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《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件4


§3.3(二)

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§3.3(二)

【学习要求】 1.能用二倍角公式推导出半角公式以及万能公式,体会其中的 三角恒等变形的基本思想方法,以及进行简单的应用.
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2.了解两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差、和差化 积公式的基本方

法 .理解方程思想、换元思想在整个变换过 程中所起的作用. 3.了解三角恒等变形的特点、变换技巧,掌握三角恒等变形的 基本思想方法, 能利用三角恒等变形对三角函数式化简、 求 值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.

§3.3(二)

【学法指导】 学习本节内容时,应在熟练掌握两角和与差的三角函数公 式、 二倍角的三角函数公式的基础上, 对公式进行适当变形,
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从而导出积化和差公式、和差化积公式、半角公式、万能公 式; 学习的重点是体会和感悟在推导这些公式中所蕴含的三 角恒等变形基本思想方法以及数学思想方法; 应通过典型例 题的学习和适量的训练, 体会和感悟三角恒等变形在三角函 数式化简、 求值以及三角恒等式证明中的作用, 掌握应用三 角恒等变形解题的通性通法.

填一填·知识要点、记下疑难点

§3.3(二)

1.半角公式
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α ± (1)S α : sin = 2 2
± α (2)C α : cos = 2 2

1-cos α 2 ;

1+cos α 2 ;
1-cos α 1+cos α

α ± (3)T α : tan = (无理形式) 2 2 1-cos α sin α = = sin α (有理形式). 1+ cos α

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§3.3(二)

2.辅助角公式
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使 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)成立时,cos φ= b a 2 2 a2+b2 ,sin φ= a +b ,其中 φ 称为辅助角,它的终 边所在象限由 点(a,b) 决定.

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§3.3(二)

探究点一 半角公式的推导
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α α α 问题 1 试用 cos α 表示 sin 、cos 、tan . 2 2 2 2α 2α 2α 答 ∵cos α=cos 2-sin 2=1-2sin 2,
1-cos α ∴2sin =1-cos α,∴sin = , 2 2 2
2α 2α

α ∴sin =± 2

1-cos α ; 2 1+cos α 2α 2α ∵cos α=2cos -1,∴cos = , 2 2 2

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§3.3(二)

α ∴cos =± 2
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1+cos α ; 2

1-cos α sin 2 1-cos α α 2 2 ∵tan 2= = = , α 1+cos α 1+cos α cos2 2 2

α ∴tan 2=±

1-cos α . 1+cos α

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1-cos α α sin α 问题 2 证明:tan = = . 2 1+cos α sin α
α α 2sin cos sin α 2 2 α ∵ = =tan 2, 1+cos α 2α 2cos 2

§3.3(二)

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α sin α α 1-cos α ∴tan 2= ,同理可证 tan 2= . sin α 1+cos α

1-cos α α sin α ∴tan = = . 2 1+cos α sin α

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§3.3(二)

探究点二
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积化和差与和差化积公式的推导

根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整: ① sin(α+ β)+ sin(α- β)= 2sin αcos β ; ② sin(α+ β)- sin(α- β)= 2cos αsin β ; ③ cos(α+ β)+ cos(α- β)= 2cos αcos β ; ④ cos(α+ β)- cos(α- β)= -2sin αsin β .

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§3.3(二)

问题 1
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由上述①~④这四个等式不

难得出下列四个对应

的积化和差公式,请你试一试写出这四个公式: 1 [sin(α+β)+sin(α-β)] 2 sin αcos β= ; 1 [sin(α+β)-sin(α-β)] 2 cos αsin β= ; 1 [cos(α+β)+cos(α-β)] cos αcos β= 2 ; 1 -2[cos(α+β)-cos(α-β)] sin αsin β= .

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§3.3(二)

问题 2

在上述①~④这四个等式中,如果我们令 α+ β=θ, θ +φ θ-φ α- β= φ,则 α= 2 ,β= ,由此可以得出四个相应 2 的和差化积公式,请你试一试写出这四个公式: θ+φ θ-φ 2sin 2 cos 2 sin θ+ sin φ= ; θ+φ θ-φ 2cos sin 2 2 sin θ- sin φ= ; θ+φ θ-φ 2cos cos 2 2 cos θ+ cos φ= ; θ+φ θ-φ -2sin sin 2 2 cos θ- cos φ= .

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§3.3(二)

探究点三
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辅助角公式 asin x+ bcos x= a2+ b2sin(x+φ)

使 asin x + bcos x = a2+ b2 sin(x + φ) 成立 时, cos φ = a b 2 2,sin φ= 2 2,其中 φ 称为辅助角,它的终边所 a +b a +b 在象限由点(a, b)决定 .辅助角公式在研究三角函数的性质中 有着重要的应用 .

