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黑龙江省哈尔滨市2013届高三数学二轮复习 专题能力提升训练十五 选考内容 2

时间:2013-05-14


哈尔滨 2013 届高三数学二轮复习专题能力提升训练:选考内容
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.不等式 1 ? 3x ? 4 ? 6 的解集为( A

. ?? ,? ? ? ?1, ? 3 3 ? ? 3? ? C. ?? ,? ? ?1, ? 3 3? ? 3 ? ? ? ) B. ?? ,? ? 1, ? 3 3? ? 3 ? ? ? ? D. ?? ,? ? ? 1, ? 3 3 ? ? 3? ? ? )

? 10

5?

? 2?

? 10

5?

? 2?

? 10

5?

? 2?

? 10

5?

? 2?

【答案】B 2.如图,A、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线,∠B=70°,则∠BAC 等于(

A. 70° 【答案】C

B. 35°

C. 20°

D. 10°

3. 在极坐标系中与点 A(6, A. (6,

?
3

)

4? ) 重合的点是( ) 3 7? ? ) B. (6, C. ( ?6, ) 3 3

D. ( ?6,

2? ) 3

【答案】C 4. 如图已知 ?ABC 的一边 BC ? 2c ,另外两边 AB ? AC ? 2a ,直线 l 是 ?ABC 外角的平分线,记边 BC 的 中点为 O ,过点 O 作边 AB 的平行线与直线 l 相交于点 P ,则线段 OP 的长度为( )

A

P

B

O

C

A.

a

B.

c

C.

a?c 2

D.

a?c 2

【答案】A
1 ? 5.方 程 ? x ? t ? (t 为参数)表示的曲线是( ? t ? y?2 ?

) D.抛物线的一部分

A.一条直线 【答案】B

B.两条射线

C.一条线段

1

6.已知二面角 ?

? l ? ? 的平面角为 ?

,P 为空间一点,作 PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂足,且 PA ? 4 ,

PB ? 5 ,设点 A、B 到二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 的距离为别为 x, y .则当 ? 变化时,点 ( x, y) 的轨迹是
下列图形中的( )

【答案】D 7.不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集是( A.[-5,7] C. ) B.[-4,6] D.

? ??, ?5? ? ?7, ???

? ??, ?4? ? ?6, ???

【答案】D

?? ? cos ? ? ? ? ? 表示的曲线是( ?4 8.极坐标方程 ? =
A.双曲线 【答案】D B.椭圆

) D.圆

C.抛物线

9.极坐标系内曲线 ? ? 2 cos? 上的动点 P 与定点 Q( 1, A. 2 ? 1 【答案】A B.

? )的最近距离等于( 2
D. 2

)

5 ?1

C.1

10.不等式 | x+ | + | x- |≥ 2- 3 1 a 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.[-1,4] C.[-2,5] 【答案】A B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,-1]∪[4,+∞)

)

11. 2x ? 2 ? 2x ? 2 ? a 能成立,则实数 a 的取值范围是( A.

) D.

? ??, ?4?

B.

? 4, ?? ?

C.

??4, ???

? ?4, ???

【答案】C 12.已知关于 x、 y 的二元一次线性方程组的 增广矩阵为 ?

? ? ? a ? (a1, a2 ), b ? (b1, b2 ), c ? (c1, c2 ) ,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? c ? 0 B. a、、 两两平行. b c ? ? ? ? ? C. a / /b . D. a、、 方向都相同. b c
【答案】B

? a1 b1 c1 ? ? ,记 a2 b2 c2 ? ?

)

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图, ? ABC 是圆 O 的内接三角形,圆 O 的半径 r ? 1 , AB ? 1 , BC ? 则 ?ACE ? ____________.

2 , EC 是圆 O 的切线,

【答案】 15?

14.在极坐标系中,点 M (2,

?

? 2 ) 到直线 l : ? sin(? ? ) ? 的距离为____________ 3 4 2

【答案】

6 2

15.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为____________

【答案】

2 2


16.若关于 x 的不等式 x ? x ?1 ? a ( a ? R)的解集为 ? ,则 a 的取值范围是 【答案】 (??,1]

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.已知曲线

C1 : y ?

1 2 2 x 绕原点逆时针旋转 45? 后可得到曲线 C2 : y ? x ? 2 ,

(I)求由曲线 C1 变换到曲线 C2 对应的矩阵 M 1 ; (II)若矩阵 M 2 ? ?

? 2 0? ? ,求曲线 C1 依次经过矩阵 M1 , M 2 对应的变换 T1 , T2 变换后得到的曲线方程. ? 0 3?
2 2 2 2 ? 2? ? 2 ?; 2 ? ? 2 ?

? ? 【答案】 (I)依题意得 M 1 ? ? ? ? ?

