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考点24 随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率


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考点 24

随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、 相互独立事件同时发生的概率

1.(2010·江西高考文科·T9)有 n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都 是 p (0

? p ? 1) ,假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少有一位同学通过测试的概率 为( )
n

(A) (1 ? p )

(B) 1 ? p

n

( C) p

n

(D) 1 ? (1 ? p )

n

【命题立意】本题主要考查对立事件的概率、相互独立事件同时发生的概率. 【思路点拨】直接解决问题较困难时,可考虑逆向思维,从对立面去着手. 【规范解答】选 D.所有同学都不通过的概率为 (1 ? p) , 故至少有一位同学通过的概率为 1 ? (1 ? p) .
n n

2.(2010·湖北高考理科·T4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A , “骰子向上的点数是 3”为事件 B ,则事件 A, B 中至少有一件发生的概率是( (A) )

5 12

(B)

1 2

(C)

7 12

(D)

3 4

【命题立意】本题主要考查等可能事件、对立事件、相互独立事件,以及相互独立事件有一个发生的概率 的求法,考查公式应用能力和运算求解能力. 【思路点拨】由 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P 以及 P ,算出 P( A) , P( B) 代入即 (AB) (AB) ?P (A )( P B) 可.或由对立事件的概率公式用 1 减去 A, B 都不发生的概率即可. 【规范解答】选 C.方法一:用间接法考虑.事件 A , B 一个都不发生的概率为
1 1 C 5 C54 5 P( AB ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? 1 ? . 2 C66 12

则事件 A, B 中至少有一件发生的概率 ? 1 ? P( AB ) ?

7 , 故 C 正确. 12 1 1 1 1 7 ? ? ? ? ., 2 6 2 6 12

方法二: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? P( A) ? P( B) ? P( A) P( B) ? 或 P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? (1 ? )(1 ? ) ?

1 2

1 6

7 . 12
-1-

【方法技巧】相互独立事件至少有一个发生的概率有两种求解的方法: (1) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P (AB) ? P( A) ? P( B) - P (A )( P B) . (2) P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) P( B) . 3.(2010·江西高考理科·T11)一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀 疑大臣作弊,他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查 两枚.国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2 ,则( (A) p1 ? p2 (B) p1 ? p2 (C) p1 ? p2 )

(D)以上三种情况都有可能

【命题立意】 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率、 对立事件的概率、 相互独立事件同时发生的概率. 【思路点拨】先求 p1 和 p2 ,然后再比较大小. 【规范解答】选B. p1 ? 1 ? (

99 10 99 ? 98 2 5 98 10 ) , p 2 ? 1 ? [( ) ] ? 1? ( ) ,可见 p1 ? p2 . 100 100 ? 99 100

4.(2010·湖北高考理科·T6)将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,? ,600.采用系统抽样 方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第 1 营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为( (A)26,16,8 (B)25,17,8 (C)25,16,9 (D)24,17, 9 )

【命题立意】本题主要考查考生对系统抽样的理解,考查等差数列的概念以及考生的运算求解能力. 【思路点拨】由系统抽样的特点先算出被抽取出来的相邻两个号码的间隔,然后将被抽取出来的号码按从 小到大的顺序排成一列构成一个等差数列,最后借用等差数列的通项公式计算出各个营区被抽取出来的人 数。 【规范解答】选 B,由系统抽样的特点知从号码 003 开始每间隔

600 =12 人抽出 1 个,设被抽出的第 n 个 50

号码为 an ,则 an =003+12(n-1).由 an ? 300 知 n ? 25 ;由 an ? 495 知 n≤42,42-25=17,50-42=8,所 以第一营区被抽出的人数为 25,第二营区被抽出的人数为 17,第三营区被抽出的人数为 8. 【方法技巧】系统抽样被抽取出来的相邻两个号码的间隔相同,若将被抽取出来的号码按从小到大的顺序 排成一列,则构成一个首项为第一个号码编号,公差为所得间隔的等差数列 .由所得等差数列的通项公式 就很容易求出所抽取的各个号码. 5.(2010·上海高考文科·T10)从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 2 张,则“抽出的 2 张均 为红桃”的概率为 (结果用最简分数表示) .

【命题立意】本题考查古典概型的概率公式的应用. 【思路点拨】按求古典概型概率的步骤进行.
-2-

【规范解答】记“抽出的 2 张均为红桃”为事件 A ,则 P ( A) ?

