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2012年北京市朝阳区高三年级第一学期期末统一考试(数学理)


北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷(理工类)

2012.1

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项:考生务必将答案答在答题

卡上,在试卷上答无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. b 1.已知平面向量 a ? (3,1) , ? ( x,3) , a ⊥ b , 且 则实数 x 的值为 ( ) A. 9 B. 1 2.设集合 U = ?1,2,3,4? , M = x ? U x 2 ? 5 x + p = 0 ,若 CU M = ?2,3? ,则实数 p 的值 为 A. ?4 B. 4 C. ?6 D. 6 ( )

?

C. ?1

?

D. ?9

3. 设数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 1 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项 和 Sn 等于 ( )

A.

n2 7n ? 8 8

B.

n2 7n ? 4 4

C.

n 2 3n ? 2 4


D. n ? n
2

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. ?1 C. ?2 D. 0

5.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ,设 a ? f ( ) , b ? f ( ) , c ? f ( ) ,则 a, b, c 的

?

?

?

7

6

3

大小关系是 A. a ? b ? c





B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a 2 x 6.函数 f ( x) ? 2 ? ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是( x
1



A. (1,3)

B. (1, 2)

C. (0,3)

D. (0, 2)

7. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,将 ?ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC ? 平面 AC D ,得到如图所示的三棱锥 B ? ACD.若 O 为 AC 边的中点, M , N 分别为线段 DC , BO 上的动点(不包括端点) BN ? CM .设 BN ? x ,则三 ,且 棱锥 N ? AMC 的体积 y ? f ( x) 的函数图象大致是( ) A A B A N A O A D A C A

M A

A.

B.

C.

D.

x 8. 已 知 集 合 A ? { ( x , y ) |?

n ,? y

n a Z? ,n B } {( x, y) | x ? m, y ? 3m2 ? 12, ? ,b ?

m ? Z } .若存在实数 a , b 使得 A ? B ? ? 成立,称点 ( a, b) 为“£”点,则“£”点在平面
区域 C ? {( x, y) | x ? y ? 108} 内的个数是
2 2

( D. 无数个

)

A. 0

B. 1

C. 2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.已知有若干辆汽车通过某一段公路,从中抽取 200 辆汽车进行测速分析,其时速的频率分 布直方图如图所示,则时速在区间 [60,70) 上的汽车大约有
频率 组距

辆.

0 04 0 03 0 02 0 01
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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O

40 50

60 70

80 时速(km/h)

2

10. 某几何体的三视图如图所示, 则这个几何体 的体积是 .

3

3
主视图 2 俯视图

2 2 侧视图

2

? x ? y ? 0, ? 11. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 所表示的平面区域的面积是 9,则实数 a 的 ? x?a ?
值为 . 12. 设直线 x ? my ? 1 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A , B 两点,且弦 AB 的长为

2 3 ,则实数 m 的值是

.

13. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y (万 元)与机器运转时间 x (年数, x ? N )的关系为 y ? ? x2 ? 18x ? 25 .则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元.
?

14. 已知两个正数 a , b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c ,在 a, b, c 三个数中取两个 较大的数,按上述规则扩充得到一个新数,依次下去,将每扩充一次得到一个新数称为一次 操作. (1)若 a ? 1, b ? 3 ,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________;
m n (2)若 p ? q ? 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1) ( p ? 1) ?1 ( m, n 为正整数) ,

则 m, n 的值分别为______________.

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 在 锐 角 ?ABC 中 , a , b , c 分 别 为 内 角 A , B , C 所 对 的 边 , 且 满 足

3a ? 2b sin A ? 0 .
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

??? ??? ? ? 7 ,求 AB?AC 的值.

16. (本题满分 13 分) 如图, 一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域. 用力旋转转盘, 转盘停止转动时, 箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个 5 区域的边界时重新转动) 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相 , 等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一 3 位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为 (a, b) (假设儿 童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动) . (Ⅰ)求某个家庭得分为 (5,3) 的概率? (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于 8 的家庭 可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少? (Ⅲ)若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 5 2 2 3 A

4

17. (本题满分 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , 平 面 SAD ? 平 面 ABCD 底 面 ABCD 矩 形 , . 为
AD ? 2a, AB ? 3a , SA ? SD ? a .

(Ⅰ)求证: CD ? SA ; (Ⅱ)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x ( x ? 0 , a 为正实数). 1? x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的最小值为 1 ,求 a 的取值范围.

19. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l 过点 A(4, 0) , B(0, 2) ,且 2 2 a b

与椭圆 C 相切于点 P . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在过点 A(4, 0) 的直线 m 与椭圆 C 相交于不同的两点 M 、 N ,使得

36 AP ? 35 AM ? AN ?若存在,试求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.
2

20. (本题满分 14 分) 数列 {an } , {bn } ( n ? 1, 2,3,? )由下列条件确定:① a1 ? 0, b1 ? 0 ;②当 k ? 2 时,

ak 与 bk 满足:当 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 时, ak ? ak ?1 , bk ?

a k ?1 ? bk ?1 ;当 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 时, 2

5

ak ?

a k ?1 ? bk ?1 , bk ? bk ?1 . 2

(Ⅰ)若 a1 ? ?1 , b1 ? 1 ,写出 a2 , a3 , a4 ,并求数列 {an } 的通项公式; ( Ⅱ ) 在 数 列 {bn } 中 , 若 b1 ? b2 ? ? ? bs ( s ? 3 , 且 s ? N * ) , 试 用 a1 ,b1 表 示

bk k ?{1,2,?, s} ;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列 {cn } (n ? N*) 满足 c1 ?

1 , cn ? 0 , 2

cn?1 ? ?

22 ? m 2 cn ? cn (其中 m 为给定的不小于 2 的整数),求证:当 n ? m 时,恒有 mam

cn ? 1 .

6

北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷答案(理工类)
一、选择题: 题号 答案 (1) C (2) B (3) A (4) D (5) B (6) C

2012.1

(7) B

(8) A

二、填空题: 题号 (9) 答案

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

80

3 3

1

?

3 3

5

8

255

8,13

三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A ? 0 , 所以 3sin A ? 2sin Bsin A ? 0 , 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, B ? ?????????????????? 2 分

3 . ???????????????????3 分 2
????????????????? 5 分

? ?
3

. .因为 b ?
2 2

3

7,

根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos 整理,得 (a ? c)2 ? 3ac ? 7 . 由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 . 于是 cos A ?

?
3

,???????????????7 分

??????????????? 9 分 ?????????? 11 分

b2 ? c 2 ? a 2 7 ? 4 ? 9 7 , ? ? 2bc 14 4 7
??? ??? ? ?

所以 AB?AC ? AB ? AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ? (16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)记事件 A:某个家庭得分情况为 (5,3) .
1 1 1 P( A) ? ? ? . 3 3 9

??? ??? ? ?

7 ?1. 14

????? 13 分

7

1 所以某个家庭得分情况为 (5,3) 的概率为 .???????????? 4 分 9 (Ⅱ) 记事件 B: 某个家庭在游戏中获奖, 则符合获奖条件的得分包括 (5,3), (5,5), (3,5)

共 3 类情况.
1 1 1 1 1 1 1 所以 P( B) ? ? ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 3 3 3 1 所以某个家庭获奖的概率为 . 3

???????????????? 8 分

1 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,每个家庭获奖的概率都是 ,所以 X ~ B(5, ) . 3 3

2 32 0 1 P( X ? 0 )? C ( 0 )? ( 5 )? , 5 3 3 243 2 80 1 1 P( X ? 1 )? C ( 1 )? ( 4 )? , 5 3 3 243 1 2 80 , P( X ? 2) ? C52 ( )2 ? ( )3 ? 3 3 243 2 40 3 1 , P( X ? 3) ? C5 ( )3 ? ( )2 ? 3 3 243 1 2 10 , P( X ? 4) ? C54 ( )4 ? ( )1 ? 3 3 243 2 1 5 1 . P( X ? 5) ? C5 ( )5 ? ( )0 ? 3 3 243
所以 X 分布列为: ????????????? 11 分

X

0

1

2

3

4

5

P

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

1 5 ? . 3 3 5 所以 X 的数学期望为 . 3
所以 EX ? np ? 5 ?

?????????????????? 13 分

(17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)因为平面 SAD ? 平面 ABCD , CD ? AD ,且面 SAD ? 面 ABCD ? AD , 所以 CD ? 平面 SAD . 又因为 SA ? 平面 SAD
8

所以 CD ? SA . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, CD ? SA .

