴f′(1)=2.

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第三章 导数及其应用

( 2 ) 求下列函数的导数. ①y=e · ln
x

? 1 1? 2 x;②y=x?x +x +x3?; ? ?

? 1 ? x x ? ③y=x-sin cos ;④y=( x+1)? -1? . ? 2 2 ? x ?

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第三章 导数及其应用

解 : ① y′ = (ex)′· l n x + ex· ( l n e
x

x e x)′ = ex· l n x+ = x

? ?l n ?

1? x+ ?. x? 1 ②y=x +1+x2
3

2x 2 2 ∴y′=3x - x4 =3x -x3.
2

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第三章 导数及其应用

x x 1 ③y=x-s i n c o s =x- s i n x. 2 2 2 1 ∴y′=1-2c o s x. 1 1 1 1 ④y= x· - x+ -1=-x2+x-2, x x 1? 1 1 1 3 1 ? ?1+ ?. ∴y′=- x- - x- =- x? 2 2 2 2 2 x?

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第三章 导数及其应用

1.求导的原则:先化简解析式,再求导. 2.求导的方法: ( 1 ) 连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; ( 2 ) 分 式 形 式 : 观 察 函 数 的 结 构 特 征 , 先 化 为 整 式 函 数 或 较为简单的分式函数,再求导; ( 3 ) 对数形式:先化为和、差的形式,再求导; ( 4 ) 根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ( 5 ) 三 角 形 式 : 先 利 用 三 角 函 数 公 式 转 化 为 和 或 差 的 形 式 , 再求导.
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第三章 导数及其应用

2.求下列各式的导数. 1 1 cos 2x ①y= + ;②y= ; sin x + cos x 1- x 1+ x
? x? 2 x ③y=(x+1)(x+2)(x+3);④y=-sin 2?1-2cos 4?; ? ?

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第三章 导数及其应用

1 1 2 解:①y= + = 1- x 1+ x 1-x
? 2 ? 2 ? ? ∴y′=?1-x?′= ?1-x?2 ? ?

?c o s x-s i n x??c o s x+s i n x? c o s2 x ②y= = =c o s s i n x+c o s x s i n x+c o s x s i n x,∴y′=( c o s x-s i n x)′=-s i n x-c o s x.

x-

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第三章 导数及其应用

③y=(x+1 ) ( x+2 ) ( x+3)=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6 ∴y′=3x2+12x+11.
? x? x x 1 2 x ? ? ④y=-sin 1-2cos 4 =sin cos = sin x 2? 2 2 2 ? ?1 ? 1 ? ? ∴y′= 2sin x ′= cos 2 ? ?

x.

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第三章 导数及其应用

导数的几何意义

(1)(2013·广东高考)若曲线y=ax2-ln x在(1,a)

处的切线平行于x轴,则a=________.
1 解析:2 由曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴得切线 1 的斜率为 0,由 y′=2ax- 及导数的几何意义得 y′|x=1=2a x 1 -1=0,解得 a= . 2

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第三章 导数及其应用

( 2 ) ( 2 0 1 2 · 安徽高考)设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax 1 + +b(a>0). ax ①求 f(x)的最小值; 3 ②若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y= x,求 2 a,b 的值.

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第三章 导数及其应用

1 解:①方法一:由题设和均值不等式可知,f(x)=ax+ax +b≥2+b,当且仅当 ax=1 时,等号成立, 1 即当 x=a时,f(x)取最小值为 2+b.
2 2 1 a x -1 方法二:f(x)的导数 f′(x)=a-ax2= ax2 ,

?1 ? 1 当 x>a时,f′(x)>0,f(x)在?a,+∞?上递增; ? ? ? 1? 1 当 0<x<a时,f′(x)<0,f(x)在?0,a?上递减. ? ?

1 所以当 x=a时,f(x)取最小值为 2+b.
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第三章 导数及其应用

1 ②由①知 f′(x)=a-ax2. 1 3 又由题设知 f′( 1 ) =a- = , a 2 1 解得 a=2 或 a=-2(舍去). 1 3 又 f( 1 ) =a+ +b= , a 2 所以 b=-1. 所以 a=2,b=-1.

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第三章 导数及其应用

1.求曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程 ( 1 ) 求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处 的 导 数 , 即 为 曲 线 在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率. ( 2 ) ①如 果 已 知 切 点 坐 标 和 切 线 的 斜 率 , 则 切 线 方 程 为 =y0+f′(x0)(x-x0). ②如果切线平行于 y 轴,则切线方程为 x=x0. y y=f(x)

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第三章 导数及其应用

2.求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程
(1) 设切点 A(xA , f(xA)) ,求出切线的斜率 k = f′(xA) ,写 出切线方程. (2)把点P(x0,y0)的坐标代入切线方程,解得xA的值,进 而写出切线方程. 【提醒】 求切线方程时,一定要分清所给点是不是切 点.