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§3.3(二)

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问题 1 将下列各式化成 Asin(ωx+ φ)的形式, 其中 A>0, ω>0, π |φ |< . 2 ? π? 2sin?x+ ? 4? ; ? (1)sin x+ cos x= ? π? 2sin?x-4? ? ? ; (2)sin x- cos x= ? π? 2sin?x+6? ? ; (3) 3sin x+ cos x= ? ? π? 2sin?x-6? ? ? ; (4) 3sin x- cos x= ? π? 2sin?x+3? ? ? ; (5)sin x+ 3cos x= ? π? 2sin?x-3? ? ? . (6)sin x- 3cos x=

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§3.3(二)

问题 2 请写出把 asin x+bcos x 化成 Asin(ωx+φ)形式的过 程.
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答 asin x+bcos x ? ? a b ? sin x + cos x = a2+b2? 2 2 2 2 ? a +b ? a +b ? ?

= a2+b2(sin xcos φ+cos xsin φ)

= a2+b2sin(x+φ)
b a (其中 sin φ= 2 2,cos φ= 2 2). a +b a +b

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【典型例题】

§3.3(二)

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1 α α 例 1 已知 cos α= ,α 为第四象限角,求 sin 、cos 、 3 2 2 α tan . 2 1 1- 1-cos α α 3 3 解 sin =± =± =± , 2 2 2 3
α cos 2=±
α tan 2 =±

1+cos α =± 2
1-cos α =± 1+cos α

1 1+ 3 6 2 =± 3 ,
1 1-3 2 = ± 1 2. 1+3

研一研·问题探究、课堂更高效 α ∵α 为第四象限角,∴ 为第二、四象限角. 2
α 当2为第二象限角时,
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§3.3(二)

α 3 α 6 α 2 sin = ,cos =- ,tan =- ; 2 3 2 3 2 2

α 当2为第四象限角时, α 3 α 6 α 2 sin =- ,cos = ,tan =- . 2 3 2 3 2 2
小结 在运用半角公式时,要注意根号前符号的选取,不能确 θ 定时,根号前应保持正、负两个符号,而对于 tan 2,还要注 1-cos θ θ sin θ 意运用公式 tan 2= = 来求值. sin θ 1+cos θ

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§3.3(二) 3 θ 跟踪训练 1 已知 cos θ=- ,且 180° <θ<270° ,求 tan . 5 2
θ 解 方法一 ∵180° <θ<270° ,∴90° <2<135° , θ ∴tan 2<0,
? 3? 1-?-5? ? ? ? 3?=-2. 1+?-5? ? ?

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θ ∴tan 2=-

1-cos θ =- 1+cos θ

方法二 ∵180° <θ<270° ,∴sin θ<0,
∴sin θ=- 1-cos θ=-
2

9 4 1- =- , 25 5

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§3.3(二)

本 ∴ tan = = ? ?=-2. 2 3 1 + cos θ 课 ? 1+ - ? 时 ? 5? 栏 目 开 关

θ

sin θ

4 - 5

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§3.3(二)

例 2 已知函数 f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期; ?π 3π? (2)求函数 f(x)在区间? , ?上的最小值和最大值. 4? ?8
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解 (1)f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1 ? π? =sin 2x-cos 2x= 2sin?2x-4?. ? ?

因此,函数 f(x)的最小正周期为 π.
(2)因为 f(x)=
? ?π 3π? π? 2sin?2x-4?在区间?8, 8 ?上为增函数,在区 ? ? ? ?

?3π 3π? 间? 8 , 4 ?上为减函数, ? ?

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§3.3(二)

又f
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?π? ?3π? ? ?=0,f ? ?= ?8 ? ?8?
?3π? ? ?= ?4?

2,
π 2cos 4=-1, 2,最小值为-1.

f

?3π π? 2sin? 2 -4?=- ? ?

故函数

?π 3π? f(x)在区间?8, 4 ?上的最大值为 ? ?

小结 研究形如 f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx+ccos2ωx 的性 质时,先化成 f(x)= a2+b2sin(ωx+φ)+c 的形式再解答.

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跟踪训练 2 (x∈ R). (1)求函数 f(x)的最小正周期;
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§3.3(二)
? ? π? π? 2 3sin ?2x- ? + 2sin ?x- ? 6? 12 ? ? ?

已 知 函 数 f(x) =

(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 .
? ? π? π? 解 (1)∵f(x)= 3sin 2 ?x-12?+1-cos 2 ?x-12? ? ? ? ? ? 3 ? ? π? 1 π ?? ? =2? sin 2 ?x- ?- cos 2 ?x- ?? +1 ? 12? 2 12?? ? ? ? 2
? ? π ? π? =2sin?2?x-12?-6?+1 ? ? ? ? ? π? 2π ? ? =2sin 2x- +1,∴T= =π. 3? 2 ?

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§3.3(二)

(2)当
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? π? f(x)取得最大值时,sin?2x- ?=1, 3? ?