2 C 13 1 ? . 2 C 52 17

【答案】

1 17

【方法技巧】求古典概型的概率的步骤: (1)确定概率类型. (2)求基本事件总数. (3)求事件 A 发生的事件数. (4)代入公式求解. 6.(2010·重庆高考理科·T13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命 中一次的概率为

16 ,则该队员每次罚球的命中率为____________. 25

【命题立意】本题考查对立事件的概率,独立重复试验的概率,考查方程的思想和分类讨论的思想. 【思路点拨】列出“在两次罚球中至多命中一次的概率”的计算公式,再解方程即得. 【规范解答】设该队员每次罚球的命中率为 p ,那么:

16 9 3 2 ,化简得 p ? ,所以 p ? . 25 5 25 16 9 3 2 2 或1 ? p ? ,即 p ? ,所以 p ? . 25 5 25 3 【答案】 5 (1 ? p)2 ? p(1 ? p) ? (1 ? p) p ?
【方法技巧】正确的进行分类讨论是解答关键.事件“两次罚球中至多命中一次”可以分为三种情形: ①两次都未命中;②第一次命中,第二次未命中;③第一次未命中,第二次命中,或考虑事件“两次罚球 中至多命中一次”的对立事件“两次都命中”. 7. (2010· 重庆高考文科· T14) 加工某零件需经过三道工序, 设第一、 二、 三道工序的次品率分别为

1 , 70

1 1 , ,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 69 68

.

【命题立意】本小题考查概率、相互独立试验等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想. 【思路点拨】加工零件需要完成三道工序,考虑问题的对立事件,加工出合格零件则需要三道工序都是合 格品.

1 1 1 【规范解答】因为第一、二、三道工序的次品率分别为 70 , 69 , 68 ,所以第一、二、三道工序的正品
率分别为

69 68 67 67 3 69 68 67 P ? 1? ? ? ? 1? ? , , ,所以加工出来的零件的次品率为 70 69 68 70 70 70 69 68
-3-

【答案】

3 70

【方法技巧】当所求事件的情形较多,它的对立事件的情形较少时,采用对立事件求解就是“正难则反” 的方法. 8.(2010·上海高考理科·T9)从一副混合后的扑克牌(52 张)中随机抽取 1 张,事件 A 为“抽得红桃 K” ,事件 B 为“抽得为黑桃” ,则概率 P( A U B) ? (结果用最简分数表示).

【命题立意】本题考查古典概型的概率的求法及概率的有关性质. 【思路点拨】先分别求出事件 A, B 发生的概率,再由性质求 P( A U B) .

1 13 7 1 1 13 13 P( A U B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? 【规范解答】 P ( A) ? 1 ? , P( B) ? 1 ? , 52 52 26 . C 52 52 C 52 52
【答案】

7 26

9. (2010·湖北高考文科·T13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,则服用这种新药的 4 个 病人中至少 3 人被治愈的概率为_______(用数字作答). 【命题立意】本题主要考查独立重复试验及互斥事件的概率,考查考生的分类讨论思想和运算求解能力. 【思路点拨】 “4 个病人服用某种新药”相当于做 4 次独立重复试验, “至少 3 人被治愈”即“3 人被治愈” , “4 人被治愈”两个互斥事件有一个要发生,由独立重复试验和概率的加法公式即可得出答案.
3 3 ? 1 ? 0.9) ? 0.291 0.2916 【规范解答】4 个病人服用某种新药 3 人被治愈的概率为 C4 ? 0.9 ( 6;

4 4 0.65611,故服用这种新药的 4 个 4 个病人服用某种新药 4 人被治愈的概率为 C4 ? 0.9 ? 0.656

病人中至少 3 人被治愈的概率为 0.291 6+0.656 1=0.947 7. 【答案】0.947 7 【方法技巧】求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法: (1)将该事件分解为若干个互斥事件 的“和事件” ,然后利用概率的加法公式求解.(2)考虑对立事件,如本题也可另解为
0 1 2 1 ?[C4 (1 ? 0.9)4 ? C4 ? 0.9 ? (1 ? 0.9)3 ? C4 ? 0.92 ? (1 ? 0.9)2 ] ? 0.947 0.9477 7.

