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高中数学复习笔记小结


高中数学复习笔记
一、 函数图象
1、对称:
y=f(x)与 y=f(-x)关于 y 轴对称,例如: 与 ( )关于 y 轴对称 y=f(x)与 y= —f(x)关于 x 轴对称,例如: 与 关于 x 轴对称 y=f(x)与 y= —f(-x)关于原点对称,例如: 与 关于原点对称 y=f(x)与 y=f (x)关于 y=x 对称,例如: y=10

与 y=lgx 关于 y=x 对称 y=f(x)与 y= —f (—x)关于 y= —x 对称,如:y=10 与 y=—lg(—x)关于 y= —x 对称 注:偶函数的图象本身就会关于 y 轴对称,而奇函数的图象本身就会关于原点对称,例如: 图象本身就会关于 y 轴对称, 的图象本身就会关于原点对称。 y=f(x)与 y=f(a—x)关于 x= 对称( ) 注:求 y=f(x)关于直线 x y c=0(注意此时的系数要么是 1 要么是-1)对称的方程,只需 由 x y+c=0 解出 x、y 再代入 y=f(x)即可,例如: 求 y=2x+1 关于直线 x-y-1=0 对称的方程, 可先由 x-y-1=0 解出 x=y+1,y=x-1,代入 y=2x+1 得:x-1=2(y+1)整理即得:x-2y-3=0

2、平移:
y=f(x) y= f( x+ )先向左( >0)或向右( <0)平移| |个单位,再保持纵坐标不变,横 坐标压缩或伸长为原来的 倍(若 y= f( x+ )y=f(x)则先保持纵坐标不变,横坐标压缩或 伸长为原来的 倍,再将整个图象向右( >0)或向左( <0)平移| |个单位,即与原先顺序相 反) y=f(x) y= f 先保持纵坐标不变,横坐标压缩或伸长为原来的| |倍,然后再将整个图象向 左( >0)或向右( <0)平移| |个单位,(反之亦然)。

3、必须掌握的几种常见函数的图象
1、 二次函数 y=a +bx+c(a )(懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值) 2、 指数函数 ( )(理解并掌握该函数的单调性与底数 a 的关系) 3、 幂函数 ( )(理解并掌握该函数的单调性与幂指数 a 的关系) 4、 对数函数 y=log x( )(理解并掌握该函数的单调性与底数 a 的关系) 5、 y= (a 为正的常数)(懂得判断该函数的四个单调区间) 6、 三角函数 y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx(能根据图象判断这些函数的单调区间) 注:三角中的几个恒等关系 sin x+ cos x=1 1+tan x=sec x 1+cot x=csc x tanx =1 利用函数图象解题典例 已知 分别是方程 x +10 =3 及 x+lgx=3 的根,求: 分析:x +10 =3 可化为 10 =3—x,x+lgx=3 可化为 lgx=3—x,故此可认为是曲线 y=10 、y= lgx 与直线 y=3—x 的两个交点,而此两个交点关于 y=x 对称,故问题迎刃而 解。 答案:3

4、函数中的最值问题: 1、 二次函数最值问题

结合对称轴及定义域进行讨论。
典例:设 a∈R,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求 f(x)的最小值. 考查函数最值的求法及分类讨论思想. 【解】(1)当 x≥a 时,f(x)=x2+x-a+1=(x+ )2-a+ 若 a≤- 时,则 f(x)在[a,+∞]上最小值为 f(- )= -a 若 a>- 时,则 f(x)在[a,+∞)上单调递增 fmin=f(a)=a2+1 (2)当 x≤a 时,f(x)=x2-x+a+1=(x- )2+a+ 若 a≤ 时,则 f(x)在(-∞, 单调递减,fmin=f(a)=a2+1 当 a> 时,则 f(x)在(-∞, 上最小值为 f( )= +a 综上所述,当 a≤- 时,f(x)的最小值为 -a 当- ≤a≤ 时,f(x)的最小值为 a2+1 当 a> 时,f(x)的最小值为 +a

2、 利用均值不等式 典例:已知 x、y 为正数,且 x =1,求 x 的最大值 分析:x = = (即设法构造定值 x =1)= = 故最大值为 注:本题亦可用三角代换求解即设 x=cos , =sin 求解,(解略) 3、 通过求导,找极值点的函数值及端点的函数值,通过比较找出最值。 4、 利用函数的单调性 典例:求 t 的最小值(分析:利用函数 y= 在(1,+ )的单调性求解,解 略) 5、 三角换元法(略) 6、 数形结合 例:已知 x、y 满足 x ,求 的最值 5、抽象函数的周期问题 已知函数 y=f(x)满足 f(x+1)= —f(x),求证:f(x)为周期函数 证明:由已知得 f(x)= —f(x —1),所以 f(x+1)= —f(x)=— (— f(x —1)) = f(x —1)即 f(t)=f(t —2),所以该函数是以 2 为最小正周期的函 数。 解此类题目的基本思想:灵活看待变量,积极构造新等式联立求解