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第三章 导数及其应用

3.( 2 0 1 1 · 大纲全国高考)曲线 y=e 1 A.3 2 C. 3 1 B.2 D.1

-2x

+1 在点( 0 , 2 ) 处的切 )

线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为(

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第三章 导数及其应用

解析: 选 A

由题意得: y′ =

(e-2x+1)′=e-2x(-2x)′=-2e-2x,
则在点 (0,2) 处的切线斜率为 k =- 2e0=-2. ∴切线方程为:y=-2x+2.
? ?y=-2x+2, 联立? ? ?y=x,



?2 2? C?3,3?. ? ?

1 ∴切线与 y=0 和 y=x 围成三角形的面积为:S△OBC= 2 2 1 2 1 OB× = ×1× = .故选 A. 3 2 3 3
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第三章 导数及其应用

跨越易错误区系列之(五)
求切线方程时忽视点的位置致误 【典例】 ________. [错因分析]解本题易出现的错误有: (1)不理解导数的几何意义,误认为点P就是切点; (2)求导数时因公式不熟练导致错误. (2014· 上海摸底 ) 已知函数 f(x) = x3 - 3x ,过 点 P( - 2 , - 2) 作 曲 线 y = f(x) 的 切 线 , 则 切 线 的 方 程 为

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第三章 导数及其应用

解析:y=9x+16 或 y=-2 由题意知点 P(-2,-2)在 曲线上. (1)当点 P(-2,-2)为切点时, ∵f(x)=x3-3x, ∴f′(x)=3x2-3 ∴f′(-2)=9 ∴过点 P 的切线方程为 y+2=9(x+2),即 y=9x+16.

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第三章 导数及其应用

( 2 ) 当 点 P(-2, -2 )不 是 切 点 时 , 设 切 点 为 =a3-3a, 由 于 y′=3x2-3, 所 以 切 线 的 斜 率 故 切 线 方 程 为

(a,b), 则 b k=3a2-3,

y-b=(3a2-3)(x-a),又切线过点(-2,-2),
? ?a=-2, 或? ? ?b=-2,

? ?a=1, 2 所以-2-b=(3a -3)· (-2-a), 解得? ? ?b=-2

(舍去),所以切线方程为 y=-2. 综上,所求的切线方程为 y=9x+16 或 y=-2.

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第三章 导数及其应用

[温馨提示]求曲 线的 切线 方 程时 , 要注 意

“过 某 点的 切

线”问题中此点不一定是切点,此点也不一定在曲线上.所 以解题时要先判断该点是不是在曲线上,是不是切点,然后 再去解决,切忌盲目地认为给出点就是切点.

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第三章 导数及其应用

【针对训练】 1. 若 存 在 过 点 15 ( 1 , 0 ) 的直线与曲线 y=x 和 y=ax + x-9 4
3 2

都相切,则 a 等于( 25 A.-1 或-64 7 25 C.-4或-64

) 21 B.-1 或 4 7 D.-4或 7

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解析: 选 A

设该直线与两曲线分别切于点

(x1 , x 3 1),

? ? 15 2 ?x2,ax2+ x2-9?,则有 4 ? ?

15 ? 2 ?3x1=2ax2+ 4 , ? 15 ? 2 ax2+ 4 x2-9-0 ?x3 - 0 1 2 = 3 x , ?x -1 1= x2-1 ? 1 x3 3 1-0 2 由 =3x1,得 x1=0 或 x1= . 2 x1-1

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第三章 导数及其应用

1 5 1 5 2 ①当 x1=0 时 , 2a x 2+ 4 =0, 则 a x 2= - 8, 代 入 3x1 = a x 1 5 2 2+ 4 x2-9-0 , x2-1

1 5 1 5 得 - 8 x2+ 4 x2-9=0, 2 4 2 5 故 x2= ,a= - . 5 6 4 3 ②当 x1=2时 , 同 理 得 3 x2= - 2,a= - 1.

2 5 故 a= - 1 或 a= -6 选 A. 4,
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2.已知曲线y=3x-x3及点P(2,2),则过点P的切线条数
为________.

解析:3 点 P 不在曲线上,设切点为 M(x0,3x0-x3 0),则 曲线在点 M 处的切线方程为
2 y-(3x0-x3 0)=(3-3x0)(x-x0).

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由切线过点 P( 2 , 2 ) 得
3 2-(3x0-x0 )=(3-3x2 0)(2-x0), 3 整理得 x0 -3x2 0+2=0.

即(x0-1 ) ( x2 0-2x0-2)=0. ∴x0=1 或 x0=1- 2或 x0=1+ 2. 故过点 P( 2 , 2 ) 的 切 线 有 三 条 .

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数学(文用)

第三章 导数及其应用

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