10.(2010·重庆高考文科·T17)在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位 的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,?,6) ,求: (1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率. (2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 【命题立意】本小题考查排列、组合、古典概型的基础知识及其综合应用,考查运算求解能力及分类讨论 的数学思想.
-4-

【思路点拨】先求出总的基本事件的个数,再求出符合题意要求的基本事件的个数,最后计算概率. 【规范解答】方法一:考虑甲、乙两单位的排列顺序,甲、乙两单位可以排列在 6 个位置中的任意两个位 置,有 A6 ? 30 种等可能的结果.
2

( 1 )设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” ,则事件 A 包含的基本事件的个数是 A3 ? 6 , 所以
2

P( A)=

6 1 = . 30 5

(2)设 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ,则 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻” , 事件 B 包含的基本事件的个数是 5 ? A2 ? 10 ,
2

所以 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

10 2 ? . 30 3
2

方法二:不考虑甲、乙两单位的排列顺序,甲、乙两单位可以在 6 个位置中任选两个位置,有 C6 ? 15 种 等可能的结果. ( 1 )设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” ,则事件 A 包含的基本事件的个数是 C3 ? 3 , 所以
2

P ( A)=

3 1 = ; 15 5

(2)设 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ,则 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻” , 事件 B 包含的基本事件的个数是 5,所以 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

5 2 ? . 15 3

方法三:考虑所有单位的排列位置,各单位的演出顺序共有 A6 ? 720 (种)情形.
6

(1)设 A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数” ,则事件 A 包含的基本事件的个数是 A3 A4 ? 144 ,所以
2 4

P( A)=

144 1 = . 720 5

(2)设 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ,则 B 表示事件“甲、乙两单位的演出序号相邻” , 事件 B 包含的基本事件的个数是 5 ? A2 ? A4 ? 240 ,
2 4

所以 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ?

240 2 ? . 720 3
1 6

11. (2010·四川高考文科·T17)某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样, 购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一 瓶该饮料. (1)求三位同学都没有中奖的概率. (2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
-5-

【命题立意】本题考查相互独立事件、互斥事件等概率计算,考查运用所学知识解决实际问题的 能力. 【思路点拨】 (1)直接利用相互独立事件的概率公式求解. (2)利用互斥事件的概率求解,可直接求 P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) . 也可先求对立事件的概率 P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) . 【规范解答】 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A , B , C , 则 P( A) ? P( B) ? P(C ) ?

1 . 6

5 125 . P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ( )3 ? 6 216 125 答:三位同学都没有中奖的概率为 . 216

1 2 5 1 3 25 5 ?( ) ? . 6 6 6 27 5 3 1 5 2 25 方法二: P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ? ( ) ? 3 ? ? ( ) ? . 6 6 6 27 25 答:三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 . 27
(2)方法一: 1 ? P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C ) ? 1 ? 3 ? ( ) ? 12.(2010·江西高考文科·T18)某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到 达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、 3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通 道,直至走出迷宫为止. (1)求走出迷宫时恰好用了 1 小时的概率. (2)求走出迷宫的时间超过 3 小时的概率. 【命题立意】本题主要考查等可能事件、互斥事件和相互独立事件及其概率等基础知识,考查运用概率知 识解决实际问题的能力,考查分类与整合的思想. 【思路点拨】 (1)先确定走出迷宫时恰好用了 1 小时的含义,然后利用概率知识求解. (2)先确定走出迷宫时超过 3 小时的含义,然后分情况逐一计算. 【规范解答】(1)设 A 表示走出迷宫时恰好用了 1 小时这一事件,则 P( A) ?

1 . 3

(2) 设 B 表示走出迷宫的时间超过 3 小时这一事件,则事件 B 包含两种情况:即走出迷宫时恰好用了 4 小 时和恰好用了 6 小时.,其中 6 小时又分为“2+3+1”和“3+2+1”两种情况, 故 P( B) ?

