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【学案】3.1.1方程的根与函数的零点


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3.1.1 方程的根与函数的零点学案
学习目标
结合二次函数的图象, 判断一元二次方程根的存在性及根的个数, 从而了解函数的零点 与方程根的联系。

重点与难点:函数零点的判别。 自学内容:通读教材。 思考并回答以下问题:
一、问题情境设疑 思考:一元二次方程 ax2 ? bx

? c ? 0(a ? 0) 的根与二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0 的图象有什么联系? 引例: (1) 解下列一元二次方程:x ? 2 x ? 3 ? 0 ,x ? 2 x ? 1 ? 0 ,x ? 2 x ? 3 ? 0 。
2 2 2

(2) 画出下列函数的图象:y ? x 2 ? 2 x ? 3 ,y ? x 2 ? 2 x ? 1 ,y ? x 2 ? 2 x ? 3 。 方程 函数

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

x 2 ? 2x ? 1 ? 0

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

y ? x 2 ? 2x ? 3
y

y ? x 2 ? 2x ? 1
y

y ? x 2 ? 2x ? 3
y

函数的图象 x1 0 x2

x

0

x1

x

0

x

方程的实数根 函数的图象与 x 轴的交点 一般结论: 判别式

? ? b2 ? 4ac
方程 ax 2 + bx + c = 0(a≠0)的根

△> 0

△= 0

△< 0

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y
函数 y = ax + bx + c = 0(a≠0)的 图象 x1 0 x2
2

y

y

x

0

x1

x

0

x

函数的图象与 x 轴的交点 二、核心内容整合 1、函数零点的定义: 对于函数 y = f (x),我们把使 的实数 x 叫做函数 y = f (x)的零点。 )

提问:零点是一个点吗?(零点指的是一个 2、一般结论

方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有 有 。

? 函数 y ? f (x)

课堂练习:课本 P88 练习 1:利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 。
2 2

(3) x ? 4 x ? 4 ;
2

拓展:求下列函数的零点: (1) y ? ? x ? x ? 20 ;
2

(2) y ? 2 ?1 。
x

评注: 求函数的零点就是求相应的方程的根, 一般可以借助求根公式或因式分解等办法, 求出方程的根,从而得出函数的零点。 3、零点存在定理 探究:观察二次函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的图象(如图) ,我们发现函数
2

y

f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 在区间[– 2,1]上有零点。计算 f (?2) 与 f (1) 的乘积,
你能发现这个乘积有什么特点?在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢? 结论: 。 x1 0 x2

x

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三、例题分析示例 例、求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数。 计算器求值; 几何画板作图说明。 练习:1、函数 f ( x) ? ln x ? (A) (1,2)
2

2 的零点所在的大致区间是( ) x 1 (B) (2,3) (C) (1, )和(3,4) e

(D) (e, ??) )

2、若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在(0,1)内恰有一个解,则 a 的取值范围是( (A)a < – 1 四、课堂小结 1、函数零点的定义; 2、函数的零点与方程的根的关系; 3、确定函数的零点的方法。 五、课后作业: 1、求下列函数的零点: (1) y ? ? x ? 6 x ? 7 ;
2

(B)a > 1

(C)– 1 < a < 1

(D)0 < a < 1

(2) y ? x ? 4x 。
3

2、若函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 的两个零点是 2 和 3,求 log a 25 ? b2 的值。

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