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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)选修1-1【配套备课资源】综合检测一


综合检测(一)
一、填空题 1.命题“?x∈R,x2+1>0”的否定是________. 2.某质点的运动方程是 s=t-(2t-1)2,则在 t=1 s 时的瞬时速度为________. 3.“ab<0”是“方程 ax2+by2=c 表示双曲线”的________条件. x2 y2 4.椭圆 + =1 的焦距为 2,则 m 的值等于______. m 4

x2 y2 1 5.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则右焦点坐标为________. 4 b 2 π? π 6.已知 f(x)=sin x+cos x+ ,则 f′? ?2?=________. 2 1 7.抛物线 y= x2 的焦点到准线的距离是________. 4 x2 y2 8.抛物线 y2=12x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线所围成的三角形面积等于 9 3 ________. x2 y2 9. 过点 P(0,3)的直线与双曲线 - =1 只有一个公共点, 则这样的直线有________条. 4 3 10. 设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0. 且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________. 11.把一个周长为 12 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周 长与高的比为________. 12.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于________. x2 y2 13. 椭圆 + =1 的焦点为 F1, F2, 点 P 在椭圆上, 若 PF1=10, 则 S△PF1F2=________. 64 48 14.若函数 f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围是 ________. 二、解答题 x2 y2 4 15.已知命题 p:“椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上”;命题 q:f(x)= x3-2mx2+(4m 2 m 3 -3)x-m 在(-∞,+∞)上单调递增,若(綈 p)∧q 为真,求 m 的取值范围. 16.已知抛物线 C 经过点(3,6)且焦点在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)直线 l:y=kx-3 过抛物线 C 的焦点 F 且与抛物线 C 交于 A,B 两点,求 A,B
1

两点间的距离. 17.已知函数 f(x)=x3-3ax2-bx,其中 a,b 为实数. (1)若 f(x)在 x=1 处取得的极值为 2,求 a,b 的值; (2)若 f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且 b=9a,求 a 的取值范围. 18.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品的零售价定为每件 p 元, 则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2.问 该商品零售价定为多少元时,毛利润 L 最大,并求出最大毛利润.(毛利润=销售 收入-进货支出) 19.设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e= 3? 3 ,已知点 P? ?0,2?到这个 2

椭圆上的点最远距离是 7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐标. 1 20.已知函数 f(x)= x2+ln x. 2 (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大、最小值; 2 (2)求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的图象的下方. 3

2

答案
1.?x∈R,x2+1≤0 6.-1 12.9 7.2 13.24 2.-3 9.4 1 3 3.必要不充分 4.5 或 3 5.( 5,0) 11.2∶1 8.3 3 14.k≤ 10.(-∞,-3)∪(0,3)

15.解 p 真时,m>2, q 真时,f′(x)=4x2-4mx+4m-3≥0 在 R 上恒成立. Δ=16m2-16(4m-3)≤0,1≤m≤3.
?m≤2, ? ∴? ? ?1≤m≤3,

∵(綈 p)∧q 为真,∴p 假,q 真.

∴所求 m 的取值范围为 1≤m≤2. 代入点(3,6),得 p=6.

16.解 (1)设所求抛物线为 y2=2px(p>0), ∴抛物线方程为 y2=12x.

(2)由(1)知 F(3,0), 代入直线 l 的方程得 k=1.
? ?y=x-3, 程? 2 ?y =12x ?

∴l 的方程为 y=x-3, 联立方

消去 y 得 x2-18x+9=0. ∵AB 过焦点 F,

设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∴|AB|=x1+x2+6=24. f′(1)=0 且 f(1)=2,

则 x1+x2=18.

17.解 (1)由题设可知:f′(x)=3x2-6ax-b,
?3-6a-b=0, ? 4 即? 解得 a= ,b=-5. 3 ? 1 - 3 a - b = 2 , ?

(2)∵f′(x)=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a, ∴f′(x)≤0 对 x∈[-1,2]恒成立,

又 f(x)在[-1,2]上为减函数,

即 3x2-6ax-9a≤0 对 x∈[-1,2]恒成立. a≥1 ?a≥1, 7

∴f′(-1)≤0 且 f′(2)≤0, ∴a 的取值范围是 a≥1.

? ?3+6a-9a≤0 ? ? 即? ?? 4 ?12-12a-9a≤0 ? ?a≥ ?

18.解 设毛利润为 L(p),由题意知 L(p)=p· Q-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p -20)=-p3-150p2+11 700p-166 000, 所以 L′(p)=-3p2-300p+11 700.

令 L′(p)=0,解得 p=30 或 p=-130(舍去). 此时,L(30)=23 000. 因为在 p=30 的左侧 L′(p)>0,右侧 L′(p)<0, 所以 L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件 30 元时,毛利润 L 最大,为 23 000 元. x2 y2 19.解 设所求椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b a2-b2 c 3 由 e= = = ,得 a=2b.① a a 2

设椭圆上任一点 M 的坐标为(x,y),点 M 到点 P 的距离为 d,
3

a2y2 则 x2=a2- 2 ,且 b

3 3 a2 9 y- ?2=a2- 2y2+?y- ?2=-3y2-3y+4b2+ d2=x2+? ? 2? ? 2? b 4

1?2 2 =-3? ?y+2? +4b +3,其中-b≤y≤b. 3?2 1 如果 b< ,则当 y=-b 时,d2 取得最大值,即有( 7)2=? ?b+2? , 2 3 1 1 1 解得 b= 7- > 与 b< 矛盾. 如果 b≥ , 2 2 2 2 即有( 7)2=4b2+3. x 所求椭圆方程为 +y2=1. 4 1 1 - 3,- ? 和 由 y=- 可得椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标为? 2? ? 2
2

1 则当 y=- 时,d2 取得最大值, 2

由①、②可得 b=1,a=2.

? 3,-1?. 2? ?
1 2 1 1 ? 20.(1)解 由 f(x)= x2+ln x 得 f′(x)=? ?2x +ln x?′=x+x,在[1,e]上,f′(x)>0, 2 1 所以函数 f(x)是增函数. 所以 f(x)max=f(e)= e2+1; 2 (2) 证 明 1 2 设 F(x) = f(x) - g(x) = x2 + ln x - x3 , 2 3 因为 x>1,所以 F′(x)<0. 1 f(x)min=f(1)= . 2 1 则 F′(x) = x + - 2x2 = x

?1-x??1+x+2x2? , x

1 所以函数 F(x)在[1,+∞)上是减函数. 又 F(1)=- , 6 所以在[1,+∞)上,有 F(x)<0, 即 f(x)<g(x).

2 所以在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的图象的下方. 3

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