π π 5π 有 2x-3=2kπ+2(k∈Z),即 x=kπ+12(k∈Z),

5π ∴所求 x 的集合为{x|x=kπ+12,k∈Z}.

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例 3 如图所示,已知 OPQ 是半径为 1, π 圆心角为 的扇形,C 是扇形弧上的动 3 点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP
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§3.3(二)

=α,求当角 α 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.

解 在 Rt△OBC 中,OB=cos α,BC=sin α. DA 在 Rt△OAD 中, =tan 60° = 3, OA

3 3 3 ∴OA= 3 DA= 3 BC= 3 sin α, 3 ∴AB=OB-OA=cos α- 3 sin α.

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设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=AB· BC ? ? 3 2 3 ? ? =?cos α- sin α ?sin α=sin αcos α- sin α 3 3 ? ?
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§3.3(二)

1 3 1 3 3 = sin 2α- (1-cos 2α)= sin 2α+ cos 2α- 2 6 2 6 6
? 1? 3 1 ? 3 ? = ? sin 2α+ cos 2α ?- 6 2 3? 2 ?
? 1 π? 3 = sin?2α+6?- 6 . 3 ? ?

π π π 5π π π 由 0<α<3,得6<2α+6< 6 ,所以当 2α+6=2,

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§3.3(二)

π 1 3 3 即 α= 时,S 最大= - = . 6 6 3 6
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π 3 因此,当 α= 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 . 6 6
小结 从本例可以看到, 通过三角变换, 我们把形如 y=asin x +bcos x 的函数转化为形如 y=A sin(ωx+φ)的函数,从而使问 题得到简化,这个过程蕴含了化归思想.

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跟踪训练 3 2002 年在北京召开的国际数

§3.3(二)

学家大会的会标是以我国古代数学家赵 爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成一个
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大正方形(如图所示).如果小正方形的面 积为 1, 大正方形的面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 θ,那么 cos 2θ 的值等于 .
? π? 5cos θ-5sin θ=1,θ∈?0,4?. ? ?

解析 由题意,得 1 ∴cos θ-sin θ=5.

由(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2,

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§3.3(二)

7 得 cos θ+sin θ= . 5
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∴cos 2θ=cos2θ-sin2θ
7 =(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=25. 答案 7 25

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§3.3(二)

1.函数
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? ? π? π? f(x)=sin?x+ ?+sin?x- ?的最大值是 3? 3? ? ?

( B )

A.2

B.1

1 C. 2

D. 3

π 解析 f(x)=2sin xcos =sin x. 3

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§3.3(二)

2.函数 f(x)=sin x-cos A.-2
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? π? x,x∈?0, ?的最小值为 2? ?

( D )

B.- 3

C.- 2

D.-1

解析 f(x)=

? ? π? π? 2sin?x- ?,x∈?0, ?. 4? 2? ? ?

π π π ∵- ≤x- ≤ , 4 4 4 ∴f(x)min=
? π? 2sin?-4?=-1. ? ?

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x ?π x? 3.函数 f(x)=2sin sin? - ?的最大值等于 2 ?3 2? 1 3 A. B. C.1 D.2 2 2
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§3.3(二)
( )

x? π x π x? 解析 f(x)=2sin 2?sin 3cos 2-cos 3sin 2? ? ? 1-cos x 3 3 2x = sin x-sin = sin x- 2 2 2 2 3 1 1 = sin x+ cos x- 2 2 2
? π? 1 =sin?x+ ?- . 6? 2 ?

1 ∴f(x)max=2.

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4.求函数 f(x)=3sin(x+20° )+5sin(x+80° )的最大值.
解 3sin(x+20° )+5sin(x+80° )

§3.3(二)

=3sin(x+20° )+5sin(x+20° )cos 60° +5cos( x+20° )sin 60°
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11 5 3 = sin(x+20° )+ cos(x+20° ) 2 2 =
?5 3? ?11? 2 ?2 ? ? +? +φ) ? 2 ? sin(x+20° ?2? ? ?
? ?

+φ ??, =7sin??x+20°
11 5 3 其中 cos φ= ,sin φ= . 14 14
所以 f(x)max=7.

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§3.3(二)

1.学习三角恒等变形,千万不要只顾死记硬背公式,而忽视对
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思想方法的理解, 要学会借助前面几个有限的公式来推导后 继公式,立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式. 2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ), 其中 φ 满足: b b ①φ 与点(a,b)同象限;②tan φ= (或 sin φ= 2 2, a a +b a cos φ= 2 2). a +b

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§3.3(二)

3.研究形如 f(x)= asin x+ bcos x 的函数性质, 都要运用辅助角
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公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式 .因此辅 助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式, 也是 高考常考的考点之一.对一些特殊的系数 a、 b 应熟练掌握, ? π? 例如 sin x± cos x= 2sin?x± ?; sin x± 3cos x ? 4? ? π? = 2sin?x± ?等 . ? 3?


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