(II)设依次经过矩阵 M 1 , M 2 对应的变换 T1 , T2 对应的矩阵

3

? 2 2 0? ? 2 ? ? M ? M 2M1 ? ? ? 0 3? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2

?

2? ? ? 2 2 ? ? ?3 2 2 ? ? ? ? ? 2 2 ?

? 2? ? 3 2? ? 2 ?

? x' ? ? x? 1 ' ' ' 任取曲线 C1 : y ? 上的一 点 P( x, y), 它在变换 TM 作用下变成点 P ( x , y ), 则有 ? ' ? ? M ? ? ,即 ? y? ?y ? x ? ? ? ?
? 3x ' ? 2 y ' x? ? x' ? 2x ? 2 y ? ? ? 6 2 ,? ? ? ' 3 2 3 2 2 y ' ? 3x ' ?y ? ?y ? 2 x ? 2 y ? ? 6 2 ?

y' x' 1 y x 又因为点 P 在 C1 : y ? 上,得到 ? ? 1即 ? ? 1。 x 18 8 18 8
18.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?

2

2

2

2

? x ? 5cos ? (? 为参数 ) ? y ? 3sin ?

(Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。 【答案】 (1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所 以k ?

1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ?

?
2

时,面积最大为 30

19.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 是⊙O 上的点,OC 垂直于直径 AB,过 F 点作⊙O 的切线交 AB 的延长线 于 D.连结 CF 交 AB 于 E 点. (1)求证:DE2=DB·DA; (2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OB= 3 OE,求 EF 的长.

【答案】 (Ⅰ)连结 OF.∵DF 切⊙O 于 F,

4

∴∠OFD=90°.∴∠OFC+∠CFD=90°. ∵OC=OF,∴∠O CF=∠OFC. ∵CO⊥AB 于 O,∴∠OCF+∠CEO=90°. ∴∠ CFD=∠CEO=∠DEF,∴DF=DE. ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF2=DB·DA. ∴DE2=DB·DA.

OE ?
(Ⅱ)

1 3

OB ? 2

,CO= 2 3 ,

CE ? CO 2 ? OE 2 ? 4

∵CE·EF= AE·EB= ( 2 3 +2)( 2 3 -2)=8,∴EF=2. 20.已知矩阵 A ? ?

?2 0 ? ? ,点 M (?1, ? 1) ,点 N (1,1) . ?0 3 ?

(1)求线段 MN 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的线段 M ?N ? 的长度; (2)求矩阵 A 的特征值与特征向量. 【答案】 (1)由 ?

?3 0 ? ??1? ? ? 3? ?3 0 ? ?1? ? 3 ? ?? ? ? ? ? ,? ?? ? ? ? ? , ?0 4? ??1? ? ?4 ? ?0 4? ?1? ? 4 ?

所以 M ?(?3, ? 4), N ?(3, 4) 所以 M ? ? ? (?3 ? 3)2 ? (?4 ? 4)2 ? 10 N (2) f (? ) ?
? ?3
0 0 ? (? ? 3)(? ? 4) ? 0 ? ?4

得矩阵 A 特征值为 ? 1 ? 3, ? 2 ? 4 ,

?(? ? 3) x ? 0?y ? 0 , 分别将 ? 1 ? 3, ? 2 ? 4 代入方程组 ? ?0?x ? (? ? 4) y ? 0 ,
得矩阵 A 属于特征值 ?1 ? 3 的特征向量为 ? 1 ? ? ?

?1 ? ?0 ?

当 属于特征值 ? 2 ? 4 的特征向量为 ? 2 ? ? ?

?1 ? ?0 ?

5

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 21.已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? , 求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?
【答案】∵ A?1 A = E ,∴ A = A?1

? ?

?1



? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 ? 2 3? ?1 ∵A ?? ? ,∴ A = ? A?1 ? ? ? ?。 ?2 1 ? ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?
?? ? 2 ? 3 ? 2 ∴矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? = ? =? ? 3? ? 4 。 ? ?1 ? ? ?2 ?
令 f ? ? ? =0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ?2 =4 。 , 22.在极坐标系中 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 ? 坐标.
? 【答案】因为直线 l 的极坐标方程为 ? = ( ? ?R) , 3

?
3

( ? ? R ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) ,求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角 y ? 1 ? cos 2? , ?

所以直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,①
? x ? 2cos ? , 又因为曲线 C 的参数方程为 ? (α 为参数), ? y ? 1 ? cos 2?

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ?

1 2 x ( x ? [?2, 2]) ,② 2

? x ? 2 3, ? x ? 0, ? 联立①②解方程组得 ? 或? y?0 ? y ? 6. ? ? ? x ? 2 3, ? 根据 x 的范围应舍去 ? ? y ? 6, ?
故 P 点的直角坐标为(0,0).

6


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