二、圆锥曲线
1、 离心率 圆(离心率 e=0)、椭圆(离心率 0<e<1)、抛物线(离心率 e=1)、双曲线(离心率 e>1)。 2、 焦半径 椭圆:PF =a+ex 、PF =a-ex (左加右减)(其中 P 为椭圆上任一点,F 为椭圆左焦点、 F 为椭圆右焦点) 注:椭圆焦点到其相应准线的距离为 双曲线:PF = |ex +a|、PF =| ex -a|(左加右减)(其中 P 为双曲线上任一点,F 为双 曲线左焦点、F 为双曲线右焦点) 注:双曲线焦点到其相应准线的距离为 抛物线:抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离(解题中常用)

圆锥曲线中的面积公式:(F 、F 为焦点) 设 P 为椭圆上一点, = ,则三角形 F PF 的面积为:b 注:|PF | |PF |cos =b 为定值 设 P 为双曲线上一点, = ,则三角形 F PF 的面积为:b 注:|PF | |PF |sin =b 为定值 附:三角形面积公式: S= 底 高= absinC= = r(a+b+c)=(R 为外接圆半径,r 为内切圆半径)=(这就是著名的海 伦公式)

三、数列求和
裂项法:若 是等差数列,公差为 d( )则求 时可用裂项法求解,即 =( )= 求导法: (典例见高三练习册 p86 例 9) 倒序求和:(典例见世纪金榜 p40 练习 18) 分组求和:求和:1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-?分析:可分解为一个等差数列和一个等比数 列然后分组求和 求通项:构造新数列法典例分析:典例见世纪金榜 p30 例 4——构造新数列即可

四、向量与直线
向量(a,b),(c,d)垂直的充要条件是 ac+bd=0 向量(a,b),(c,d)平行的充要条件是 ad—bc=0 附:直线 A x+B y+C =0 与直线 A x+B y+C =0 垂直的充要条件是 A A + B B=0 直线 A x+B y+C =0 与直线 A x+B y+C =0 平行的充要条件是 A B -A B=0 向量的夹角公式: cos = 注 1:直线的“到角”公式: 到 的角为 tan = ;“夹角”公式为 tan =|| (“到角”可以为钝角,而“夹角”只能为 之间的角) 注 2:异面直线所成角的范围:(0, ] 注 3:直线倾斜角范围[0, ) 注 4:直线和平面所成的角[0, ] 注 5:二面角范围:[0, ] 注 6:锐角:(0, ) 注 7:0 到 的角表示(0, ] 注 8:第一象限角(2k ,2k + ) 附:三角和差化积及积化和差公式简记 S+S=SC S+S=CS C+C=CC C—C=—SS

五、集合
1、集合元素个数的计算 card(A )=card(A)+ card(B)+ card(C)—card(A )—card()—card (C A)+card(A B C)(结合图形进行判断可更为迅速)

2、从集合角度来理解充要条件:若 A B,则称 A 为 B 的充分不必要条件,(即 小的可推出大的)此时 B 为 A 的必要不充分条件,若 A=B,则称 A 为 B 的充要条 件 经纬度

六、二项展开式系数:
C +C +C +?C =2 (其中 C + C + C +?=2 ;C +C + C +?=2 ) 例:求(2+3x) 展开式中 1、所有项的系数和 2、奇数项系数的和 3、偶数项系数的和 方法:只要令 x 为 1 或—1 即可

七、离散型随机变量的期望与方差
E(a +b)=aE +b;E(b)=b D(a +b)=a D ;D(b)=0 D =E —(E ) 特殊分布的期望与方差 (0、1) 分布:期望:E =p;方差 D =pq 二项分布: 期望 E =np;方差 D =npq 注:期望体现平均值,方差体现稳定性,方差越小越稳定。

八、圆系、直线系方程
经过某个定点( )的直线即为一直线系,可利用点斜式设之(k 为参数) 一组互相平行的直线也可视为一直线系,可利用斜截式设之(b 为参数) 经过圆 f(x、y)与圆(或直线)g(x、y)的交点的圆可视为一圆系,可设为: f(x、y)+ g(x、y)=0(此方程不能代表 g(x、y)=0);或 f(x、y)+g(x、 y)=0(此方程不能代表 f(x、y)=0) 附:回归直线方程的求法:设回归直线方程为 =bx+a,则 b= a= -b


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