????????????????? 6 分

在 ?SAD 中, SA ? SD ? a , AD ? 2a , 所以 SA ? SD , 所以 SA ? 平面 SDC . 即 SA ? SD , SA ? SC , 所以 ?CSD 为二面角 C ? SA ? D 的平面角. 在 Rt?CDS 中, tan ?CSD ?
CD 3a ? ? 3, SD a

所以二面角 C ? SA ? D 的大小

? . 3

?????????????? 13 分

法二:取 BC 的中点 E , AD 的中点 P . 在 ?SAD 中, SA ? SD ? a , P 为 AD 的中点,所以, SP ? AD . 又因为平面 SAD ? 平面 ABCD ,且平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD 所以, SP ? 平面 ABCD .显然,有 PE ? AD . ???????????? 1 分 如图,以 P 为坐标原点,PA 为 x 轴,PE 为 y 轴,PS 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 S (0,0,
B( 2 2 a) , A( a,0,0) , 2 2

2 2 a, 3a,0) , C(? a, 3a,0) , 2 2

2 ????????????????????????3 分 a,0,0) . 2 ??? ? ??? 2 2 (Ⅰ)易知 CD ? (0, ? 3a,0), SA ? ( a,0, ? a) 2 2 ??? ??? ? 因为 CD ? SA ? 0 , 所以 CD ? SA . ??????????????????????? 6 分 ??? ? n ? SA ? 0 ? (Ⅱ)设 n ? ( x, y, z ) 为平面 CSA 的一个法向量,则有 ? ??? , ? ?n ? CA ? 0 ? D( ?
? 2 2 ax ? az ? 0 ? 即? 2 2 ? 2ax ? a 3 y ? 0 ?

,所以 n ? ( 3, 2, 3) .

???????????? 7 分

显然, EP ? 平面 SAD ,所以 PE 为平面 SAD 的一个法向量, 所以 m ? (0,1, 0) 为平面 SAD 的一个法向量.??????????????? 9 分 所以 cos ? n, m ??
2 2 2 ? 1 , 2

??? ?

所以二面角 C ? SA ? D 的大小为

? . 3

???????????????? 13 分

9

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? 则 f ?( x) ?

1? x , 1? x

1 ?2 . ? x ? 1 (1 ? x)2

??????????????????? 2 分

所以 f ?(1) ? 0 .又 f (1) ? ln 2 ,因此所求的切线方程为 y ? ln 2 . ???? 4 分 (Ⅱ) f ?( x) ?

a ?2 ax 2 ? a ? 2 . ? ? ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

?????????? 5 分

(1) a ? 2 ? 0 , a ? 2 时, 当 即 因为 x ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 ?0,??? 上单调递增. ????????????????????????? 6 分 (2)当 a ? 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,则 ax ? a ? 2 ? 0 ( x ? 0 ) ,
2

所以 x ?

2?a . a 2?a 2?a ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 . a a 2?a , ??) ,函数 f ( x) 的单调递减区间为 a

因此,当 x ? [0,

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (

[0,

2?a ). a

????????????????????????? 10 分

(Ⅲ) a ? 2 时, 当 函数 f ( x ) 在 ?0,??? 上单调递增, f ( x ) 的最小值为 f (0) ? 1 , 则 满足题意. ????????????????????????? 11 分

当 0 ? a ? 2 时, (Ⅱ) 由 知函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (

2?a 函数 f ( x ) , ??) , a

的单调递减区间为 [0, 合题意.

2?a 2?a ) ,则 f ( x) 的最小值为 f ( ) ,而 f (0) ? 1 ,不 a a

所以 a 的取值范围是 ?2,??? . ??????????????????? 13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题得过两点 A(4, 0) , B(0, 2) 直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .???? 1 分

10

因为

c 1 ? ,所以 a ? 2c , b ? 3c . a 2

设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ?1, 4c 2 3c

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 由 ? x2 消去 x 得, 4 y 2 ?12 y ? 12 ? 3c2 ? 0 . y2 ? 2 ? 2 ? 1, ? 4c 3c
又因为直线 l 与椭圆 C 相切,所以 ? ? 122 ? 4 ? 4(12 ? 3c2 ) ? 0 ,解得 c ? 1 .
2

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????????????????? 5 分

(Ⅱ)易知直线 m 的斜率存在,设直线 m 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,???????? 6 分

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 消去 y ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0 . ???? 7 分 ? 1, ? ? 3 ? 4
由题意知 ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 , 解得 ?

1 1 ?k? . 2 2

???????????????????????? 8 分

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x1 x2 ? . , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

?? 9 分

又直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 相切, 4 3

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 3 3 ? 由 ? x2 y 2 解得 x ? 1, y ? ,所以 P (1, ) . ???????????10 分 2 2 ? ? 1, ? 3 ? 4
则 AP ?
2

45 36 45 81 ? ? . . 所以 AM ? AN ? 4 35 4 7
(4 ? x1 ) 2 ? y12 ? (4 ? x2 ) 2 ? y2 2

又 AM ? AN ?