1 1 1 1 ? ? ? . 6 6 6 2

13.(2010·全国卷Ⅰ文科·T19)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审
-6-

专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审, 则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初 审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3.各专家独立评审. (1)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率. (2)求投到该杂志的 4 篇稿件中,至少有 2 篇被录用的概率. 【命题立意】本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验的概率,及排列、组合 中解决至少问题的方法和解题技巧. 【思路点拨】(1)事件“1 篇稿件被录用”是指:稿件通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过一位初审专 家的评审且稿件能通过复审专家的评审. (2)中的至少问题,采用其对立事件求解. 【规范解答】(1)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;

B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审;
C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审;

D 表示事件:稿件被录用.
则 D ? A? B?C ,

p( A) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.25 , P( B) ? 2 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.5 , P(C ) ? 0.3 ,
P( D) ? P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) P (C ) ? 0.25 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.40
(2)记 A0 表示事件:4 篇稿件中没有 1 篇被录用;

A1 表示事件:4 篇稿件中恰有 1 篇被录用;
A2 表示事件:4 篇稿件中至少有 2 篇被录用,

【方法技巧】解决概率综合题的方法:
-7-

(1)解答概率综合题时,一般“大化小” ,即将问题划分为若干个彼此互斥事件,然后运用加法或乘法公 式求解. (2)在求事件概率时,有时遇到求“至少”或“至多”等事件概率问题时,如果从正面考虑问题时,可 能造成过程繁琐,此时可采用其对立事件求解,运用“正难则反”的思想进行转化,以简化解答过程. 14. (2010·全国高考卷Ⅱ文科·T20)如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1 , T2 , T3 , T4 ,电流能通过

T1 , T2 , T3 的概率都是 p ,电流能通过 T4 的概率是 0.9,电
流能否通过各元件相互独立 .已知 T1 , T2 , T3 中至少有一个 能通过电流的概率为 0.999. (1)求 p . (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率等知识. 【思路点拨】由已知 T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999,则对立事件: T1 , T2 , T3 中均不能通 过的概率为 0.001,可以解得 p .第二问根据能在 M 与 N 之间通过电流可分三种情形,再用互斥事件的概 率公式计算. 【规范解答】记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti , i ? 1,2,3,4 . A 表示事件: T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流,B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过.

?A (1) A ? A1 ? A2 A 3 ,3A1, A2 ,
P( A) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) P( A3 ) ? (1 ? p) 3 .
又 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.999 ? 0.001 . 故 (1 ? p) ? 0.001 , p ? 0.9 .
3

(2) B ? A4 ? A4 ? A1 ? A3 ? A4 ? A1 ? A2 ? A3 ,

P(A )P(A P( B) ? P( A4 ) ? P( A4 ? A1 ? A3 ) ? P( A4 ? A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A4 ) ? P( A4 ) P( A1 ) P( A3 ) ? P( A4 ) P( A1 )P ( A1 )2 P ( A3 ) 3 )

0.9891 ? 0.9 ? 0.1? 0.9 ? 0.9 ? 0.1? 0.1? 0.9 ? 0.9 ?0.989 1.
15.(2010·全国高考卷Ⅱ理科·T20)如图, M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1 , T2 , T3 , T4 ,电

-8-

流能通过 T1 , T2 , T3 的概率都是 p ,电流能通过 T4 的概率是 0.9 ,电流能否通过各元件相互独立 . 已知

T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.
(1)求 p . (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. (3) ? 表示 T1 , T2 , T3 , T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率及二项分布等概率知识。 【思路点拨】由已知 T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999,则对立事件: T1 , T2 , T3 中均 不能通过的概率为 0.001,可以解得 p .第二问分三种情形考虑,再用互斥事件计算.第三问可以用二项 分布解决. 【规范解答】记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti , i ? 1,2,3,4 . A 表示事件: T1 , T2 , T3 中至少有一个能通过电流,B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过.

(2A A ?A (1) A ? A1 ? A2 A ,1,P 3 ,3A , ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) P ( A 3 ) ? (1 ? p ) .
3

又 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.999 ? 0.001 . 故 (1 ? p) ? 0.001 , p ? 0.9 .
3

(2) B ? A4 ? A4 ? A1 ? A3 ? A4 ? A1 ? A2 ? A3 ,

P( B) ? P( A4 ) ? P( A4 ? A1 ? A3 ) ? P( A4 ? A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A4 ) ? P( A4 ) P( A1 ) P( A3 ) ? P( A4 ) P( A1 )P( A1 ) P( A3 )
P(A 2 )P(A3 ) ? 0.9 ? 0.1? 0.9 ? 0.9 ? 0.1? 0.1? 0.9 ? 0.9 ?0.989 1. 0.9891
(3)由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能否通过各元件相互独立. 故 ? ~ B(4,0.9) , E? ? 4 ? 0.9 ? 3.6 .

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-9-


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