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2014全国高中数学联赛安徽省初赛试卷

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2014 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2014 年 7 月 5 日上午 9:00—11:30)
题号 得分 评卷人 复核人 注意:1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 2. 请用钢笔、 签字笔或圆珠笔作答。 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64

分) x2+2x+3 1.函数 y= x2+4x+5 (x∈R)的值域是___________________________. 2. 函数 y=tan(2013x)-tan(2014x)+tan(2015x)在[0,π ]中的零点个数是_________. 3.设定点 A(2,1),动点 B 在 x 轴上,动点 C 在直线 y=x 上,则△ABC 的周长 的最小值是__________________. 4.设置 P1P2 是平面上两点,P2k+l 是 P2k 关于 P1 的对称点,P2k+2 是 P2k+l 关于 P2 的对称点,k∈N*.若|P1P2|=1,贝|P2013P2014|=_______________________. 5.已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示,则其体积是________________. 4.不得使用计算器. 一 二 9 10 11 12 总分

1 6.设复数 z 满足|z+ z |≤2,则|z|的取值范围是____________________. 7.设动点 P(t,0),Q(l,t),其中参数 t∈[0,1],则线段 PQ 扫过的平面区域的面积 是___________. 8. 从正 12 边形的顶点中取出 4 个顶点, 它们两两不相邻的概率是_____________.
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二、解答题(第 9-10 题每题 21 分,第 11-12 题 22 分,共 86 分) z-y x-z y-x 9.已知正实数 x,y,z 满足 x+y+z=1.求证:x+2y+y+2z+z+2x≥0.

an2+3 10.设数列{an}满足 a1=1, an+1= a ,n≥1.求证:
2 n

(1)当 n≥2 时,an 严格单调递减. (2)当 n≥l 时, a ? 3 ?2 3 3. n .这里 r ? 2 ? n ?1 1? r2

r2

n

11.已知平面凸四边形 ABCD 的面积为 1.求证: |AB|+|AC|+|AD|+|BC|+|BD|+|CD|≥ 4 ? 2 2 .

12.求证:(l)方程 x3-x-l=0 恰有一个实根ω ,并且ω 是无理数; (2)ω 不是任何整数系数二次方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈Z,a≠0)的根.

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