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2.2.2用样本数字特征估计总体数字特征(第1课时)

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2.2.2 用样本的数字特征 估计总体的数字特征 第一课时

问题提出
1.对一个未知总体,我们常用样本的频率分布 估计总体的分布,其中表示样本数据的频率分 布的基本方法有哪些? 2.美国NBA在2008——2009年度赛季中,甲、乙两 名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情 况如下: 甲运动员得分:12,15,20,25,31,31,36, 36,37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26,28,38, 39,51,31,29.

甲运动员得分:12,15,20,25,31,31,36,36, 37,39,44,49. 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26,28,38, 39,51,31,29. 如果要求我们根据上面的数据,估计、比较 甲,乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定,就得 有相应的数据作为比较依据,即通过样本数据对 总体的数字特征进行研究,用样本的数字特征估 计总体的数字特征.

知识探究:众数、中位数和平均数
思考1:在初中我们学过众数、中位数和平均数 的概念,这些数据都是反映样本信息的数字特 征,对一组样本数据如何求众数、中位数和平 均数? 思考2:在城市居民月均用水量样本数据的频 率分布直方图中,你认为众数应在哪个小矩形 内?由此估计总体的众数是什么?

频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
O

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

思考3:在频率分布直方图中,每个小矩形的 面积表示什么?中位数左右两侧的直方图的 面积应有什么关系?

思考4:在城市居民月均用水量样本数据的频率分 布直方图中,从左至右各个小矩形的面积分别是 0.04,0.08,0.15,0.22,0.25,0.14,0.06, 0.04,0.02.由此估计总体的中位数是什么?
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
频率 组距

0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01, 0.5×0.1÷0.25=0.02,中位数是2.02.

月均用水量 /t

思考5:平均数是频率分布直方图的“重心”, 在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方 图中,各个小矩形的重心在哪里?从直方图估计 总体在各组数据内的平均数分别为多少?
频率 组距

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

月均用水量/t

0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,2.75, 3.25,3.75,4.25.

思考6:根据统计学中数学期望原理,将频率分 布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点 的横坐标之积相加,就是样本数据的估值平均数 . 由此估计总体的平均数是什么? 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+ 1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+ 3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02= 2.02(t). 平均数是2.02. 平均数与中位数相等,是必然还是巧合?

思考7:从居民月均用水量样本数据可知,该 样本的众数是2.3,中位数是2.0,平均数是 1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出 的结论有偏差,你能解释一下原因吗? 频率分布直方图损失了一些样本数据,得 到的是一个估计值,且所得估值与数据分组 有关. 注:在只有样本频率分布直方图的情况下,我 们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数, 并由此估计总体特征.

思考8:一组数据的中位数一般不受少数几个极 端值的影响,这在某些情况下是一个优点,但它 对极端值的不敏感有时也会额成为缺点,你能举 例说明吗?样本数据的平均数大于(或小于)中 位数说明什么问题?你怎样理解“我们单位的收 入水平比别的单位高”这句话的含义?

如:样本数据收集有个别差错不影响中位数; 大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低. 平均数大于(或小于)中位数,说明样本 数据中存在许多较大(或较小)的极端值. 这句话具有模糊性甚至蒙骗性,其中收入 水平是员工工资的某个中心点,它可以是众数、 中位数或平均数.

小 结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征,是 指用样本的众数、中位数、平均数和标准差等 统计数据,估计总体相应的统计数据. 2.平均数对数据有“取齐”的作用,代表一组 数据的平均水平.标准差描述一组数据围绕平均 数波动的幅度.在实际应用中,我们常综合样本 的多个统计数据,对总体进行估计,为解决问 题作出决策.

作业: P74 练习 P82 习题2.2 A组:5


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