? (4 ? x1 ) 2 ? k 2 (4 ? x1 ) 2 ? (4 ? x2 ) 2 ? k 2 (4 ? x2 ) 2

? (k 2 ?1)(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ? (k 2 ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ?16)

11

? (k 2 ? 1)(
? ( k 2 ? 1)
所以 (k ? 1)
2

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

36 . 3 ? 4k 2
???????? 13 分

36 81 2 ? ,解得 k ? ? .经检验成立. 2 3 ? 4k 7 4

所以直线 m 的方程为 y ? ? (20) (本小题满分 14 分)

2 ( x ? 4) . 4

?????????????? 14 分

(Ⅰ)解:因为 a1 ? b1 ? 0 ,所以 a 2 ? a1 ? ?1, b2 ?

a1 ? b1 ? 0. 2

因为 a2 ? b2 ? ?1 ? 0 ,所以 a3 ? 因为 a3 ? b3 ? ?

a 2 ? b2 1 ? ? , b3 ? b2 ? 0 . 2 2

a ?b 1 1 ? 0 ,所以 a4 ? 3 3 ? ? , b4 ? b3 ? 0 . 2 4 2 1 1 所以 a1 ? ?1, a2 ? ?1, a3 ? ? , a4 ? ? . ?????????????? 2 分 2 4
由此猜想,当 k ? 2 时, ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,则 a k ? 下面用数学归纳法证明: ①当 k ? 2 时,已证成立.
? ②假设当 k ? l ( l ? N ,且 l ? 2 )猜想成立,

a k ?1 ? bk ?1 a k ?1 ? , bk ? bk ?1 ? 0 .? 3 分 2 2

即 al ?1 ? bl ?1 ? 0 , bl ? bl ?1 ? 0 , al ? 当 k ? l ? 1 时 , 由 al ?

al ?1 ? 0. 2

al ?1 ?

al ? b l al ? ?0. 2 2
n?2

al ?1 ? 0 , bl ? bl ?1 ? 0 得 al ? bl ? 0 , 则 bl ? bl ?1 ? 0 , 2

综上所述,猜想成立.

?1? 所以 an ? a2 ? ? ? ? 2?
? ?1 ? 故 an ? ? 1 ?? 2n ? 2 ?

?1? ? ?1? ? ? ? 2?

n?2

??

1 2
n?2

(n ? 2) .

n ? 1, n ? 2.
. ?????????????????? 6 分

(Ⅱ)解:当 2 ? k ? s 时,假设 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,根据已知条件则有 bk ? bk ?1 ,
12

与 b1 ? b2 ? ? ? bs 矛盾,因此 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 不成立, 所以有 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 ,从而有 ak ? ak ?1 ,所以 ak ? a1 . 当 ak ?1 ? bk ?1 ? 0 时, a k ? a k ?1 , bk ? 所以 bk ? ak ?

????? 7 分

a k ?1 ? bk ?1 , 2
???????? 8 分

ak ?1 ? bk ?1 1 ? ak ?1 ? (bk ?1 ? ak ?1 ) ; 2 2 1 当 2 ? k ? s 时,总有 bk ? ak ? (bk ?1 ? ak ?1 ) 成立. 2
又 b1 ? a1 ? 0 ,

所 以 数 列 {bk ? ak } ( k ? 1,2,?, s ) 是 首 项 为 b1 ? a1 , 公 比 为

1 的等比数列, 2

?1? bk ? ak ? (b1 ? a1 )? ? ? 2?

k ?1

, k ? 1, 2,?, s ,
k ?1

?1? 又因为 ak ? a1 ,所以 bk ? (b1 ? a1 )? ? ? 2?
(Ⅲ)证明:由题意得 cn?1 ? ?

? a1 .

??????????? 10 分

22 ? m 2 cn ? cn mam

?
因为 cn ?1 ?

1 2 cn ? cn . m

1 2 1 cn ? cn ,所以 cn ?1 ? cn ? cn 2 ? 0 . m m
?????????????? 11 分

所以数列 {cn } 是单调递增数列. 因此要证 cn ? 1(n ? m) ,只须证 cm ? 1 . 由 m ? 2 ,则 c n ?1 ?

1 2 1 1 1 1 c n ? c n < c n c n ?1 ? c n ,即 ? ? ? .?? 12 分 m m cn ?1 cn m

因此

1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? cm cm cm?1 cm?1 cm?2 c2 c1 c1
??

m ?1 m ?1 ?2? . m m m ?1. 所以 cm ? m ?1
故当 n ? m ,恒有 cn ? 1 . ???????????????????14 分

13


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北京市朝阳区 2011-2012年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(文史类)第一部分(选择题 共 40 分)注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答...