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恒成立问题的常见题型与解法

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中学课 哥 { 辅  2 0 1 3 第 1 8 期   恒 成 立 问题 的 常见 题 型 与 解 法  @ 陈桂 红  恒 成 立 问 题 是 高 考 中常 出现 的题 型 之 一 , 其 方 法 较 多 导 致 一  些 同学觉得很难 , 无从下 手. 其 实 恒 成 立 问题 主 要 出 现 在 函 数 与  是待 定系数法的运用. 下 面 从 以下 几 种 类 型 的

题 目进 行 说 明 。   一 四、 利 用 函数 图像  例 4若 不 等 式 ( x 一1 )   ( 1 o g   x ( 1 ( x ( 2 ) 恒成立 , 则 a的 取 值 范  解析 : 记 函数  f ( x ) 一( x 一1 ) 。 , g ( x ) =l o g   x , x E ( 1 , 2 ) 并作 出 .   图像 。   由 图象 可 知 :a 一2是 临界 位 置 ,   解 析 几何 中 , 在 函数 部 分 往 往 转 化 为 最 值 问 题 , 在 几 何 部 分 往 往  围 是  次 函数型 : 形如 : 一次函数 f ( x )一 k x +b在 区 间 m, n ]   、 一 恒有 f ( x ) > O ( < O )   例 1若 不 等 式 mx 2 —2 x +1 一m < 0对 I   r nI ≤ 2恒 成 立 , 则 x   的 取 值 范 围 是  解析 : 记 f ( m) 一( x 2 —1 ) m一 2 x +1 , 一2 ≤ m≤ 2   将 y —l o g   x的 图 象 绕 定 点 ( 1 , O ) 逆 时 针 方 向旋 转  满 足 题 目要 求 , 但 要 a) 1 所 以,   y‘   由 题 意 得 : 』 { f ( 2 - )   ≤ 2 )  ̄ 0解 O 解 得   ≤   x ≤   华   I   ? . .  a的取 值 范 围是 1 < a ≤2 .   。 。 。  i   ,   变式 不 等式 v / 4 x d -x : ̄ Z > a x   ,   ]   恒成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 是  说明: 利 用 图 象 解 题 必 须  熟 悉 各 类 基 本 函 数 图 象 的 作  /   的取 值 范 围为  说 明: 本 题 貌 似 二 次 不 等 式 问题 , 但 细看其 中的变量为 r n是  一 : \  …一   0   2   次的 , 而 x是 作 为 参 数 看 待 的 , 所 以 应 该 把 它 整 理 成 关 于 m 的  二、 二 次 函 数 型  不等式求解. 这 样 的 方 法 称 为 变 更 主元 法 .   法, 还 有 一 些 问 题 必 须 熟 悉 表 达 式 的 几 何 意 义 .如 :Y一   二 次 函数 f ( x )一 a x 2 +b x +C 在 指 定 的 区 间上 的 恒 成 立 问   ̄ / r   一x   表示半圆 ; y =k ( x 一1 ) +2 表示过点 ( 1 , 2 ) 直线 ;   题, 主 要 结 合 韦 达 定 理 及 根 的分 布 知 识 求 解 , 也 常 运 用 分 类 参 数  的方法求解 .   例 2已知 不 等式 x 2 —4 x + m( 0在 区 间 [ 1 , 4 ] 上恒成立 , 求 实  表示点 ( x , y ) 与( 2 , 一1 )两 点 连 线 的斜 率 等 .   五、 解 析 几

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